<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
%\usepackage{ProfCollege,ProfLycee}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{ProbabilitÃ©s conditionnelles, indÃ©pendance}}\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{ProbabilitÃ©s conditionnelles}}
Dans ce paragraphe, on considÃ¨re que $p(A) \neq 0$.

\subsubsection{\textcolor{red}{DÃ©finition}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition d'une probabilitÃ© conditionnelle}}
$p_{A}(B)$ dÃ©signe la probabilitÃ© que lâ€™Ã©vÃ©nement $B$ soit rÃ©alisÃ© sachant que $A$ est rÃ©alisÃ©.\\
On dit que câ€™est une probabilitÃ© conditionnelle.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}}

\parbox{10cm}{On donne ci-contre la rÃ©partition des spectateurs sur une journÃ©e dans une salle de cinÃ©ma selon les sÃ©ances et le tarif.\\
On choisit un de ces spectateurs au hasard et on considÃ¨re les Ã©vÃ©nements :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $M$ : \og{}La personne a assistÃ© Ã&nbsp; la sÃ©ance du matin\fg{}.

\item $D$ : \og{}La personne a payÃ© demi-tarif\fg{}.
\end{enumerate}
}\hfill
\parbox{8cm}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{&gt;{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{} 
&amp;Plein tarif&amp;Demi Tarif&amp;Total\\
\hline
SÃ©ance du matin&amp;103&amp;91&amp;194\\
\hline
SÃ©ance du soir&amp;280&amp;26&amp;306\\
\hline
Total&amp;383&amp;117&amp;500\\
\hline
\end{tabularx}}

La probabilitÃ© que la personne ait assistÃ© Ã&nbsp; la sÃ©ance du matin sachant quâ€™elle a payÃ© demi-tarif est :
$p_{D}(M) =\dfrac{91}{117}$ car parmi les 117 personnes ayant payÃ© demi-tarif, 91 sont venues le matin.\\
De mÃªme, $p_M(D),$ la probabilitÃ© que la personne ait payÃ© demi-tarif, sachant quâ€™elle a assistÃ© Ã&nbsp; la sÃ©ance
du matin est $\dfrac{91}{194}$.

.\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
La propriÃ©tÃ© de $B$ sachant que $A$ est rÃ©alisÃ© est $p_A(B)=\dfrac{p[A \cap B]}{p(A)}$\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on lit souvent \og{}probabilitÃ© de $B$ sachant $A$\fg{}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : on tire une carte dans un jeu de 32 cartes :\\
\textbf{\textcolor{red}{Rappel}} : dans un jeu de 32 cartes, il y a quatre couleurs (trÃ¨fle, carreau, cÅ“ur et pique) et les cartes sont 8~;~9~;~10~;~valet~;~Dame~;~Roi et As.\\

\noindent On note : \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $A$ l'Ã©vÃ©nement \og{}la carte tirÃ©e est un cÅ“ur\fg{}

\item $B$ : \og{}le rÃ©sultat est un valet\fg{}
\end{enumerate}
On a : $p(A)=\dfrac{1}{4}$~;~$p(B)=\dfrac{1}{8}$\\
$p(A \cap B)=\dfrac{1}{32}$.\\
On en dÃ©duit que la probabilitÃ© $P_A(B)$ d'avoir un valet, sachant que l'on a tirÃ© un cÅ“ur, est :\\
$p_A(B)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}=\dfrac{\frac1{32}}{\frac14}=\dfrac{1}{32}\times \dfrac{4}{1}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{8}}}$.

\bigskip

Remarque : $p_B(A)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(B)}=\dfrac{\frac1{32}}{\frac18}=\dfrac{1}{32}\times 8=\dfrac{1}{4}$.\\
Ã’n constate que $\boxed{\textcolor{red}{p_A(B)\neq p_B(A)}}$.

\subsubsection{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
Soient $A$ et $B$ deux Ã©vÃ©nements de probabilitÃ©s non nulles.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A \cap B)=p_A(B)\times p(A)$ et $p(A \cap B)=p_B(A)\times p(B)$

\item $p_A\left(\overline{B}\right)=1-p_A(B)$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{DÃ©monstration}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p_A(B)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}$ donc $p(A \cap B)=p_A(B)\times p(A)$

\item De mÃªme : $p_B(A)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(B)}$ donc $p(A \cap B)=p_B(A)\times p(B)$

\item On a : $A=(A \cap B) \cup \left(A \cap \overline{B}\right)$ (car les Ã©lÃ©ments de $A$ sont de deux sortes : ceux qui appartient Ã&nbsp; $B$ et ceux qui n'appartiennent pas Ã&nbsp; $B$).\\
L'intersection de $(A \cap B)$ et de $\left(A \cap \overline{B}\right)$ est vide : $(A \cap B) \cap \left(A \cap \overline{B}\right)=\emptyset$.\\
On en dÃ©duit que $p(A \cap B)+p\left(A \cap \overline{B}\right)=p(A)$.\\
Alors : $p_A(B)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}=\dfrac{p(A)-p\left(A \cap \overline{B}\right)}{p(A)}=\dfrac{p(A)}{p(A)}-\dfrac{p\left(A \cap \overline{B}\right)}{p(A)}=\boxed{\textcolor{red}{1-p_A\left(\overline{B}\right)}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} :\\
Ã€ la montagne, 80\:\% des vacanciers pratiquent le ski alpin et 20\:\% la randonnÃ©e en raquettes.\\
60\:\% des skieurs et 50\:\% des randonneurs sont des hommes.\\
On choisit un vacancier au hasard.\\
O, note :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $S$ l'Ã©vÃ©nement : \og{}le vacancier choisi pratique le ski\fg{}

\item $H$ l'Ã©vÃ©nement : \og{}le vacancier choisi est un homme\fg{}.
\end{enumerate}
D'aprÃ¨s l'Ã©noncÃ© : $p(S)=80\:\%=0,8$ ; $p_S(H)=60\:\%=0,6$.\\
On en dÃ©duit : $p(S \cap H)=p_S(H)\times p(S)=0,6\times 0,8=0,48$.\\
La probabilitÃ© que le vacancier choisi soit un homme et pratique le ski est 0,48.\\
On a : $p_S\left(\overline{H}\right)=1-p_S(H)=0,4$.\\
La probabilitÃ© que le vacancier choisi soit une femme, sachant qu'il pratique le ski est 0,4.

\newpage



\subsubsection{\textcolor{red}{Utilisation d'un tableau}}
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : 

Un professeur de mathÃ©matiques a triÃ© sa bibliothÃ¨que dans laquelle figurent 32 manuels de diffÃ©rents niveaux, certains Ã©tant conformes aux programmes actuels et dâ€™autres, plus vieux, nâ€™y Ã©tant pas conformes.\\
La rÃ©partition de ces manuels est donnÃ©e par le tableau ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}} \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{} &amp;Conforme&amp;Non conforme&amp;Total\\
\hline
Seconde&amp; 9&amp; 8&amp; 17\\
\hline
PremiÃ¨re&amp; 3&amp; 5&amp; 8\\
\hline
Terminale&amp; 1&amp; 6&amp; 7\\
\hline
Total&amp; 13&amp; 19&amp; 32
\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\noindent Il prend un de ces manuels au hasard et on considÃ¨re les Ã©vÃ©nements :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $C$ : \og{}Le manuel est conforme aux programmes actuels.\fg{}

\item  $S$ : \og{}Le manuel est un manuel de Seconde\fg{}.

\item $T$ : \og{}Le manuel est un manuel de Terminale
\fg{}
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Calculer $p(C)$, $p(S)$ et $p(T)$.

\item Calculer $p_T(C)$ et $p_C(T)$.

\item Calculer $p_C\left(\overline{S}\right)$ et $_{\overline{S}}(C)$.

\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{red}{Utilisation d'un arbre pondÃ©rÃ©}}
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=15mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{$p(A)$}}
	  { 
		  \TR{$B$}\taput{$p_A(B)$}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{$p_A\left(\overline{B}\right)$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{$p\left(\overline{A}\right)$}}
	  {
		  \TR{$B$}\taput{$p_{\overline{A}(B)}$}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{$p_{\overline{A}\left(\overline{B}\right)}$}}}
\end{center}


\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : 

On considÃ¨re un jeu dans lequel on lance dâ€™abord un dÃ© Ã&nbsp; 10 faces puis :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item si le rÃ©sultat est 10, on lance un dÃ© Ã&nbsp; 4 faces ;

\item sinon on lance un dÃ© Ã&nbsp; 6 faces.
\end{enumerate}
On gagne lorsque le rÃ©sultat du deuxiÃ¨me dÃ© est 1.\\
On considÃ¨re les Ã©vÃ©nements $A$ : \og{}Le rÃ©sultat du premier dÃ© est 10\fg{} et $B$ : \og{}le joueur gagne\fg{}.
\begin{enumerate}
\item Recopier et complÃ©ter lâ€™arbre pondÃ©rÃ© ci-dessous reprÃ©sentant la situation.
\vspace{2cm}
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=15mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=6pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{$\frac1{10}$}}
	  { 
		  \TR{$B$}\taput{$\frac14$}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{$\frac34$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{$\frac9{10}$}}
	  {
		  \TR{$B$}\taput{$\frac16$}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{$\frac56$}}}
\end{center}

\item %DÃ©terminer $p(A \cap B)$.
$p(A \cap B)=p_A(B)\times p(A)=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{10}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{40}}}$.

\item %DÃ©terminer la probabilitÃ© de gagner.
On veut calculer $p(B)$ ;\\
$=\left(B \cap A\right) \cup \left(B \cap \overline{A}\right)$.\\
On a rÃ©union de deux Ã©vÃ©nements incompatibles, donc la probabilitÃ© de cette rÃ©union est la somme des probabilitÃ©s.\\
$p(B)=p(B \cap A)+p\left(B \cap \overline{A}\right)=p_A(B)\times p(A)+p_{\overline{A}}(B)\times p\left(\overline{A}\right)=\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{6}\times \dfrac{9}{10}=\dfrac{1}{40}+\dfrac{\cancel{3}\times 3}{\cancel{3}\times 2\times 10}=\dfrac{1}{40}+\dfrac{3}{20}=\dfrac{7}{40}$.\\
La probabilitÃ© de gagner est $\boxed{\textcolor{red}{p(B)=\dfrac{7}{40}}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Ã‰vÃ©nements indÃ©pendants}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
Soient deux Ã©vÃ©nements $A$ et $B$ de probabilitÃ©s non nulles.\\
On dit que $A$ et $B$ sont indÃ©pendants lorsque $p(A \cap B)=p(A)\times p(B)$.
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
$A$ et $B$ sont indÃ©pendants Ã©quivaut Ã&nbsp; $p_A(B)=p(B)$ et $p_B(A)=p(A)$.
\end{bclogo}

DÃ©monstration :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $A$ et $B$ sont indÃ©pendants, $p(A \cap B)=p(A)\times p(B)$ ; or $p(A \cap B)=p_A(B)\times p(A)$ donc :\\
$p(A)\times p(B)=p_A(B)\times p(A)$.\\
En divisant par $p(A)\neq 0$, on obtient : $p_A(B)=p(B)$.\\
De mÃªme, $p(A \cap B)=p_B(A)\times p(B)$ donc $p(A)\times p(B)=p_B(A)\times p(B)$, d'oÃ¹, en divisant par $p(B)Â±neq 0$ :\\
$p_B(A)=p(A)$.

\item RÃ©ciproque : on suppose que $p_A(B)=p(B)$.\\
Alors : $p(A \cap B)=p_A(B)\times p(A)=p(B)\times p(A)=p(A)\times p(B)$ donc $A$ et $B$ sont indÃ©pendants.\\
De mÃªme si $p_B(A)=p(A)$
\end{enumerate}

Remarque : $p_B(A)=p(A)$ signifie que la rÃ©alisation de $B$ n'a pas d'influence sur la rÃ©alisation de $A$.

\bigskip

\danger : ne pas confondre Ã©vÃ©nements incompatibles $A \cap B=\emptyset$ et indÃ©pendants.




\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>