\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Limites et continuité des fonctions}}
\date{}
\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Limite infinie en $\infty$}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On dit que la fonction $f$ admet pour limite $+\infty$ en $+\infty$, si $f(x)$ est aussi grand que l’on veut pourvu que $x$ soit suffisamment grand.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : On a une définition analogue en $-\infty$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} 
La fonction définie par $f(x) = x^2$ a pour limite $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=.25,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-4)(5,28)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(5,28)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(5,28)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt]{0}{3}{x^2}
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{3}{5}{x^2}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=2pt](3,0)(3,9)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=2pt](0,9)(3,9)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}} Une fonction peut tendre vers $+\infty$ sans être croissante !
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple : }}
\begin{center}
\psset{xunit=0.5,yunit=0.3,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(20,22)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-2)(20,22)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-2)(20,22)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt]{-1}{20}{x+2*SIN(x)}
\end{pspicture}
\end{center}


\subsection{\textcolor{red}{Limite finie en $\infty$}}
Exemples graphiques :

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,7)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(10,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(10,7)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{.25}{10}{2+1/x}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,2)(10,2)
\uput[u](4,2.2){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.2,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(50,7)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=5,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(50,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(50,7)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{.25}{50}{3+(3*SIN(x))/x}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,3)(10,3)
\uput[u](4,2.2){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $a$ un réel.\\
Dire que $f(x)$ tend vers $a$ quand $x$ tend vers $-\infty$ ou $+\infty$ signifie que $f(x)$ est aussi proche que l'on veut de $a$, pour $x$ suffisamment grand (ou petit).\\
On écrit $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=a$ ou $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=a$.\\
On dit que la droite d'équation $y=a$ est asymptote à la courbe en $+\infty$ ou en $-\infty$.
\end{bclogo}
\end{center}

\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Limite en un réel $a$}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Limite infinie en $a$}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Dire que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$  signifie que $f(x)$ prend des valeurs aussi grandes que l'on veut  pour $x$ très proche de $a$.\\
On écrit $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty$.\\
On dit que la droite d'équation $x=a$ est asymptote à la courbe.\\
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty$ si $f(x)$ prend des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeur absolue quand $x$ est très proche de $a$.
\end{bclogo}




\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : il peut y a voir une limite à droite et à gauche.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : 
Fonction inverse :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-5)(4,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-5)(4,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-5)(4,5)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-4}{-0.2}{1/x}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0.2}{4}{1/x}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Limite finie en $a$}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit une fonction définie sur un intervalle $I$. Soient $a$ et $\ell$ deux réels.\\
On dit que $f$ admet ue limite $\ell$ lorsque $x$ tend vers $a$ si les valeurs de $f(x)$ dont aussi proches de $\ell$ que l'on veut quand $x$ est très proche de $a$.\\Òn écrit : $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\ell$
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : $f(x)=x^2-3$.\\
Quand $x$ prend des valeurs de plus en plus proches de 2, $x^2$ est très proche de 4, donc $f(x)$ prend des valeurs de plus en plus proches de $f(2)=1$\\
On a donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=1}}$.

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-3.5)(3,9)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-3.5)(3,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-3.5)(3,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-2}{3}{x^2-3}
\end{pspicture}

\end{center}


\subsection{\textcolor{red}{Opérations sur les limites}	}
$f$ et $g$ désignent deux fonctions, $\ell$ et $\ell'$ sont deux réels. Le symbole $\infty$ désigne $-\infty$ ou $+\infty$.\\
Les propriétés ci-dessous portent sur les limites en $-\infty$, $+\infty$ ou $a\in\mathbb{R}$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Somme}}


\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Si $\lim f =$&$\ell$&$\ell$&$\ell$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$\\
\hline
Et $\lim g=$&$\ell'$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$&$-\infty$&$-\infty$\\
\hline
Alors $\lim(f+g)=$&$\ell+\ell'$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$&$-\infty$&\cellcolor{yellow!30}\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}\\
\hline
\end{tabularx}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Produit}}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Si $\lim f=$&$\ell$&$\ell\neq 0$&$\infty$&0\\
\hline
Si $\lim g==$&$\ell'$&$\infty$&$\infty$&$\infty$\\
\hline
alors $\lim(fg)=$&$\ell\ell'$&$\infty$&$\infty$&\cellcolor{yellow!30}\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}\\
\hline
\end{tabularx}

Pour trouver le signe de la limite d'un produit, on utilise la règle du signe d'un produit.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Quotient}}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Si $\lim f=$&$\ell$&$\ell\neq 0$&$\ell$&$\infty$&$\infty$&0\\
\hline
Si $\lim g=$&$\ell'\neq 0$&0&$\infty$&$\ell$&$\infty$&0\\
\hline
alors $\lim\left(\dfrac{f}{g}\right)=$&$\frac{\ell}{\ell'}$&$\infty$&0&$\infty$&\cellcolor{yellow!30}\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}&\cellcolor{yellow!30}\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}\\
\hline
\end{tabularx}

\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Exemples}}

\begin{enumerate}
\item Étudier $\lim_{x\rightarrow -\infty}h(x)$ avec $h(x)=\dfrac{3}{x^2+3}$.\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}x^2=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(x^2+3\right)=+\infty$ d'où $\lim_{x\rightarrow -\infty}h(x)=0$.\\
La droite d'équation $y=0$ (axe des abscisses) est asymptote à la courbe $\mathscr{C}_h$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$.\\
Remarque : on a aussi $\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)=0$ donc l'axe des abscisses est aussi asymptote à la courbe lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
\begin{center}
Courbe représentative :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=3,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-1)(5,2)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-1)(5,2)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-1)(5,2)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-5}{5}{3/(x^2+3)}
\uput[u](3,0.3){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{center}
\item Soit la fonction $f:  x\mapsto 5+\dfrac{1}{x+2}$ définie sur $]-\infty~;~-2[ \cup ]-2~;~+\infty[$.\\
Déterminons la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers -2, par valeurs inférieures à -2.\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x<-2}}(x+2)=0$ avec $x+2<0$.\\
Alors : $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x<-2}}\left(\dfrac{1}{x+2}\right)=-\infty$.\\
Par somme, on en déduit que $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x<-2}}\left(5+\dfrac{1}{x+2}\right)=-\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x<-2}}f(x)=-\infty}}$.\\
La droite d'équation $x=-2$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x>-2}}(x+2)=0$ mais avec $x+2>0$ donc $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x>-2}}\left(\dfrac{1}{x+2}\right)=+\infty$ d'où :\\
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x>-2}}f(x)=+\infty}}$.\\
La droite d'équation $x=-2$ est encore asymptote à la courbe.
\newpage

\textbf{\textcolor{blue}{Courbe}} :
\begin{center}
\psset{xunit=0.6,yunit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-7,-2)(5,10)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-7,-2)(5,10)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-7,-2)(5,10)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-7}{-2.15}{5+1/(x+2)}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-1.81}{5}{5+1/(x+2)}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red,linestyle=dashed](-2,-2)(-2,7)
\uput[u](3,5.2){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{red}{Notion de continuité}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Notion intuitive de continuité}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On considère une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.\\
On dit que $f$ est continue sur $I$ si on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} : 



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

La fonction $f$ définie sur $[-4~;~5]$ représentées ci-dessous est continue
\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-7)(5,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-7)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-7)(5,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-4}{5}{(x+3)*(x-1)*(x-4)/6}
\end{pspicture}
\end{center}

La fonction $g$ définie sur $[-3~;~9]$ représentées ci-dessous n'st pas continue
\begin{center}
\psset{xunit=.5,yunit=.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-1)(9,9)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-1)(9,9)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-1)(9,9)
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{-3}{1}{x^2}
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{1}{9}{4+x/2}
\psdot(1,1)
\rput[l](.9,4.5){\textcolor{blue}{]}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Continuité des fonctions de référencence}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété admise}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Soit $a\in I$.\\
$f$ est continue en $a$si, et seulement si, $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$.
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété admise}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les fonctions $x\mapsto x^2$, $ x\mapsto x^3$, les fonctions affines, les fonction polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.

\item La fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0~;~+\infty[$

\item La fonction inverse $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est continue sur $]-\infty~;~0[$ et sur $]0~;~+\infty[$.

\item Le fonction exponentielle $x\mapsto \mathrm{e}^{a}$ est continue sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{red}{Théorème des valeurs intermédiaires}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Cas d'un intervalle fermé}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème des valeurs intermédiaires (admis)}}
Soit $f$ une fonction $f$ définie \textbf{et continue} sur un intervalle $[a~;~b]$.\\
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque : }} ce théorème signifie que $f(x)$ prend (au moins une fois) toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$.

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}}.\\
Soit la fonction carré $f : x\mapsto x^2$ sur $[0~;~3]$. $f(0)=0$ et $f(3)=9$.\\
$f$ est continue sur $[0~;~3]$ donc toutes les valeurs etre 0 et 9 sont atteintes.\\
Par exemple, il existe une valeur $c$ pour la quelle $f(c)=2$.\\
Ici, on sait que $c=\sqrt{2}$.

\textbf{\textcolor{red}{Remarque :} } Ce théorème est un théorème d'existence ; il ne permet en général pas de savoir la valeur de $c$ tel que $f(c)=k$.

\bigskip



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : voici la courbe représentative de la fonction continue sur $[-4~;~5]$ définie par \\
$f(x)=\dfrac{(x+3)(x-1)(x-4)}{6}$.\\
2 est compris entre $f(-4)$ et $f(5)$.\\
Il y a au moins une valeur $c$ pour laquelle $f(c)=2$.\\
On voit graphiquement qu'il y a même trois valeurs $c_1$, $c_2$ et $c_3$ qui ont pour image 2.

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-7)(5,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-7)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-7)(5,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-4}{5}{(x+3)*(x-1)*(x-4)/6}
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=blue](-5,2)(5,2)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2.4641,2)(0,2)(4.4641,2)
\psline(-2.4641,-0.2)(-2.4641,0.2)
\psline(4.4641,-0.2)(4.4641,+0.2)
\uput[d](-2.4641,0){$c_1$}
\uput[dr](0,0){$c_2$}
\uput[d](4.4641,0){$c_3$}
\uput[r](-4,-6){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{multicols}
\subsubsection{\textcolor{blue}{Cas d'une fonction strictement monotone}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Si $f$ est continue et monotone sur $[a~;~b]$, alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet une \textbf{\textcolor{red}{unique}} solution, comprise entre $a$ et $b$.
\end{bclogo}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Si $f$ est croissante :
\begin{center}
\begin{variations}
x&a&&c&&b\\
\hline
\m{f(x)}&f(a)&\cb&\m{k}&\ch&\h{f(b)}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

Si $f$ est décroissante :
\begin{center}
\begin{variations}
x&a&&c&&b\\
\hline
\m{f(x)}&\h{f(a)}&\dh&\m{k}&\db&f(b)\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{multicols}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Extension à d'autres intervalles}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$a$ désigne un réel ou $-\infty$ ; $b$ désigne un réel ou $+\infty$.\\
Soit $f$ une fonction continue sur $]a~;~b[$.\\
Pour tout relever compris entre $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ et $\lim_{x\rightarrow b}f(x)$, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]a~;~b[$.\\
De plus, si $f$ est monotone, cette solution est unique.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Exemples}}

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fin ton définie sur $[-1~;~3]$ par $f(x)=x^3-3x^2+2$.\\
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[-1~;~3]$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Solution }}:\\
$f$ est une fonction polynôme donc continue sur cet intervalle.\\
$f(-1)=-2<0$ ; $f(3)=2$.\\
0 est donc compris entre $f(-1)$ et $f(3)$.\\
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution dans $[-1~;~3]$.

\item Soit $f(x)=\sqrt{x}+2x-12$ sur $[4~;~9]$.\\
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $[4~;~9]$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Solution}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On admet que $f$ est continue (car la somme de fonctions continues est continue)

\item $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2>0$ sur $[4~;~9]$ donc $f$ est croissante.

\item $f(4)=-6<0$ ;  $f(9)=9>0$ donc 0 est compris entre $f(4)$ et $f(9)$.

\item D'après le cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet  une unique solution dans $[4~;~9]$.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\item Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=2x^3-3x^2-12x+1$.\\
On cherche le nombre de solutions de l'équation $f(x)=2$.

\bigskip

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

\item $f$ est dérivable et $f'(x)=6x^2-6x-12=6\left(x^2-x-2\right)$ qui est du signe de $x^2-x-2$.

\item Signe de $x^2-x-2$ : \\
$\Delta=1-4\times 1\times (-2)=9>0$.\\
L'expression a deux racines : $\dfrac{1-\sqrt{9}}{2}=-1$ et $\dfrac{1+\sqrt{9}}{2}=2$\\
Ce trinôme du second degré est du signe du coefficient de $x^2$ à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.

\item On en déduit le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&2&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{8}&\d&-19&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\item Sur l'intervalle $]-~;~-1$, $f$ est continue et 2 est compris entre $-\infty$ et 8.\\
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $f(x)=0$ admet donc une solution sur cet intervalle. Comme $f$ est monotone, cette solution est unique.\\
De même, 2 est compris entre -19 et -1 donc l'équation $f(x)=0$ admet une solution sur $[-1~;~2]$, unique car $f$ est monotone.\\
2 est compris entre -19 et $+\infty$, donc l'équation $f(x)=0$ admet une solution sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$. Cette solution est unique car $f$ est  monotone sur  cet intervalle.

\item On en conclut que l'équation $f(x)=0$ admet trois solutions dans $\mathbb{R}$, une dans $]-\infty~;~-1$, une dans $[-1~;~2]$ et une dans $[2~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  
