<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{MathÃ©matiques spÃ©cifiques : contrÃ´le (suites arithmÃ©tiques et gÃ©omÃ©triques)}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
Soit $v$ la suite dÃ©finie par $v(0)=3$ et pour tout entier naturel $n$, $v(n+1)=3v(n)-4$.\\
Calculer $v(1)$, $v(2)$ et $v(3)$.

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
$u$ est la suite arithmÃ©tique de premier terme $u(0)=2$ et de raison $r=5$.\\
Calculer $u(7)$.

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
$u$ est la suite arithmÃ©tique tel que $u(4)=13$ et de raison $r=-2$.\\
Calculer $u(0)$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
On donne ci-dessous le terme gÃ©nÃ©ral d'une suite $u$.\\
Quelles sont celles qui sont arithmÃ©tiques ?
\begin{enumerate}[a)]

\item $u(n)=3n+4$

\item $u_n=\dfrac{n+5}{2}$

\item $u(n)=2n^2+5$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Une entreprise dÃ©cide de soutenir une association caritative par des dons mensuels.\\
Le premier mois, l'entreprise fait un don de 1 \euro{}, et chaque mois, elle fait un don de 1 \euro{} supplÃ©mentaire. \\
On note $u(n)$ le don fait le $n$-iÃ¨me mois.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que $u$ est une suite arithmÃ©tique de premier terme $u(1)=1$.

\item Quelle est la raison de cette suite $u$ ?

\item En dÃ©duire que $u(n)=n$.

\item On rappelle que la somme \[u(1)+u(2)+\cdots+u(n)=n\times \dfrac{u(1)+u(n)}{2}.\]
Quelle somme l'entreprise aura-t-elle reÃ§u au bout de 10 ans ?

\end{enumerate}

%\subsection{}
%Louis dÃ©cide de faire un placement Ã&nbsp; intÃ©rÃªts \textbf{simples} afin de prÃ©voir lâ€™achat dâ€™un cadeau pour son professeur de
%franÃ§ais de 350 euros.\\
%Il place 200 euros en janvier 2024.\\
%Ã€ chaque dÃ©but de mois, son capital est augmentÃ© de 2\:\% du \textbf{montant initial}.\\
%On note $u(n)$ le montant de son placement au bout de $n$ mois aprÃ¨s le 1\ier{} janvier 2024. On a donc $u(0) = 200$.
%
%\begin{enumerate}[1)]
%\item Justifier que pour tout entier naturel n : $u(n) = 4n+200$/
%
%\item DÃ©terminer la plus petite valeur de $n$ telle que $u(n) 350$.
%
%\item Ã€ partir de quelle date Louis pourra-t-il acheter son cadeau ? Justifier
%
%\end{enumerate}

%\subsection{}
%Pour les suites gÃ©omÃ©triques suivantes dont on donne le premier terme et la raison, exprimer le terme gÃ©nÃ©ral $u(n)$ en fonction de $n$, puis calculer $u(5)$.
%\begin{enumerate}[a)]
%\item $u(0)=3$ et $q=2$.
%
%\item $u(0)=2$ et $q=-3$.
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}

 On considÃ¨re la suite gÃ©omÃ©trique $u$ de premier terme $u(0)=\numprint{1000}$ et de raison 0,2. \\
Calculer $u(7)$.


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Une solution contient cinq bactÃ©ries Ã&nbsp; l'instant $t=0$. AprÃ¨s l'ajout d'un Ã©lÃ©ment nutritif, le nombre de bactÃ©ries augmente de 25\:\% chaque seconde.
On appelle $u(n)$ le nombre de bactÃ©ries au bout de $n$ secondes.
\begin{enumerate}[1)]
\item Quel est le coefficient multiplicateur associÃ© Ã&nbsp; une hausse de 25\:\%.

\item Exprimer $u(n)$ en fonction de $u(0)$ et de $n$.

\item Au bout de combien de secondes le nombre de bactÃ©ries dÃ©passera \numprint{20000} ?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Thomas Malthus, Ã©conomiste anglais du dÃ©but du XIX\ieme{} siÃ¨cle, a travaillÃ© sur l'Ã©volution de la population en Angleterre.\\ 
En 1800, la population anglaise Ã©tait de 8,3 millions d'habitants. Bien que trÃ¨s pauvre en majoritÃ©, toute la population arrivait tant bien que mal Ã&nbsp; se nourrir. Thomas Malthus prÃ©voit que cette situation ne pourra pas durer au cours du temps. Il Ã©met les hypothÃ¨ses suivantes: 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la population en Angleterre augmente chaque annÃ©e de2\:\% ;

\item la production agricole anglaise aidÃ©e par des avancÃ©es techniques, permet de nourrir \numprint{400000} habitants de plus par an. 

\end{enumerate}

\begin{enumerate}[1)]
\item Traduire les hypothÃ¨ses de Thomas Malthus en choisissant deux suites dont on donnera les Ã©lÃ©ments caractÃ©ristiques (nature, premier terme, raison).

\item En utilisant les hypothÃ¨ses de Malthus, quelle est la population de l'Angleterre en 1801 et le nombre de personnes pouvant Ãªtre nourries cette annÃ©e-lÃ&nbsp;?

\item \textbf{\textcolor{red}{facultatif (1 point)}} \\
Ã€ l'aide d'une calculatrice, dÃ©terminer la premiÃ¨re annÃ©e pour laquelle la population ne peut plus Ãªtre suffisamment nourrie suivant l'hypothÃ¨se formulÃ©e par Malthus. 

\end{enumerate}

\end{multicols}




\newpage




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{subsection}{0}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{MathÃ©matiques spÃ©cifiques : contrÃ´le (suites arithmÃ©tiques et gÃ©omÃ©triques)}}\end{center}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
Soit $v$ la suite dÃ©finie par $v(0)=4$ et pour tout entier naturel $n$, $v(n+1)=2v(n)-5$.\\
Calculer $v(1)$, $v(2)$ et $v(3)$.

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
$u$ est la suite arithmÃ©tique de premier terme $u(0)=3$ et de raison $r=6$.\\
Calculer $u(7)$.

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
$u$ est la suite arithmÃ©tique tel que $u(4)=15$ et de raison $r=-3$.\\
Calculer $u(0)$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
On donne ci-dessous le terme gÃ©nÃ©ral d'une suite $u$.\\
Quelles sont celles qui sont arithmÃ©tiques ?
\begin{enumerate}[a)]

\item $u(n)=4n+3$

\item $u_n=\dfrac{n+7}{2}$

\item $u(n)=2n^2+3$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Une entreprise dÃ©cide de soutenir une association caritative par des dons mensuels.\\
Le premier mois, l'entreprise fait un don de 1 \euro{}, et chaque mois, elle fait un don de 1 \euro{} supplÃ©mentaire. \\
On note $u(n)$ le don fait le $n$-iÃ¨me mois.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que $u$ est une suite arithmÃ©tique de premier terme $u(1)=1$.

\item Quelle est la raison de cette suite $u$ ?

\item En dÃ©duire que $u(n)=n$.

\item On rappelle que la somme \[u(1)+u(2)+\cdots+u(n)=n\times \dfrac{u(1)+u(n)}{2}.\]
Quelle somme l'entreprise aura-t-elle reÃ§u au bout de 10 ans ?

\end{enumerate}

%\subsection{}
%Louis dÃ©cide de faire un placement Ã&nbsp; intÃ©rÃªts \textbf{simples} afin de prÃ©voir lâ€™achat dâ€™un cadeau pour son professeur de
%franÃ§ais de 350 euros.\\
%Il place 200 euros en janvier 2024.\\
%Ã€ chaque dÃ©but de mois, son capital est augmentÃ© de 2\:\% du \textbf{montant initial}.\\
%On note $u(n)$ le montant de son placement au bout de $n$ mois aprÃ¨s le 1\ier{} janvier 2024. On a donc $u(0) = 200$.
%
%\begin{enumerate}[1)]
%\item Justifier que pour tout entier naturel n : $u(n) = 4n+200$/
%
%\item DÃ©terminer la plus petite valeur de $n$ telle que $u(n) 350$.
%
%\item Ã€ partir de quelle date Louis pourra-t-il acheter son cadeau ? Justifier
%
%\end{enumerate}

%\subsection{}
%Pour les suites gÃ©omÃ©triques suivantes dont on donne le premier terme et la raison, exprimer le terme gÃ©nÃ©ral $u(n)$ en fonction de $n$, puis calculer $u(5)$.
%\begin{enumerate}[a)]
%\item $u(0)=3$ et $q=2$.
%
%\item $u(0)=2$ et $q=-3$.
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}

On considÃ¨re la suite gÃ©omÃ©trique $u$ de premier terme $u(0)=\numprint{1000}$ et de raison. 0,2. \\
Calculer $u(7)$.


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Une solution contient cinq bactÃ©ries Ã&nbsp; l'instant $t=0$. AprÃ¨s l'ajout d'un Ã©lÃ©ment nutritif, le nombre de bactÃ©ries augmente de 30\:\% chaque seconde.
On appelle $u(n)$ le nombre de bactÃ©ries au bout de $n$ secondes.
\begin{enumerate}[1)]
\item Quel est le coefficient multiplicateur associÃ© Ã&nbsp; une hausse de 30\:\%.

\item Exprimer $u(n)$ en fonction de $u(0)$ et de $n$.

\item Au bout de combien de secondes le nombre de bactÃ©ries dÃ©passera \numprint{30000} ?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Thomas Malthus, Ã©conomiste anglais du dÃ©but du XIX\ieme{} siÃ¨cle, a travaillÃ© sur l'Ã©volution de la population en Angleterre.\\ 
En 1800, la population anglaise Ã©tait de 8,3 millions d'habitants. Bien que trÃ¨s pauvre en majoritÃ©, toute la population arrivait tant bien que mal Ã&nbsp; se nourrir. Thomas Malthus prÃ©voit que cette situation ne pourra pas durer au cours du temps. Il Ã©met les hypothÃ¨ses suivantes: 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la population en Angleterre augmente chaque annÃ©e de2\:\% ;

\item la production agricole anglaise aidÃ©e par des avancÃ©es techniques, permet de nourrir \numprint{400000} habitants de plus par an. 

\end{enumerate}

\begin{enumerate}[1)]
\item Traduire les hypothÃ¨ses de Thomas Malthus en choisissant deux suites dont on donnera les Ã©lÃ©ments caractÃ©ristiques (nature, premier terme, raison).

\item En utilisant les hypothÃ¨ses de Malthus, quelle est la population de l'Angleterre en 1801 et le nombre de personnes pouvant Ãªtre nourries cette annÃ©e-lÃ&nbsp;?

\item \textbf{\textcolor{red}{facultatif (1 point)}} \\
Ã€ l'aide d'une calculatrice, dÃ©terminer la premiÃ¨re annÃ©e pour laquelle la population ne peut plus Ãªtre suffisamment nourrie suivant l'hypothÃ¨se formulÃ©e par Malthus. 

\end{enumerate}


\end{multicols}


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