<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices (dÃ©couverte des suites)}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Notion de suite}}

\begin{enumerate}[1)]
\item Soit la liste de nombres suivante : 3~;~6~;~12~;~24~;~48\dots.

\begin{enumerate}
\item %Quel semble Ãªtre logiquement le nombre suivant 48 dans cette liste ? celui encore aprÃ¨s ?
La liste se poursuit par 3~;~6~;~12~;~24~;~48~;~96~;~192.

\item %Comment procÃ¨de-t-on pour trouver le nombre suivant ?
Chaque terme est Ã©gal au double du terme prÃ©cÃ©dent.\\
\end{enumerate}

\item Soit la liste de nombres suivante : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21\dots
\begin{enumerate}
\item %Quel semble Ãªtre logiquement le nombre suivant 21 dans cette liste ? celui encore aprÃ¨s ?
La liste se poursuit ainsi : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21~;~ 34~;~55\dots

\item %Comment procÃ¨de-t-on pour trouver le nombre suivant ?
Chaque nombre (Ã&nbsp; partir de 3) est la somme des deux nombres prÃ©cÃ©dents.

\bigskip

C'est la \textbf{\textcolor{red}{suite de Fibonacci}} (cliquer \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci}{ici} pour plus de renseignements) 

\end{enumerate}

\item On appelle ces listes de nombres des \textbf{\textcolor{red}{suites}}.\\
Une suite est une liste ordonnÃ©e de nombres.\\
Soit la suite notÃ©e $u$ dont le terme de rang $n$, notÃ© $u(n)$, est tel que $u(n) = 3n^2 - 2n$.\\
La suite $u$ peut Ãªtre vue comme une fonction dont l'ensemble de dÃ©finition est $\mathbb{N}$ et la variable $n$.
\begin{enumerate}
\item %DÃ©terminer les nombres $u(0)$, $u(1)$, $u(4)$ et $u(9)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u(0)=3\times 0^2-2\times 0=\boxed{\textcolor{red}{0}}$

\item $u(1)=3\times 1^2-2\times 1=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item $u(2)=3\times 2^2-2\times 2=\boxed{\textcolor{red}{8}}$

\item $u(3)=3\times 3^2-2\times 3=\boxed{\textcolor{red}{21}}$
\end{enumerate}

\item %Pourquoi cette suite semble-t-elle croissante ?
Chaque valeur semble supÃ©rieure Ã&nbsp; la prÃ©cÃ©dente donc la suite semble croÃ®tre.
\end{enumerate}

\item On reprend la suite de la question 3)
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u(n + 1) - u(n)$.
$u(n + 1) - u(n)=\left[3(n+1)^2-2(n+1)\right]-\left[3n^2-2n\right]\\
=\left[3\left(n^2+2n+1\right)-2n-2\right]-\left[3n^2-2n\right]\\
=\left[3n^2+6n+3-2n-2\right]-\left[3n^2-2n\right]\\
=\cancel{3n^2}+6n+3-2n-2-\cancel{3n^2}+2n\\
=\boxed{\textcolor{red}{6n+1}}$

\item %Quel est le signe de $u(n + 1) - u(n)$ si n est un entier naturel ?
Puisque $n$ est un entier naturel, $6n+1&gt;0$ donc $u(n+1)-u(n)&gt;0$ donc, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u(n+1)&gt;u(n)}}$.\\


\item %Expliquer pourquoi cela dÃ©montre que la suite u est croissante.
Les valeurs de $u(n)$ croissent, donc la suite est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $u$ la suite dÃ©finie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par \\
$u_n = 2n + 3$\\.
%Calculer $u(0)$, $u(1)$ et $u(2)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u(0)=2\times 0+3=\boxed{\textcolor{red}{3}}$

\item $u(1)=2\times 1+3=\boxed{\textcolor{red}{5}}$

\item $u(2)=2\times 2+3=\boxed{\textcolor{red}{7}}$

\item $u(3)=2\times 3+3=\boxed{\textcolor{red}{9}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
 Soit $u$ la suite dÃ©finie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par \\
 $u(n)=\dfrac{n+1}{2n-3}$.\\
% Calculer $u(0)$ et $u(10)$.`
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u(0)=\dfrac{0+1}{2\times 0-3}=\dfrac{1}{-3}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{3}}}$.

\item $u(10)=\dfrac{10+1}{2\times 10-3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{11}{27}}}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
On considÃ¨re la suite $u$ dÃ©finie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $u(n) = 2^n - 1$.\\
%Calculer les cinq premiers termes de la suite $u$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u(0)=2^0-1=1-1=\boxed{\textcolor{red}{-1}}$

\item $u(1)=2^1-1=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item $u(2)=2^2-1=\boxed{\textcolor{red}{3}}$

\item $u(3)=2^3-1=\boxed{\textcolor{red}{7}}$

\item $u(4)=2^4-1=\boxed{\textcolor{red}{15}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
On considÃ¨re la suite $u$ dÃ©finie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par : $u(n) = 2n â€“ 1$.\\
%Exprimer $u(n+1)$, $u(nâ€“1)$, $u(2n)$ et $u(n) + 1$ en fonction de $n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $un+1=2(n+1)-1=2n+1$.

\item $u(n-1)=2(n-1)-1=2n-3$

\item $u(2n)=2\times 2n-1=4n-1$

\item $u(n)=1=\left[2n-1\right]+1=2n$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $u$ la suite dÃ©finie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $u(n) = n^2 + 1$.\\
%Exprimer $u(n+1)$, $u(nâ€“1)$, $u(2n)$ et $u(n) + 1$ en fonction de $n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $un+1=(n+1)^2+1=n^2+2n+2$.

\item $u(n-1)=(n-1)^2+1=n^2-2n+2$

\item $u(2n)=(2n)^2+1=4n^2+-1$

\item $u(n)=1=\left[n^2 + 1\right]+1=n^2+2$
\end{enumerate}

\subsection{}
Thomas paye 45 \euro{}un abonnement rÃ©sidentiel annuel pour garer sa voiture dehors. Il doit ensuite payer 1,5 \euro{} supplÃ©mentaire par jour de stationnement.\\
%On note $u(n)$ le prix que Thomas paye pour son abonnement pour $n$ jours de stationnement.
\begin{enumerate}
\item %Donner lâ€™expression de $u(n)$ en fonction de $n$.
$\boxed{\textcolor{red}{u(n)=1,5n+45}}$.

\item %Combien payera-t-il au total sâ€™il gare sa voiture dehors 300 jours par an ?
S'il gare sa voiture 300 jours, il paiera $u(300)=1,5\times 300+45=\boxed{\textcolor{red}{495\text{~\euro}}}$.

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>