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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Dérivation globale, étude des variations d'une fonction}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Fonction dérivée}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition : fonction dérivée}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et admettant un nombre dérivé en tout $x$ de $I$.\\
On dit que la fonction $f$ est dérivable sur $I$ et on appelle fonction dérivée de $f$ sur $I$ la fonction qui, à tout réel $x$ de $I$, associe $f'(x)$, le nombre dérivé de $f$ en $x$.\\
On la note $f'$.
\end{bclogo}

Exemple : on a vu que pour $f(x)=x^2$, on a $f'(x)=2x$ pour tout $x\in\mathbb{R}$..

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} $f'$ est donc la fonction qui donne, pour chaque réel $x$ de $I$, le coefficient directeur $f'(x)$ de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $x$.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{blue}{Propriété (Dérivées des fonctions usuelles)}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $k$ un nombre réel. Les fonctions constantes définies par $f(x) = k$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$, et leur fonction dérivée est la fonction nulle $f'(x) = 0$.

\item La fonction identité définie par f(x) = ax+b est dérivable sur $\mathbb{R}$, et sa fonction dérivée est $f'(x) = a$.

\item La fonction carré définie par $f(x) = x^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et sa fonction dérivée est $f'(x) = 2x$.

\item La fonction cube définie par $f(x) = x^3$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et sa fonction dérivée est $f'(x) = 3x^2$.

\item Plus généralement, la fonction définie par $f(x)=x^n$ ($n$ entier supérieur ou égal à 2) a pour fonction dérivée $f'(x)=nx^{n-1}$.

\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{blue}{Propriété :  dérivée de la somme de deux fonctions}}
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.\\
La fonction $f$ définie par $f(x) = u(x) + v(x)$ est dérivable sur $I$ et $f'(x) = u'(x) + v'(x)$.
\end{bclogo}

\bigskip
Exemples : 

\begin{enumerate}[1)]
\item Soit $f(x)=x^2+3x+5$ ; $f=u+v$ avec $\begin{cases}u(x)=x^2\\v(x)=3x+5\text{ (fonction affine)}\end{cases}$.\\
$f'=u'+v'$ avec $u\begin{cases}'(x)=2x\\v'(x)=3\end{cases}$.\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=2x+3}}$

\item $f(x)=x^3+x^5$.\\
$f'(x)=3x^2+5x^4$ car la dérivée de $ f: x\mapsto x^n$ est $f'(x)=nx^{n-1}$ avec $n=3$ puis $n=5$.
\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{blue}{Propriété :  dérivée du produit d’une fonction par un réel}}
Soit $k$ un nombre réel et $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.\\
La fonction $f$ définie par $f(x) = k \times  u(x)$ est dérivable sur $I$, et $f'(x) = k\times u'(x)$.
\end{bclogo}

\bigskip

Exemple : $f(x)=7x^2$.\\
$f=ku$ avec $k=7$ et $u(x)=x^2$.\\
$f'=ku'$ avec $u'(x)=2x$ donc $f'(x)=7\times 2x$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=14x}}$

\subsection{\textcolor{blue}{Variations d’une fonction}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{Théorème}
Soit $f $une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La fonction $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si, pour tout réel x de I, $f'(x) \geqslant  0$.

\item La fonction $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si, pour tout réel x de I, $f'(x) \leqslant  0$.

\item La fonction $f$ est constante  sur $I$ si et seulement si, pour tout réel x de I, $f'(x) = 0$.
\end{enumerate}
\end{bclogo} 

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exemples}}
Pour chacune des fonctions suivantes, étudions leurs variations.



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[1)]
\item $f(x)=x^2$ ; $f'(x)=2x$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'(x)=0\iff 2x=0\iff x=0$

\item $f'(x)>0\iff 2x>0\iff x>0$

\item $f'(x)<0\iff 2x<0\iff x<0$

\item Tableau de signes de $ff'$ et tableau da variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&0&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item $f(x)=3x^2+5x-7$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'(x)=3\times 2x+5=6x+5$

\item $f'(x)=0\iff 6x+5=0\iff x=-\dfrac{5}{6}$

\item $f'(x)>0\iff 2x+5>0\iff 2x>-5\iff x>-\dfrac{5}{6}$

\item $f'(x)<0\iff 2x+5<0\iff 2x<-5\iff x<-\dfrac{5}{6}$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{5}{6}&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&-\dfrac{109}{12}&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item $f(x)=x^3+4x$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'(x)=3x^2+4$

\item Pour tout $x$, $x^2\geqslant 0$ donc $3x^2\geqslant 0$ donc $3x^2+4\geqslant 4>0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)>0}}$.

\item On en déduit que $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  