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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Tangente à une courbe, nombre dérivé d'une fonction}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Tangente à une courbe}}
$f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ sont deux réels de I, et $A$ et $B$ les points de la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de $f$ d’abscisses respectives $a$ et $b$.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle sécante à la courbe $\mathscr{C}_f$ toute droite passant par deux points A et B distincts de la courbe.
\end{bclogo}

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-8,-5)(5,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-8,-5)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-8,-5)(5,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-8}{5}{0.041666666666666664*x^(3)+0.20833333333333334*x^(2)-0.9166666666666666*x-1.3333333333333333}
\pstGeonode(-7,1){A}(-4,3){B}
\pstLineAB[nodesepA=-1,nodesepB=-1,linecolor=blue,linewidth=2pt]{A}{B}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété : Taux d’accroissement et sécante}}
Le coefficient directeur de la sécante $(AB)$ est le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $b$.\\
Il est défini par le quotient : $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
\end{bclogo}
.
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : soit $f : x\mapsto x^2$
Le taux d’accroissement entre 1 et 3 vaut : $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=\boxed{\textcolor{red}{4}}$.\\
Le coefficient directeur de la sécante (AB) est 4.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,11)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(3,11)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(3,11)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{3}{x^2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,1)(3,9)
\pstGeonode(1,1){A}(3,9){B}
\pstLineAB[nodesepA=-1,nodesepB=-1,linecolor=blue,linewidth=2pt]{A}{B}
\end{pspicture}

\end{center}
.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition  : Tangente}}
Quand B se rapproche de A, si la sécante $(AB)$ semble se rapprocher d’une position limite; cette \og{}droite limite\fg{} s’appelle la \textbf{\textcolor{blue}{tangente}} à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$ (ou en $A$).
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété d'unicité}}
Quand elle existe, cette tangente est unique et vient \og{}frôler\fg{} la courbe $\mathscr{C}$ autour du point $A$.\\
Localement, la croupe et la tangente se confondent presque.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}


\begin{enumerate}[1)]
\item $f : x\mapsto x^2$.\\
Traçons les tangentes en -2 et 1.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,11)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(3,11)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(3,11)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{3}{x^2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2,4)(1,1)
\pstGeonode(-2,4){A}(1,1){B}
\psplotTangent[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x^2}
\psplotTangent[linewidth=2pt,linecolor=blue]{1}{2}{x^2}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Soit $f : x\mapsto \dfrac{3}{4}x(x-1)(x+2)$.\\
Voilà les tangentes en 0 et en 1 :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-7)(3,11)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-7)(3,11)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-7)(3,11)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-2.7}{2.28}{3* x* (x-1)*(x+2)/4}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,0)(1,0)
\pstGeonode(0,0){A}(1,0){B}
\psplotTangent[linewidth=2pt,linecolor=blue]{0}{2}{3* x* (x-1)*(x+2)/4}
\psplotTangent[linewidth=2pt,linecolor=blue]{1}{2}{3* x* (x-1)*(x+2)/4}
\uput[r](2,6){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition du nombre dérivé}}
Si la courbe $\mathscr{C}_f$ admet une tangente non verticale au point d’abscisse $a$, alors le coefficient directeur de cette tangente est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$, et on le note $f '(a)$ (qu'on lit \og{}f prime de $a$\fg{}).
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Modélisation}}

Si $x(t)$ correspond à la position d'un mobile, $\dfrac{x(t)-x(a)}{t-a}$ correspond à la vitesse moyenne entre $a$ et $t$.\\
Le nombre dérivé $x'(a)$ est la vitesse \textbf{\textcolor{red}{instantanée}} en $a$.

\label{fin}
\end{document}  