\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Ajustement affine d'un nuage de points}}\end{center}


\begin{minipage}{16cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On considère deux séries statistiques de même ffectif $x_1$, $x_2$, \dots $x_n$ et $y_1$, $y_2$, \dots $y_n$.\\
On appelle $M_i$ le point de coordonnées $\left(x_iy_i\right)$ pour $1\leqslant i\leqslant n$.\\
On appelle nuage de points l'ensemble des points correspondants.
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

Exemple, d'après Bac Métropole STMG juin 2017 :


Le tableau suivant donne le prix moyen en dollar US de la tonne du cacao en provenance de la
Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier des années 2011 à 2015.

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année &2011& 2012& 2013& 2014& 2015\\\hline
Rang de l'année: $x_i$& 1 &2 &3& 4& 5\\\hline
Prix (en dollar) d'une tonne de cacao: $y_i$& \np{2589,70}&\np{2324,85} & \np{2507,55}&\np{2847,85}  &\np{3081,45}\\\hline
\multicolumn{6}{r}{Source: INSEE}\\
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip
Représenter le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$, pour $i$ variant de 1 à 5, est représenté ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.002cm,labelFontSize=\scriptstyle,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.75,-450)(10.35,4300)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-100)(\n,2900)}
\multido{\n=0+100}{31}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.55,\n)(10.5,\n)}
\multido{\n=0+500}{7}{\psline[linewidth=1pt](-0.55,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Oy=1500,Dy=500,]{->}(0,0)(10.5,3000)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =3,dotangle=45](1,1089.70)(2,824.85)(3,1007.55)(4,1347.85)(5,1581,45)
\uput[u](0.5,3100){\footnotesize Prix d'une tonne de cacao(en dollar)}
\uput[dr](9,- 200){\footnotesize Rang de l'année}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  %Ces points sont-ils alignés ?
Non, ces points ne sont pas alignés .

\item %Sont-ils à peu près alignés ?\\
On peut considèrer que ces points sont à peu près alignés ; dans la suite, on va voir une méthode pour trouver une droite qui passe \og{}proche\fg{} de tous les points, qu'on appelle droite d'ajustement affine.
\end{enumerate}

\newpage


\subsection*{\textcolor{blue}{Méthode de Mayer pour l'ajustement affine }}

Après avoir classé les points du nuage de points dans l'ordre croissant des abscisses, on les sépare en deux groupes de taille égale (dans le cas ou le nombre de points est impair, un groupe aura un point de plus).\\
On détermine le \textbf{\textcolor{red}{point moyen}} (c'est-à-dire le point dont l'abscisse est la moyenne des valeurs en abscisse et l'ordonnée est la moyenne des valeurs en ordonnée) de chacun des deux groupes et on les place sur le graphique.\\
Pour finir, on  trace la droite passant par les points moyens $G_1$ et $G_2$ pour obtenir la \textbf{droite d'ajustement de Mayer} . 

\bigskip

Exemple : soient les deux séries données dans le tableau ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{6}{c|}|*{5}{c|}}\hline
$x_i$&-3&-1&0&1&4&5,5&6&8&10&12,5\\
\hline
$y_i$&-4&-2&-4&-2&-1&0&2&2,5&5&6\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}
On sépare la série statistique en deux séries de cinq points. \\

\begin{enumerate}
\item Placer les points sur le graphique ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,	-6)(13,7)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,	-6)(13,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,	-6)(13,7)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =3,dotangle=45,linecolor=red](-3,-4)(-1,-2)(0,-4)(1,-2)(4,-1)(5,5,0)(6,2)(8,2.5)(10,5)(12.5,6)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =3,dotangle=45,linecolor=blue](0.2,-2.6)(8.4,3.1)
\uput[u](0.2,-2.6){$G_1$}
\uput[u](8.4,3.1){$G_2$}
\psplot[linewidth=2pt]{-4}{13}{0.695*x-2.739}
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Montrer que les coordonnées du point moyen $G_1$ du premier groupe est $G_1 (0,2~;~- 2,6)$ et celui du second groupe est $G_2(8,4~;~3,1)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'abscisse du premier point moyen est $x_{G_1}=\dfrac{-3+(-1)+0+1+4}{5}=\dfrac{1}{5}=0,2$.
L'ordonnée du premier point moyen est $y_{G_1}=\dfrac{-4+(-2)+(-4)+(-2)+(-1)}{5}=\dfrac{-13}{5}=-2,6$.\\
Donc $\boxed{\textcolor{red}{G_1\left(0,2~;~-2,6\right)}}$

\bigskip
 De même : $x_{G_2}=\dfrac{5,5+6+8+10+12,5}{5}=\dfrac{42}{5}=8,4$ et $y_{G_2}=\dfrac{0+2+2,5+5+6}{5}=\dfrac{15,5}{5}=3,1$.\\
 Donc $\boxed{\textcolor{red}{G_2(8,4~;~3,1)}}$
\end{enumerate}

\item %Les placer sur le graphique.
Voir graphique.

\item %La droite $\left(G_1G_2\right)$ est appelée  \textbf{droite de Mayer} du nuage de points.\\
%Trouver son équation. 
L'équation de la droite de Mayer est de la forme $y=ax+b$.\\
Le coefficient directeur est $a=\dfrac{y_{G_2}-y_{G_1}}{x_{G_2}-x_{G_1}}=\dfrac{3,1-(-2,6)}{8,4-0,2}=\dfrac{5,7}{8,2}\approx 0,695$.\\
Le droite passe par $G_1$ (ou $G_2$).\\
Les coordonnées de $G_1$ vérifient cette équation.\\
$-2,6=0,695\times 0,2+b$ donc $b=-2,6-0,695\times 0,2=-2,739$.\\
L'équation de la droite de Mayer est alors : $\boxed{\textcolor{red}{y=0,695-2,739}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Voici le nombre d'entrées faites par un musée pendant les six premiers mois de l'année.
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{7}{c|}}\hline
$x_i$&1&2&3&4&5&6\\
\hline
$y_i$&820&720&875&834&919&986\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Tracer le nuage de points de la série.
Nuage de points :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.05,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-10)(7,300)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=20,Ox=0,Oy=700]{->}(0,0)(-1,-10)(7,300)
\multido{\n=0+10}{31}{\psline[linewidth=1.5pt](0,\n)(7,\n)}
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=1.5pt](\n,0)(\n,300)}
\psdots[dotstyle=+,dotscale =3,dotangle=45](1,120)(2,20)(3,175)(4,134)(5,219)(6,286)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =3,dotangle=45,linecolor=red](2,105)(5,213)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{0}{7}{36*x+33}
\uput[d](2,105){$G_1$}
\uput[d](5,213){$G_2$}
\end{pspicture}

\end{center}

\item %Tracer la droite de Mayer associée à cette série.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le premier point moyen a pour coordonnées: $G_1\left(2~;~805\right)$.

\item Le deuxième point moyen a pour coordonnées: $G_2\left(5~;~913\right)$.
\end{enumerate}

\item %À l'aide de ce modèle et par lecture graphique, estimer le nombre d'entrées le septième jour.
Par lecture graphique, on peut estimer le nombre de visiteurs le septième jour à 984 environ.

\item Trouver l'équation de la droite de Mayer.\\
%Retrouver alors par le calcul le résultat précédent.
Le coefficient directeur de la droite de Mayer est : $a=\dfrac{913-805}{5-2}=\dfrac{108}{3}=36$.\\
L'équation de cette droite est $y=36x+b$.\\
Elle passe par $G_1$ donc $805=36\times 2+b$ d'où $b=805-36\times 2=805-72=733$.\\
L'équation est $\boxed{\textcolor{red}{y=36x+733}}$.\\
Pour $x=7$, on trouve $36\times 7+733=\boxed{\textcolor{red}{985}}$.

\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  