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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Maths spécifiques : feuille d'exercices sur la dérivation \no 4}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Équation de la tangente}}
On considère la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x)=-\dfrac{3}{x}.\]
Soit le point $A$ d’abscisse 1 de la courbe $\mathscr{C}_f$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Donner l’ordonnée du point $A$.

\item On admet que : $f'(1) = 3$.\\
Déterminer par le calcul l’équation réduite de la tangente à la courbe passant par le point $A$.

\item Placer $A$ et tracer cette tangente sur le graphique ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-6)(6,1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-6)(6,1)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-6)(6,1)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0.5}{6}{-3/x}
\uput[d](3,1){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Équation d'une tangente : cas général}}
Soit $f$ une fonction. Soit $A$ le point de la courbe $\mathscr{C}_f$ ayant pour abscisse $a$.

\begin{enumerate}[1)]
\item Quelle est l'ordonnée de $A$ ?

\item Quel est le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en $A$ ?

\item En déduire que l'équation réduite de la tangente en $A$ à $\mathscr{C}_f$ est : \[y=f'(a)(x-a)+f(a).\]
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{\textcolor{blue}{Nombre dérivé pour la fonction inverse}}
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}$ par : \[f(x)=\dfrac{1}{x}.
\]\begin{enumerate}[1)]
\item Pour tout réel h, calculer le taux d’accroissement entre 1 et $1 + h$ en fonction de $h$.

\item Vers quelle valeur se rapproche ce taux quand h se rapproche de 0 ?

\item Que peut-on en déduire pour le nombre dérivé f'(1) ?

\item Soit $a$ un réel quelconque non nul.\\
Pour tout réel h, calculer le taux d’accroissement entre a et $a + h$ en fonction de $h$.

\item Vers quelle valeur se rapproche ce taux quand h se rapproche de 0 ?

\item Que peut-on en déduire pour le nombre dérivé $f'(a)$ ?

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Coût marginal en économie}}
Une entreprise fabrique une quantité $q$ d’objets dont le coût en milliers d’euros est donné par la fonction $C$ définie pour
$q\in[0~;~7]$ par : \[C(q) = 0,15q^3 - 0,8q^2 + 1,2q + 0,9.\]
\begin{enumerate}[1)]
\item Calculer le coût de fabrication pour un nombre d’objets $q$ de 1 à 6.

\item En déduire le coût moyen $C_M$ de fabrication d’un seul objet, pour chacun des cas précédents.

\item Pour quel nombre d’objets fabriqués ce coût moyen semble-t-il minimal ?

\item On rappelle que le coût marginal $C_m$ est défini en économie par le taux d’accroissement \[C_m(q) = C(q + 1) - C(q)\] correspondant
au coût de fabrication d’un objet supplémentaire.\\
Calculer ce coût marginal pour $q$ variant de 1 à 6.

\item Pour quelle valeur $q_0$ ce coût marginal semble-t-il minimum ?\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} Pour $q_0$ le coût marginal est égal au coût moyen.
\end{enumerate}



\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  