<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de probabilitÃ©}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Test de dÃ©pistage}}
Un test de dÃ©pistage d'une maladie est mis en vente.\\
Le mode d'emploi prÃ©cise que :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item pour une personne n'Ã©tant pas malade, le test est nÃ©anmoins positif, ( c'est-Ã&nbsp;-dire dÃ©signe cette personne comme malade) dans 2,5\:\% des cas ;

\item pour une personne malade, le test est nÃ©anmoins nÃ©gatif, (c'est-Ã&nbsp;-dire, dÃ©signe cette personne comme non malade) dans 0,1\:\% des cas. 
\end{enumerate}
On suppose qu'une maladie touche 2\:\% de la population d'un pays et qu'on dÃ©cide de faire passer ce test Ã&nbsp; tous les habitants.\\
On considÃ¨re, pour un nabitant donnÃ©, les Ã©vÃ¨nements :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $M$ : \og{}cet habitant est malade\fg{}

\item $T$ :  \og{}le test est positif\fg{}.
\end{enumerate} 

\begin{enumerate}
\item Recopier et complÃ©ter l'arbre, pondÃ©rÃ©e ci-contre afin qu'il reprÃ©sente la situation.
\vspace{1cm}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=5mm}

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$M$}\taput{$\cdots$}}
	  { 
		  \TR{$\cdots$}\taput{$\cdots$}
		  \TR{$\overline{\cdots}$}\tbput{$\cdots$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{M}$}\tbput{$\cdots$}}
	  {
		  \TR{$\cdots$}\taput{$\cdots$}
		  \TR{$\overline{\cdots}$}\tbput{$\cdots$}		  
	  }
}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $p(M \cap T)$

\item En dÃ©duire la probabilitÃ© que la personne soit malade, sachant que le test est positif.

\item Peut-on dire que ce test est efficace ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Vaccin contre la grippe}}
L'efficacitÃ© du vaccin contre la grippe peut Ãªtre diminuÃ© pour plusieurs raisons, il est donc possible de contracter la grippe tout en Ã©tant vaccinÃ©.\\
Une Ã©tude menÃ©e dans une ville a permis de constater que :\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  40\:\% de la population est vaccinÃ© ; 

\item 8\:\% des personnes vaccinÃ©s ont contractÃ© la grippe ;

\item 20\:\% de la population a contractÃ© la grippe. (\textbf{\textcolor{red}{Ã€ vÃ©rifier}})
\end{enumerate}.
On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considÃ¨re les Ã©vÃ¨nements. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $V$ : \og{}la personne est vaccinÃ©e contre la grippe\fg{}

\item $G$ : \og{}la personne a Ã&nbsp; contractÃ© la grippe\fg{}.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilitÃ© de l'Ã©vÃ¨nement $G$.

\item ReprÃ©senter la situation par un arbre pondÃ©rÃ© dans lequel figure une inconnue.

\item DÃ©terminer la probabilitÃ© que la personne ait contractÃ© la grippe et soit vaccinÃ©e.

\item La personne choisie n'est pas vaccinÃ©e. Montrer que la probabilitÃ© qu'elle ait contractÃ© la grippe est Ã©gale Ã&nbsp; 0,28.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Classe de risque}}%Barbazo \no 28
Une compagnie d'assurance rÃ©partit ses clients en trois classes : $R_1$, les risques forts, $R_2$, les risques moyens et $R_3$, les risques faibles.\\
Les effectifs de ces trois classes reprÃ©sentent 20\:\% de la population totale des clients pour la classe $R_l$ , 50\:\% pour la classe $R_2$ et 30\:\% pour la classe $R_3$.\\
Les statistiques indiquent que les probabilitÃ©s d'avoir un accident au cours de l'annÃ©e, pour une personne de chacune de ces trois classes, sont respectivement de 0,3, 0,15 et 0,05. 

\begin{enumerate}[1)]
\item Quelle est la probabilitÃ© qu'une personne choisie au hasard parmi les clients de cette compagnie ait un accident dans l'annÃ©e ?

\item GaÃ«lle n'a pas eu d'accident cette annÃ©e.\\ 
Quelle est la probabilitÃ© qu'elle appartienne Ã&nbsp; la classe $R_l$ ? Ã&nbsp; la classe $R_2$ ? Ã&nbsp; la classe R3 ? 

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Lutte anti-dopage }}%Barbazo \no 29
Une agence de lutte contre le dopage a mis au point un test pour dÃ©tecter un nouveau produit dopant. On estime que : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 2\:\% des sportifs utilisent ce produit dopant ;

\item si un sportif a ingÃ©rÃ© ce produit, le test est positif dans 99\:\%des cas ;

\item s'il n'a pas pris le produit, le test est positif dans 1,5\:\% des cas (on parle alors de faux positifs). 

\end{enumerate}

\begin{enumerate}[1)]
\item Un sportif est testÃ© positif. Quelle est la probabilitÃ© qu'il soit dopÃ© ?

\item Suite Ã&nbsp; diverses amÃ©liorations, la probabilitÃ© d'avoir un faux positif, notÃ©e $p$, a pu Ãªtre diminuÃ©e de telle sorte que la probabilitÃ© qu'un sportif soit dopÃ©, sachant qu'il est testÃ© positif, soit Ã©gale Ã&nbsp; 95\:\%.\\ 
Calculer la valeur de $p$. 

\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>