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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Mathématiques spécifiques : dérivation globale : correction de la feuille d'exercices \no 2}}\end{center}




\subsection{}
Soit $h$ la fonction définie sur [0~;~1] par : \\
$h(x) = –5x^3 - x.$
\begin{enumerate}[1)]
\item %Déterminer $h'$ la fonction dérivée de $h$.
$h'(x)=-5\times 3x^2-1=-15x^2-1$

\item %Étudier le signe de $h'(x)$ sur [0~;~1].
$h'(x)=-\left[15x^2+1\right]<0$

\item %En déduire les variations de la fonction $h$ sur [0~;~1].
On en déduit que $h$ est décroissante sur $[0~;~1]$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Un professeur a demandé à ses élèves d’étudier les variations de la fonction $g$ définie sur [0~;~9] par $g(x) = 3x – 12$.\\
Voilà la réponse d’un élève :\\
$g(x) > 0\iff 3x - 12 > 0\iff 3x > 12\iff x > 4$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&4&&9	\\
\hline
\text{Signe de }g(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\m{\text{Variation de }g(x)}&&\d&&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
%Cet élève a-t-il fait une erreur ? Qu’en penses-tu ?
Cet élève a confondu le signe de $g'$ et celui de $g$.

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \\
$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 7.$
\begin{enumerate}[1)]
\item %Déterminer $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$ et montrer que $f'(x) = (3x - 9)(x + 1).$
$f'(x)=3x^2-6x-9$.\\
$(3x - 9)(x + 1)=3x^2+3x-9x-9=3x^2-6x-9$.\\
Donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=(3x - 9)(x + 1)=3(x-3)(x-1)}}$.

\item %Étudier le signe de $f'(x)$.
$f'(x)$ s'annule pour $x=1$ ou $x=3$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&1&&3&&\pI\\
\hline
3x-9&&+&\l&-&\z&+&\\
\hline
x-1&&+&\z&-&\l&+&\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
f(x)&&\c&\h{-4}&\d&-20&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\item %En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
Variations dans le tableau précédent.

\end{enumerate}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On injecte un médicament à un malade.\\
La quantité de substance, exprimée en \si{\cubic\centi\metre}, présente dans le sang du malade à l’instant $t$, exprimé en heures, est donnée
par la fonction $f$ définie sur [0~;~12] par :
$f(t) - 0,02t^3 - 0,48t^2 + 2,88t.$
\begin{enumerate}[1)]
\item %Déterminer $f'(t)$ et vérifier que : $f'(t) = (0,06t - 0,24)(t-12).$
$f'(t)=0,06t^2-0,96t+2,88$\\
Or $(0,06t-0,24)(t-12) =0,06t^2-0,72t-0,24t+2,88 =0,06t^2-0,96t+2,88=f'(t)$

\item %Étudier le signe de $f'(t)$ et en déduire les variations de $f$ sur [0~;~12].
\begin{center}
\begin{variations}
t&0&&4&&12\\
\hline
0,06t-0,24&&-&\z&+&\\
\hline
t-12&&-&\l&-&\z\\
\hline
f'(t)&&+&\z&-&\z\\
\hline
\m{f(t)}&&\c&&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Au bout de combien d’heures la substance présente dans le sang commence-t-elle à diminuer ?
La quantité de substance présente dans le sang commence à diminuer au bout de 4 heures.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :\\
$f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 1.$
\begin{enumerate}[1)]
\item %Déterminer $f'(x)$ pour tout $x \in\mathbb{R}$.
$\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=12x^2-4x=4x(3x-1)}}$

\item %Résoudre l’équation $f'(x) = 0$.
$f'(x)=0$ pour $x=0$ ou $x=\dfrac{1}{3}$

\item %Que peut-on en déduire pour la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ ?
On en déduit que la courbe $\mathscr{C}_f$ a deux tangentes  \og{}horizontales\fg{}, c’est-à-dire de coefficient directeur 0 : une au point d’abscisse 0 et une au point d’abscisse $\dfrac{1}{3}$.

\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{}
Un artisan produit des vases en terre cuite. Sa capacité de production est limitée à 60 vases.\\
Le coût de production, en euros, dépend du nombre de vases produits et peut être modélisé par la fonction C définie sur l’intervalle [0~;~60] par $C(x) = x^2 - 10x + 500.$
Un vase est vendu 50 \euro{}.\\
Les recettes, qui dépendent du nombre de vases produits et vendus, sont modélisées par une fonction $R$ définie sur [0~;~60].
\begin{enumerate}[1)]
\item  %Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l’artisan produit et vend 50 vases.
$C(50)=\numprint{2500}$, donc le coût de production de 50 vases est \numprint{2500} \euro.\\
La recette est de 50 \euro par vase, donc elle est égale à \numprint{2500} \euro.
\item %Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
$\boxed{\textcolor{red}{R(x)=50x}}$

\item Le résultat, en euros, réalisé par l’artisan est modélisé par la fonction $B$ définie sur l’intervalle [0~;~60] par B(x) = R(x)-C(x).
\begin{enumerate}[a)]
\item %Vérifier que $B(x) = -(x - 10)(x - 50)$.
$B(x)=50x$.\\
$B(x)=50x-\left(x^2-10x+500\right).$\\
Donc $B(x)=-x^2+60x-500.$\\
Or $-(x-10)(x-50) =-\left(x^2-10x-50x+500\right) =-x^2+60x-500=B(x).$

\item %Déterminer le nombre de vases à produire et à vendre pour que l’artisan réalise des bénéfices (c’est-à-dire pour que le résultat $B(x)$ soit positif ).
Tableau de signes :

\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&10	&&50&&60\\
\hline
x+10&&+&\z&-&\l&-&\\
\hline
x-50&&-\l&-&\z&+&\\
\hline
B(x)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
\normalsize
Le bénéfice est positif lorsque l’artisan produit et vend entre 10 et 50 vases.

\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$ sur l’intervalle [0~;~60].
\begin{enumerate}[a)]
\item %Déterminer $B'(x)$.
$\boxed{\textcolor{red}{B'(x)=-2x+60}}$.

\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l’intervalle [0~;~60] et en déduire le nombre de vases à produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximum.
$B'(x)=0\iff x=30$
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&30&&60\\
\hline
B'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{B(x)}&&\c&&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
L’artisan doit produire 30 vases afin de réaliser un bénéfice maximum.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  