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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Mathématiques spécifiques : contrôle sur les probabilités }}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
On choisit une personne au hasard dans une population et on note respectivement $M$ l'évènement \og{}cette personne est majeure\fg{} et $S$ l'évènement \og{}cette personne est en bonne santé\fg{}.\\
Soient les évènements :\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $A$ \og{}cette personne est mineure et en bonne santé\fg{}, 

\item $B$ \og{}cette personnes n'est ni mineure ni en bonne santé\fg{}

\item $C$ :  \og{}cette personne est majeure ou n'est pas en bonne santé\fg{}.
\end{enumerate}

Écrire chacun des événements $A$, $B$ et $C$ en fonction de $M$ et $S$ et en utilisant les symboles  $ \cap $, $ \cup $ et $\overline{\cdots}$.


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
On suppose que $p(A)=0,4$, $p(B)=0,55$ et \\
$p(A \cap B)=0,7$.\\
Calculer $p\left(\overline{A}\right)$, $p\left(\overline{B}\right)$ et $p(A \cup B)$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
On suppose que $p(A)=0,8$ et $p\left(A \cap \overline{B}\right)=0,3$.\\
Calculer $p(A \cap B)$.\\
Rappel : $A=(A \cap B) \cup \left(A \cap \overline{B}\right)$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
$A$ et $B$ sont deux événements relatifs à une même expérience aléatoire.\\
On suppose que $p(B)=0,3$, $p_B(A)=0,6$ et $p_{\overline{B}}\left(\overline{A}\right)=0,15$.

\begin{enumerate}
\item Réprésenter la situation par un arbre pondéré.

\item Calculer $p\left(\overline{B} \cap A\right)$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
L'arbre pondéré suivant modélise une expérience aléatoire.
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{$\cdots$}}
	  { 
		  \TR{$B$}\taput{0,1}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{$\cdots$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{0,34}}
	  {
		  \TR{$B$}\taput{$\cdots$}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{0,4}		  
	  }
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter ls probabilités manquantes.

\item Calculer $p(A \cap B)$ , $p\left(\overline{A} \cap B\right)$ puis $p(B)$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4,5 points)}}
Dans une ville, 80\:\% des logements sont des appartements, occupés à 45\:\% par une seule personne et à 55\:\% par plusieurs personnes.\\
Le reste des logements sont des maisons.\\
Quand on prend un logement au hasard dans cette ville, on considère les événements suivants :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $A$ : \og{}Le logement est un appartement\fg{}.

\item $S$ : \og{}Le logement est occupé par une seule personne\fg{}.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[1)]
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $p(A)$ et $p_A(S)$ en utilisant l’énoncé.

\item En déduire la probabilité que le logement soit un appartement occupé par une seule personne.
\end{enumerate}

\item Par ailleurs, 17\:\% des logements de cette ville sont des maisons occupées par plusieurs personnes.
\begin{enumerate}
\item Traduire cette information en une probabilité en utilisant les événements $A$ et $S$.

\item Déterminer $p\left(\overline{A}\right)$ en utilisant l’énoncé.

\item En déduire la probabilité que le logement soit occupé par plusieurs personnes sachant que c’est une maison est 0,85.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  