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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur les limites de fonctions}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Limites à l'infini}}
Étudier les limites suivantes :

\begin{enumerate}
\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}x=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty }\left(\dfrac{1}{}x\right)=0$.\\
Par somme : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=+\infty}}$

\item %$\lim_{x\rightarrow -\infty}x^2(x-6)$
$\lim_{x\rightarrow -\infty}x^2=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}(x-6)=-\infty$.\\
Par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}x^2(x-6)=-\infty}}$.

\item %$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x^2+1\right)(2-x)$
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x^2+1\right)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}(2-x)=-\infty$\\
Par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(x^2+1\right)(2-x)=-\infty}}$

\item %$\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x}(1-x)$
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x}=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}(1-x)=-\infty$.\\
Par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x}(1-x)=-\infty}}$

\item %$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(2\mathrm{e}^{x}-1\right)$
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\mathrm{e}^{x}\right)=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(2\mathrm{e}^{x}\right)=+\infty$, d'où : \\
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(2\mathrm{e}^{x}-1\right)=+\infty}}$

\item %$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{1}{x-5}\right)$
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left((x-5)\right)=-\infty$ donc :\\
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{1}{x-5}\right)=0}}$.

\item %$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{1}{x^2+1}+7\right)$
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(x^2\right)=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(x^2+1)\right)=+\infty$.\\
Par conséquent : $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{1}{x^2+1}\right)=0$ d'où : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{1}{x^2+1}+7\right)=7}}$

\item %$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{2}{x}-3\right)$
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{1}{x}\right)=0$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{2}{x}\right)=0$ d'où :\\
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{2}{x}-3\right)=-3}}$
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Limites en un réel}}
Étudier les limites suivantes :

\begin{enumerate}
\item %$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{\sqrt{x}-3}$
$\lim_{x\rightarrow 0}x=0$ ; $\lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{x}=0$ donc $\lim_{x\rightarrow 0}\left(\sqrt{x}-3\right)=-3$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{0}{-3}=0}}$

\item %$\lim_{\substack{x\rightarrow 5\\x>5}}\dfrac{1}{x-5}$
$\lim_{\substack{x\rightarrow 5\\x>5}}(x-5)=0$ avec $x-5>0$.\\
Par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 5\\x>5}}\dfrac{1}{x-5}=+\infty}}$

\item %$\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x>3 }}\dfrac{x+1}{x-3}$
$\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x>3 }}(x+1))=4$\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x>3 }}(x-3)=0$ avec $x-3>0$.\\
Par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x>3 }}\left(\dfrac{x+1}{x-3}\right)=+\infty}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Formes indéterminées}}
Calculer :

\begin{enumerate}
\item %$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(3x^2-4x+7\right)$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(3x^2-4x+7\right)$
$3x^2-4x+7=x^2\left(3-\dfrac{4}{x}+\dfrac{7}{x^2}\right)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^2=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(3-\dfrac{4}{x}+\dfrac{7}{x^2}\right)=3$.\\
Par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(3x^2-4x+7\right)=+\infty}}$

\item De même :\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}x^2=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(3-\dfrac{4}{x}+\dfrac{7}{x^2}\right)=3$.\\
Par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(3x^2-4x+7\right)=-\infty}}$

\end{enumerate}

\item %$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(2x^4-7x+8\right)$
$2x^4-7x+8=x^4\left(2-\dfrac{7}{x^3}+\dfrac{8}{x^4}\right)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}x^4=+\infty$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(2-\dfrac{7}{x^3}+\dfrac{8}{x^4}\right)$.

\item Par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(2x^4-7x+8\right)=+\infty}}$
\end{enumerate}

\item %$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{3x+5}{7x-2}\right)$
$\dfrac{3x+5}{7x-2}=\dfrac{\cancel{x}\left(3+\frac5x\right)}{\cancel{x}\left(7-\frac2x\right)}=\dfrac{3+\frac5x}{7-\frac2x}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(3+\dfrac{5}{x}\right)=3$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(7-\dfrac{3}{x}\right)=7$

\item Par qutient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{3x+5}{7x-2}\right)=\dfrac{3}{7}}}$
\end{enumerate}

\item %$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{x^2+2}{1-x}\right)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\dfrac{x^2+2}{1-x}=\dfrac{x^2\left(1+\frac2{x^2}\right)}{x\left(\frac1x-1\right)}=\boxed{\textcolor{red}{x\times \dfrac{1+\frac2{x^2}}{\frac1x-1}}}$

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}x=-\infty$ (évident)

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1+\frac2{x^2}\right)=1$

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac1x-1\right)=-1$

\item Par produit et quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{x^2+2}{1-x}\right)=+\infty}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  