<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Suites gÃ©omÃ©triques ; modÃ¨le d'Ã©volution exponentielle}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Suites gÃ©omÃ©triques}}

\subsubsection{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
Une suite $u$ est gÃ©omÃ©trique, s'il existe un nombre $q$, appelÃ© raison de la suite, tel que, pour tout $n$, $u(n+1)=q\times u(n)$.\\
La suite est dÃ©terminÃ©e par son premier terme et chaque terme (pour $n\geqslant 1$) est obtenu en multipliant le terme prÃ©cÃ©dent par $q$.
\end{bclogo}

Exemples : 
\begin{enumerate}[1)]
\item la suite des puissances de 2 est gÃ©omÃ©trique, de raison 2.

\item Le taux du livret A est $t=3\:\%$(intÃ©rÃªts composÃ©s).\\
Le coefficient multiplicateur associÃ© est $C=1+3\:\%=1,03$.\\
On place un capital $C_0$ la premiÃ¨re annÃ©e. On note $C(n)$ le capital de la $n$-iÃ¨me annÃ©e\\
Chaque annÃ©e, on calcule les intÃ©rÃªts qui valent 3\:\% du capital de l'annÃ©e prÃ©cÃ©dente ; on les ajoute au capital pour former le nouveau capital.\\
Ainsi a-ton $C(n+1)=1,03C(n)$.\\
$C$ est une suite gÃ©omÃ©trique, da raison $s=1,03$
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{red}{Terme gÃ©nÃ©ral}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
Le terme gÃ©nÃ©ral d'une suite gÃ©omÃ©trique raison $q$ est $C(n)=C(0)\times q^n$.\\
On a aussi : $C(n)=C(p)\times q^{n-p}$
\end{bclogo}

Justification : \\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $C(1)=C(0)\times q=C(0)\times q^1$

\item $C(2)=C(1)\times q=\left(C(0)\times  q\right)\times q=C(0)\times q^2$

\item $C(3)=C(2)\times q=\left(C(0)\times q^2\right)\times q=C(0)\times q^3$
\vdots
$C(n)=C(n-1)\times q=\left(C(0)\times q^{n-1}\right)\times q=C(0)\times q^n$
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples}} : 

\begin{enumerate}
\item pour le livret A, $\boxed{\textcolor{red}{C(n)=C(0)\times 1,03^n}}$

\item \textbf{\textcolor{blue}{LÃ©gende de l'Ã©chiquier}} :\\
En Inde, le roi Belkib (ou Bathait), qui s'ennuie Ã&nbsp; la cour, demande qu'on lui invente le jeu pour le distraire. Le sage Sissa invente alors un jeu d'Ã©checs, ce qui ravit le roi. Pour remercier Sissa, le roi lui demande de choisir sa rÃ©compense, aussi fastueuse qu'elle puisse Ãªtre. Sissa choisit de demander au roi de prendre le plateau du jeu et, sur la premiÃ¨re case, poser un grain de riz, ensuite deux sur la deuxiÃ¨me, puis quatre sur la troisiÃ¨me, et ainsi de suite, en doublant Ã&nbsp; chaque fois le nombre de grains de riz que lâ€™on met. Le roi et la cour sont amusÃ©s par la modestie de cette demande. Mais lorsqu'on la met en Å“uvre, on s'aperÃ§oit qu'il n'y a pas assez de grains de riz dans tout le royaume pour la satisfaire.

\bigskip

Notons $u(n)$ le nombre de grains de riz sur la case $\no n$.\\
L'Ã©chiquier contient 64 cases.\\
On a $C(1)=1$ et $C(n+1)=2C(n)$.\\
$C$ est gÃ©omÃ©trique de raison $q=2$.\\
$C(n)=C(1)\times q^{n-1}=1\times 2^{n-1}$ donc sur la derniÃ¨re case, le nombre de grains est \\
$C(64)=2^{63}=\numprint{9223372036854775808}\approx 9,2\times 10^{18}$.\\
C'est plus que la production mondiale annuelle de riz !

\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{red}{Variations}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
Soit $u$ une suite gÃ©omÃ©trique de raison $q$ et de terme initial \textbf{\textcolor{blue}{positif}}.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  Si $0 &lt; q &lt; 1$, alors $u$ est dÃ©croissante.

\item Si $q &gt; 1$, alors $u$ est croissante.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{blue}{Racine $n$-iÃ¨me}}
\textbf{\textcolor{red}{Rappel}} : Soit $c\geqslant 0$.\\
La solution positive de l'Ã©quation $x^2=c$ est la racine carrÃ©e de $c$, notÃ©e $\sqrt{c}$.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finitiion}}
 Soit $c\geqslant 0$.\\
Soit $n$ un entier naturel tel que $n\geqslant 2$.\\
La solution positive de l'Ã©quation $x^n=c$ est la racine $n$-iÃ¨me de $c$, notÃ©e $\sqrt[n]{c}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : la solution de l'Ã©quation $x^3=2$ est $\sqrt[3]{2}$
\subsection{\textcolor{blue}{Taux d'Ã©volution moyen}}


\subsubsection{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
On suppose quâ€™au cours de $n$ pÃ©riodes, le taux dâ€™Ã©volution global dâ€™une quantitÃ© est $T$.\\
Alors le taux dâ€™Ã©volution moyen par pÃ©riode est $\boxed{\textcolor{red}{t =\sqrt[n]{T}}}$.\\
C'est la taux constant appliquÃ© Ã&nbsp; chaque pÃ©riode pour obtenir le taux global $T$.
\end{bclogo}

\bigskip
Exemple : Entre 2013 et 2017, le tarif de l'Ã©lectricitÃ© devait augmenter de 30\:\%.\\
Un journaliste annonce sur France 2 que cela correspond chaque annÃ©e (donc 5 ans) Ã§ une augmentation de 6\:\%.\\
Or, le taux moyen annuel d'augmentation est $\sqrt[5]{30}\approx 1,97$.











\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>