<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Maths spÃ©cifiques : correction de la feuille d'exercices \no 2 sur les suites arithmÃ©tiques}}\end{center}


\subsection{}
Au mois de janvier 2017, Vincent a Ã©conomisÃ© 75 \euro{}, au mois de fÃ©vrier, il a Ã©conomisÃ© 7,50 \euro{} de plus qu'en janvier, en mars 7,50 \euro{} de plus qu'en fÃ©vrier, etc. \\
Il Ã©conomise ainsi chaque mois 7,50 \euro{} de plus qu'au mois prÃ©cÃ©dent. On note $u(0)$ la somme, en euros, Ã©conomisÃ©e par Vincent en janvier 2017, $u(1)$ celle Ã©conomisÃ©e en fÃ©vrier, $u(2)$ en mars, etc. 

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u(1)$, $u(2)$ et $u(3)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u(1)=75+7,50=\boxed{\textcolor{red}{82,50}}$

\item $u(2)=82,50+7,50=90$

\item $u(3)=90+7,50=97,5$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$?
Pour tout $n$, $u(n+1)=u(n)+7,5$ donc la suite $u$ est arithmÃ©tique, de raison $r=7,5$

\item %Exprimer $u(n)$ en fonction de $n$. 
$\boxed{\textcolor{red}{u(n)=u0+nr=75+7,5n}}$
\end{enumerate}

\item %Comment est notÃ©e l'Ã©conomie rÃ©alisÃ©e par Vincent en dÃ©cembre 2019 ? Calculer cette Ã©conomie. 
DÃ©cembre 2019 correspond Ã&nbsp; $n=35$.\\
$u_{35}=75+35\times 7,5=\boxed{\textcolor{red}{337,5}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
%Lorentz place une somme de \numprint{1000} euros au taux simple annuel de 5\:\%; câ€™est-Ã&nbsp;-dire que chaque annÃ©e, la somme placÃ©e augmentera de 5\:\%de la \textbf{somme initiale}.\\
%Pour tout entier naturel $n$ , $u(n)$ dÃ©signe le capital de Lorentz $n$ annÃ©es aprÃ¨s son placement.
\begin{enumerate}
\item %DÃ©terminer $u(0)$ , $u(1)$ , $u(2)$ et $u(3)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u(0)=\numprint{1000}$

\item $5\:\%\times 1000=50$.\\
$u(1)=u(0)+50=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1050}}}$

\item $u(2)=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1100}}}$

\item $u(3)=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1150}}}$
\end{enumerate}

\item %Exprimer $u( n+1)$ en fonction de $u(n)$.
$u(n+1)=u(n)+50$

\item %Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ est arithmÃ©tique.\\
ON en dÃ©duit que la suite est arithmÃ©tique.\\
%Donner sa raison et son premier terme $u(0)$.
$r=50$ et $u(0)=\numprint{1000}$\\

\item %En dÃ©duire une expression de $u(n)$ en fonction de $n$.
$\boxed{\textcolor{red}{u(n)=\numprint{1000}+50n}}$

\item %Au bout de combien dâ€™annÃ©es le capital de Lorentz aura-t-il doublÃ© ?
On veut $u(n)\geqslant 2000$.\\
$1000+50n\geqslant 2000\Leftrightarrow 50n\geqslant 1000\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 20}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
En 2017, le nombre dâ€™abonnÃ©s Ã&nbsp; une page de rÃ©seau social dâ€™un artiste Ã©tait de \numprint{9000}.\\
On suppose que, chaque annÃ©e, il obtient \numprint{1500} fans supplÃ©mentaires.\\
$f(n)$ dÃ©signe le nombre dâ€™abonnÃ©s en $2017 + n$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer le nombre dâ€™abonnÃ©s en 2018 et 2019.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item En 2018 : $f(1)=\numprint{9000}+\numprint{1500}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{10500}}}$

\item En 2019 : $f(2)=\numprint{10100}+\numprint{1500}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{11500}}}$
\end{enumerate}

\item %Exprimer $f(n+1)$ en fonction de $f(n)$.
$\boxed{\textcolor{red}{f(n+1)=f(n)+\numprint{1500}}}$

\item %Quelle est la nature de la suite ? En dÃ©duire une expression de $f(n)$ en fonction de $n$.
$f$ est une suite arithmÃ©tique :\\
$\boxed{\textcolor{red}{f(n)=\numprint{9000}+\numprint{1500}n}}$

\item %Existe-t-il une annÃ©e pour laquelle le nombre dâ€™abonnÃ©s aura triplÃ© par rapport Ã&nbsp; 2017 ? Si oui, laquelle ?
On veut trouver $n$ tel que  $f(n)\geqslant 27000$.\\
$f(n)\geqslant \numprint{27000}\Leftrightarrow \numprint{9000}+1500n\geqslant \numprint{27000}\Leftrightarrow 1500n\geqslant \numprint{25500}\Leftrightarrow n\geqslant \dfrac{\numprint{25500}}{\numprint{1500}}=17$.\\
Son nombre d'abonnÃ©s aura triplÃ© au bout de 17 ans, donc en 2034.

\end{enumerate}

\subsection{}
En janvier, un jeune diplÃ´mÃ© dÃ©cide dâ€™ouvrir une concession automobile. Ce premier mois, il vend 3 voitures. Ensuite, chaque mois il vendra 2 voitures de plus que le mois prÃ©cÃ©dent.
\begin{enumerate}[a)]
\item %DÃ©finir une suite arithmÃ©tique de premier terme $u(1)$ qui permette de dÃ©terminer le nombre de voitures vendues chaque mois.
Soit $u(n)$ le nombre de voitures vendues au bout de $n$ mois avec $u(1)=3$ et de raison $r=2$.

\item %Combien de voitures vendra-t-il en fÃ©vrier ? mai ? dÃ©cembre ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u(2)=5$

\item $u(n)=u(1)+(n-1)r=3+2(n-1)=\boxed{\textcolor{red}{2n+1}}$.\\
En mai : $u(5)=11$

\item En dÃ©cembre : $u(12)=25$.
\end{enumerate}

\item %Combien de voitures aura-t-il vendu au cours de la 1Ã¨re annÃ©e ?
Le nombre de voitures vendues est $u(1)+u(2)+\cdots+u(11)$.\\
Cette somme vaut $12\times \dfrac{u(1)+u(11)}{2}=12\times \dfrac{3+25}{2}=\boxed{\textcolor{red}{168}}$.

\item %Combien de voitures aura-t-il vendu en 5 ans ?
En 5 ans : $S=u_1+\cdots+u{60}=60\times \dfrac{u(1)+u(60)}{2}=30\times (3+121)=\numprint{3720}$.

\item %Combien de voitures aura-t-il vendu au cours de la 3Ã¨me annÃ©e.
Au cours de la troisiÃ¨me annÃ©e :\\
$u(25)+\cdots+u(36)=\dfrac{12\times (u(25)+u(36))}{2}=6\times (51+73)=6\times 124=\boxed{\textcolor{red}{744}}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
%On admet que le rÃ©chauffement de la Terre a pour consÃ©quence, entre autres choses, d'augmenter le niveau de la mer de 3 mm par an.\\
%Dans un petit port, la hauteur d'eau Ã©tait en moyenne de 4,5 m en 2004.\\
%En quelle annÃ©e cette hauteur aura-elle augmentÃ© de 5~\% ?
On appelle $u(n)$ la hauteur au bout de $n$ annÃ©es.\\
3 \si{\milli\metre}=0,003\si{\metre}\\
$u(n)=4,5+0,003n$.\\
Le coefficient multiplicateur associÃ© Ã&nbsp; une augmentation de 5\:\% est 1,05.\\
On cherche $n$ tel que $4,5+0,003n\geqslant 1,05\times 4,5$.\\
$0,003n\geqslant 0,225$ donc $n\geqslant \dfrac{0,225}{0,003}=75$.\\
La hauteur d'au  aura augmentÃ© de 5~\% au bout de 75 ans.



\subsection{}
D'aprÃ¨s l'INSEE, l'espÃ©rance de vie Ã&nbsp; la naissance est passÃ©e pour les hommes de 59,9~ans en 1946 Ã&nbsp; 78,5~ans en 2012. Pour les femmes, elle est passÃ©e de 65,2~ans Ã&nbsp; 84,9~ans durant la mÃªme pÃ©riode.

\medskip
 
\textbf{\textcolor{red}{PremiÃ¨re partie}}

\medskip
 
On se propose ici de modÃ©liser l'Ã©volution de l'espÃ©rance de vie pour les hommes par la suite arithmÃ©tique $\left(U_{n}\right)$ de premier terme $U_{0} = 59,9$ et de raison $r = 0,25$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculons $U_1$, $U_2$ et $U_3$ qui correspondent aux annÃ©es 1947, 1948 et 1949.
\begin{description}
\item[$U_{1}$~:] $U_1= \np{59.9}+\np{0.25}=\np{60.15}$
\item[$U_{2}$~:] $U_2=\np{60.15}+\np{0.25}=\np{60.40}$
\item[$U_{3}$~:] $U_3=\np{60.40}+\np{0.25}=\np{60.65}$
\end{description} 
\item Le terme gÃ©nÃ©ral d'une suite  arithmÃ©tique  de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est $\boxed{\textcolor{red}{u_n=u_0+nr}}$. 

Il en rÃ©sulte  $\boxed{\textcolor{red}{U_n=\np{59.9}+\np{0.25}n}}$.

\item DÃ©terminons $U_{66}$. RemplaÃ§ons $n$ par 66, $U_{66}=\np{59.9}+\np{0.25}\times 66=\boxed{\textcolor{red}{\np{76.4}}}$.

\item Entre 1946 et 2012, l'espÃ©rance de vie a augmentÃ© de ($\np{78.5}- \np{59.9}$) ans c'est-Ã&nbsp;-dire de 18,6 ans en 66 ans donc en moyenne de $\dfrac{\np{18.6}}{66}\approx \np{0.28}$   ans ou encore de \np{3.38} mois.

Les hommes ont, en rÃ©alitÃ©, plus de 3 mois d'espÃ©rance de vie chaque annÃ©e en moyenne.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{\textcolor{red}{DeuxiÃ¨me partie}}

\medskip
\begin{enumerate}
\item DÃ©terminons, Ã&nbsp; $10^{-2}$ prÃ¨s, le taux d'Ã©volution global de l'espÃ©rance de vie pour les hommes exprimÃ© en pourcentage de 1946 Ã&nbsp; 2012. 
Le taux  $T$ est dÃ©fini par  $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. $T=\dfrac{\np{18.6}}{\np{59.9}}\approx \boxed{\textcolor{red}{\np{0.31}}}$

Le taux d'Ã©volution global  de l'espÃ©rance de vie pour les hommes exprimÃ© en pourcentage de 1946 Ã&nbsp; 2012 est de \np{0.31}\,\%

\item Calculons le taux d'Ã©volution  de l'espÃ©rance de vie pour les femmes exprimÃ© en pourcentage de 1946 Ã&nbsp; 2012.

$T_F=\dfrac{\np{84.9}-\np{65.2}}{\np{65.2}}\approx \boxed{\textcolor{red}{\np{0.30}}}$.

Le taux d'Ã©volution global  de l'espÃ©rance de vie pour les femmes exprimÃ© en pourcentage de 1946 Ã&nbsp; 2012 est de \np{0.30}\,\%.

Il en rÃ©sulte que les hommes ont eu, Ã&nbsp; $10^{-2}$ prÃ¨s, le taux d'Ã©volution global le plus Ã©levÃ© durant cette pÃ©riode.

\end{enumerate}

\subsection{}
ReprÃ©senter les trois premiers termes de la suite arithmÃ©tique $u$ de raison 5 et de premier terme $u(0) = -10$ dans
un repÃ¨re adaptÃ©, puis tracer la droite passant par ces points.\\
En dÃ©duire $u(3)$ et $u(4)$.
On z : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u(0)=-10$

\item $u(1)=-10+5=-5$

\item $u(2)=-5+4=0$
\end{enumerate}
Les points de coordonnÃ©es $(n~;~u(n))$ sont alignÃ©s.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-11)(5,11)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-1,-11)(5,11)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-11)(5,11)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,-10)(1,-5)(2,0)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0}{4.2}{5*x-10}
\end{pspicture}
\end{center}
On en dÃ©duit graphiquement : \\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u(3)=5$

\item $u(4)=10$
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>