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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Mathématiques spécifiques : dérivation globale : feuille d'exercices \no 2}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $h$ la fonction définie sur [0~;~1] par : \[h(x) = –5x^3 - x.\]
\begin{enumerate}[1)]
\item Déterminer $h'$ la fonction dérivée de $h$.

\item Étudier le signe de $h'(x)$ sur [0~;~1].

\item En déduire les variations de la fonction $h$ sur [0~;~1].

\end{enumerate}

\subsection{}
Un professeur a demandé à ses élèves d’étudier les variations de la fonction $g$ définie sur [0~;~9] par $g(x) = 3x – 12$.\\
Voilà la réponse d’un élève :\\
$g(x) > 0\iff 3x - 12 > 0\iff 3x > 12\iff x > 4$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&4&&9	\\
\hline
\text{Signe de }g(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{\text{Variation de }g(x)}&&\d&&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
Cet élève a-t-il fait une erreur ? Qu’en penses-tu ?

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 7.\]
\begin{enumerate}[1)]
\item Déterminer $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$ et montrer que \[f'(x) = (3x - 9)(x + 1).\]

\item Étudier le signe de $f'(x)$.

\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
On injecte un médicament à un malade.\\
La quantité de substance, exprimée en \si{\cubic\centi\metre}, présente dans le sang du malade à l’instant $t$, exprimé en heures, est donnée
par la fonction $f$ définie sur [0~;~12] par :
\[f(t) - 0,02t^3 - 0,48t^2 + 2,88t.\]
\begin{enumerate}[1)]
\item Déterminer $f'(t)$ et vérifier que :
\[f'(t) = (0,06t - 0,24)(t-12).\]

\item Étudier le signe de $f'(t)$ et en déduire les variations de $f$ sur [0~;~12].

\item Au bout de combien d’heures la substance présente dans le sang commence-t-elle à diminuer ?

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 1.\]
\begin{enumerate}[1)]
\item Déterminer $f'(x)$ pour tout $x \in\mathbb{R}$.

\item Résoudre l’équation $f'(x) = 0$.

\item Que peut-on en déduire pour la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ ?

\end{enumerate}

\subsection{}
Un artisan produit des vases en terre cuite. Sa capacité de production est limitée à 60 vases.\\
Le coût de production, en euros, dépend du nombre de vases produits et peut être modélisé par la fonction C définie sur l’intervalle [0~;~60] par \[C(x) = x^2 - 10x + 500.\]
Un vase est vendu 50 \euro{}.\\
Les recettes, qui dépendent du nombre de vases produits et vendus, sont modélisées par une fonction $R$ définie sur [0~;~60].
\begin{enumerate}[1)]
\item  Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l’artisan produit et vend 50 vases.

\item Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.

\item Le résultat, en euros, réalisé par l’artisan est modélisé par la fonction $B$ définie sur l’intervalle [0~;~60] par B(x) = R(x)-C(x).
\begin{enumerate}[a)]
\item Vérifier que $B(x) = -(x - 10)(x - 50)$.

\item Déterminer le nombre de vases à produire et à vendre pour que l’artisan réalise des bénéfices (c’est-à-dire pour que le résultat $B(x)$ soit positif ).
\end{enumerate}

\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$ sur l’intervalle [0~;~60].
\begin{enumerate}[a)]
\item Déterminer $B'(x)$.

\item Dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l’intervalle [0~;~60] et en déduire le nombre de vases à produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximum.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  