<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille \no 3 (ProbabilitÃ©s conditionnelles)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Les Ã©vÃ©nements $A$ et $B$ de probabilitÃ©s respectives 0,5 et 0,7 sont indÃ©pendants. 

\begin{enumerate}
\item %Calculer $p(A \cap B)$.
Puisque $A$ et $B$ sont indÃ©pendants, $p(A \cap B)=p(A)\times p(B)=0,5\times 0,7=\boxed{\textcolor{red}{0,35}}$.

\item %Calculer $p\left(\overline{A} \cap B\right)$. 
$A=(A \cap B) \cup \left(\overline{A} \cap B\right)$ (rÃ©union d'Ã©vÃ©nements incompatibles).\\
Alors : $p(A)=p(A \cap B)+p\left(\overline{A} \cap B\right)$ donc $p\left(\overline{A} \cap B\right)=p(A)-p(A \cap B)=0,5-0,35=\boxed{\textcolor{red}{0,15}}$.

\end{enumerate}

\subsection{}

Les Ã©vÃ©nements $A$ et $B$ sont indÃ©pendants. On sait que $p(A)=0,8$ et $p(A \cap B)=0,45$.\\ 
%Calculer $p(B)$. 
Puisque $A$ et $B$ sont indÃ©pendants, $p(A \cap B)=p(A)\times p(B)$ donc :\\
$0,45=0,8\times p(B)$ ; on en dÃ©duit : $p(B)=\dfrac{0,45}{0,8}=\dfrac{45}{80}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{16}}}$.


\subsection{}
Deux Ã©vÃ©nements $A$ et $B$ sont indÃ©pendants et ont la mÃªme probabilitÃ©.\\
De plus $p(A \cap B)= 0,25$.\\ 
%Calculer $p(A)$.
Puisque $A$ et $B$ sont indÃ©pendants, $p(A \cap B)=p(A)\times p(B)=p(A)\times p(A)=[p(A)]^2=0,25$.\\
On en dÃ©duit : $p(A)=\sqrt{0,25}=\boxed{\textcolor{red}{0,5}}$.

\subsection{}
On considÃ¨re l'expÃ©rience alÃ©atoire qui consiste Ã&nbsp; lancer un dÃ© Ã©quilibrÃ© Ã&nbsp; six faces.\\
On considÃ¨re les Ã©vÃ©nements $A$ \og{}le rÃ©sultat est un nombre pair\fg{} et $B$ \og{}le rÃ©sultat est supÃ©rieur ou Ã©gal Ã&nbsp; 4\fg{}.\\ 
%$A$ et $B$ sont-ils indÃ©pendants ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{p(A)=\dfrac{1}{2}}}$ car $A=\{2~;~4~;~6\}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{p(B)=\dfrac{1}{2}}}$ car $B=\{4~;~5~;~6\}$

\item $p(A \cap B)=\dfrac{2}{6}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$ car $A \cap B=\{4~;~6\}$

\item $p(A)\times p(B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}\neq p(A \cap B)}}$.\\
On en dÃ©duit que $A$ et $B$ ne sont \textbf{\textcolor{red}{pas indÃ©pendants}}.

\end{enumerate}

\subsection{}
Une Ã©tude statistique a permis d'Ã©tablir les probabilitÃ©s suivantes : 
\begin{itemize}
\item la probabilitÃ© qu'une voiture soit rouge est de 0,2 ;

\item si une voiture est rouge, elle sera volÃ©e avec une probabilitÃ© de 0,01 ; 

\item si elle est d'une autre couleur, elle sera volÃ©e avec une probabilitÃ© de 0,03. 
\end{itemize}


\begin{enumerate}
\item %ReprÃ©senter la situation par un arbre de probabilitÃ©.
ReprÃ©sentons la situation par un arbre pondÃ©rÃ©.\\
On note $R$ l'Ã©vÃ©nement \og{}la voiture est rouge\fg{} et $V$ \og{}la voiture est volÃ©e\fg{}.

\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=5mm}
\textcolor{blue}{\textbf{Arbre (PremiÃ¨re)}}
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$R$}\taput{$0,2$}}
	  { 
		  \TR{$V$}\taput{0,01}
		  \TR{$\overline{V}$}\tbput{0,99}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{R}$}\tbput{0,8}}
	  {
		  \TR{$V$}\taput{0,03}
		  \TR{$\overline{V}$}\tbput{0,97}		  
	  }
}
\end{center}

\item %Quelle est la probabilitÃ© que la voiture soit volÃ©e ? 
La probabilitÃ© que la voiture soit volÃ©e est :\\
$p(V)=p(V \cap R)+p\left(\overline{R} \cap V\right)$ (formule des probabilitÃ©s totales)\\
$=0,01\times 0,2+0,03\times 0,8=0,002+0,024=\boxed{\textcolor{red}{0,026}}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Dominique souhaite rÃ©aliser un exercice pour prÃ©parer sa fille Camille au bac.\\
\begin{itemize}
\item Si elle lui propose un exercice de gÃ©omÃ©trie, la probabilitÃ© que Camille rÃ©ussisse est Ã©gale Ã&nbsp; 0,9.

\item Si elle lui propose un exercice d'algÃ¨bre, la probabilitÃ© que Camille rÃ©ussisse est Ã©gale Ã&nbsp; 0,45.\\
\end{itemize}
%Dominique ne sait pas quoi choisir et va laisser les probabilitÃ©s choisir pour elle.\\
%Elle souhaite que Camille rÃ©ussisse son exercice avec une probabilitÃ© d'\textbf{au moins} 80\:\%.\\
%Sachant cela, quelle doit Ãªtre la probabilitÃ© \textbf{minimale} que Dominique choisisse un exercice de gÃ©omÃ©trie ? 
Notons :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $G$ l'Ã©vÃ©nement : \og{}Dominique choisir un exercice de gÃ©omÃ©trie\fg{}

\item $R$ l'Ã©vÃ©nement : \og{}Camille rÃ©ussit son ecercice\fg{}
\end{enumerate}
On ne connaÃ®t pas $p(G)$ qu'on note $x$.\\
$p_G[R]=0,9$\\
$p_{\overline{G}}(R)=0,45$.\\
RÃ©sumons la situation par un arbre de probabilitÃ© :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=5mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$G$}\taput{$x$}}
	  { 
		  \TR{$R$}\taput{0,9}
		  \TR{$\overline{R}$}\tbput{0,1}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{G}$}\tbput{1-x}}
	  {
		  \TR{$R$}\taput{0,45}
		  \TR{$\overline{R}$}\tbput{0,55}		  
	  }
}
\end{center}
D'aprÃ¨s la formule des probabiitÃ©s totales :\\
$p(R)=p(R \cap G)+p\left(\overline{G} \cap R \right)=0,9x+0,45(1-x)\\
=0,9x+0,45-0,45x=\boxed{\textcolor{red}{0,45x+0,45}}$.\\
Dominique veut que $p(R)\geqslant 0,8$.\\
On doit avoir $0,45x+0,45\geqslant 0,8$ donc $0,45x\geqslant 0,35$ d'oÃ¹, en divisant par 0,45 :\\
$x\geqslant \dfrac{0,35}{0,45}=\dfrac{35}{45}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{9}\approx 0,777}}$.\\
Pour que $p(R)$ soit supÃ©rieur Ã&nbsp; 80\:\%, il faut que Dominique choisisse un exercice de gÃ©omÃ©trie avec une probabilitÃ© supÃ©rieure Ã&nbsp; 77,7\:\% environ.
 


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>