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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Maths spécifiques : correction de la feuille d'exercices sur la dérivation \no 4}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Équation de la tangente}}
On considère la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x)=-\dfrac{3}{x}.\]
Soit le point $A$ d’abscisse 1 de la courbe $\mathscr{C}_f$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Donner l’ordonnée du point $A$.
L’ordonnée du point $A$ est $f(1)=-3$.

\item On admet que : $f'(1) = 3$.\\
%Déterminer par le calcul l’équation réduite de la tangente à la courbe passant par le point $A$.
L'équation de la tangente en 1 est de la forme $y=f'(1)x+p\iff y=3x+p$ puisque $f'(1)$ est le coefficient directeur de cette tangente.\\
Cette droite passe par $A(1~;~-3)$ donc $-3=3\times 1+p d'où \boxed{\textcolor{red}{p=-6}}$.\\
L'équation de la tangente en 1 est $\boxed{\textcolor{red}{y=3x-6}}$

\item Placer $A$ et tracer cette tangente sur le graphique ci-dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-6)(6,1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-6)(6,1)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-6)(6,1)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0.5}{6}{-3/x}
\uput[d](3,1){$\mathscr{C}_f$}
\psdot[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,-3)
\uput[r](1,-3){$A$}
\psplotTangent[linewidth=2pt,linecolor=blue]{1}{3}{-3/x}
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Équation d'une tangente : cas général}}
Soit $f$ une fonction. Soit $A$ le point de la courbe $\mathscr{C}_f$ ayant pour abscisse $a$.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Quelle est l'ordonnée de $A$ ?
L'ordonnée de $A$ est $f(a)$.

\item %Quel est le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en $A$ ?
Le coefficient directeur de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en $A$ est $f'(a)$.

\item %En déduire que l'équation réduite de la tangente en $A$ à $\mathscr{C}_f$ est : \[y=f'(a)(x-a)+f(a).\]
L'équation de la tangente en $a$ est : $y=f'(a)x+p$.\\
Elle passe par $A(a~;~f(a))$ donc $f(a)=f'(a)\times a+p$ d'où $p=f(a)-f'(a)\times a$.\\
L'équation devient : \\
$y=f'(a)x+f(a)-f'(a)\times a\\
\iff \boxed{\textcolor{red}{y=f'(a)(x-a)+f(a)}}$
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Nombre dérivé pour la fonction inverse}}
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}$ par : \[f(x)=\dfrac{1}{x}.
\]\begin{enumerate}[1)]
\item %Pour tout réel h, calculer le taux d’accroissement entre 1 et $1 + h$ en fonction de $h$.
Le taux d’accroissement entre 1 et $1 + h$ en fonction de $h$ est :\\
$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{(1+h)-1}=\dfrac{\frac1{1+h}-1}{h}=\dfrac{\frac{1-(1+h)}{1+h}}{h}=\dfrac{\frac{-h}{1+h}}{h}\\
=-\dfrac{h}{h(1+h)}=-\dfrac{1}{1+h}$.

\item %Vers quelle valeur se rapproche ce taux quand h se rapproche de 0 ?
Ce taux se rapproche de -1 lorsque $h$ se rapproche de 0.

\item %Que peut-on en déduire pour le nombre dérivé f'(1) ?
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{f'(1)=-1}}$.

\item Soit $a$ un réel quelconque non nul.\\
%Pour tout réel h, calculer le taux d’accroissement entre a et $a + h$ en fonction de $h$.
L taux d’accroissement entre a et $a + h$ en fonction de $h$ est :\\
$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\dfrac{\frac1{a+h}-\frac1{a}}{h}=\dfrac{\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}}{h}=\dfrac{-\frac{h}{a(a+h)}}{h}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{a(a+h)}}}$.

\item %Vers quelle valeur se rapproche ce taux quand h se rapproche de 0 ?
Ce taux quand h se rapproche de 0 se rapproche de $\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{a^2}}}$.

\item %Que peut-on en déduire pour le nombre dérivé $f'(a)$ ?
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{f'(a)=-\dfrac{1}{a^2}}}$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Coût marginal en économie}}
Une entreprise fabrique une quantité $q$ d’objets dont le coût en milliers d’euros est donné par la fonction $C$ définie pour
$q\in[0~;~7]$ par : \[C(q) = 0,15q^3 - 0,8q^2 + 1,2q + 0,9.\]
On obtient :
\scriptsize
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$q$&1&2&3&4&5&6\\
\hline
$C(q)$&1,45&1,3&1,35&2,5&5,65&11,7\\
\hline
$C_M(q)$&1,45&0,65&0,45&0,63&1,13&1,35\\
\hline
$C_m(q)$&-0,15&-0,05&1,15&3,15&6,05&\\
\hline
\end{tabularx}

\end{center}

\normalsize
\noindent 3)  Pour 3 objets.\\
5)  Pour $q_0=2$.



\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  