\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices de probabilité (feuille \no 4)}}\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{Test de dépistage}}
Un test de dépistage d'une maladie est mis en vente.\\
%Le mode d'emploi précise que :\\
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item pour une personne n'étant pas malade, le test est néanmoins positif, ( c'est-à-dire désigne cette personne comme malade) dans 2,5\:\% des cas ;
%
%\item pour une personne malade, le test est néanmoins négatif, (c'est-à-dire, désigne cette personne comme non malade) dans 0,1\:\% des cas. 
%\end{enumerate}
%On suppose qu'une maladie touche 2\:\% de la population d'un pays et qu'on décide de faire passer ce test à tous les habitants.\\
%On considère, pour un nabitant donné, les évènements :
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item  $M$ : \og{}cet habitant est malade\fg{}
%
%\item $T$ :  \og{}le test est positif\fg{}.
%\end{enumerate} 

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre, pondérée ci-contre afin qu'il représente la situation.
\vspace{1cm}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=8mm}

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$M$}\taput{$0,02$}}
	  { 
		  \TR{$T$}\taput{$0,999$}
		  \TR{$\overline{T}$}\tbput{$0,001$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{M}$}\tbput{$0,98$}}
	  {
		  \TR{$T$}\taput{$0,025$}
		  \TR{$\overline{T}$}\tbput{$0,975$}		  
	  }
}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $p(M \cap T)$
Calcul de $p(M \cap T)$ :\\
$p(M \cap T)=p_M(T)\times p(M)=0,999\times 0,02=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,01998}}}$.

\item %En déduire la probabilité que la personne soit malade, sachant que le test est positif.
On veut calculer $p_T(M)$.\\
On sait que $p_T(M)=\dfrac{p(M \cap T)}{p(T)}$.\\
Il faut donc calculer $p(T)$ :\\
$p(T)=p(T \cap M)+p\left(T \cap \overline{M}\right)=\numprint{0,01998}+0,025\times 0,98=\numprint{0,01998}+0,024=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,04448}}}$

\item %Peut-on dire que ce test est efficace ?
Ce test n’est pas vraiment efficace car quand il est positif, il n’y a que \og{}45 \:\% de chance\fg{} que la personne soit malade, probabilité très inférieure à 100\:\% !
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Vaccin contre la grippe}}
%L'efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminué pour plusieurs raisons, il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.\\
%Une étude menée dans une ville a permis de constater que :\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item  40\:\% de la population est vacciné ; 
%
%\item 8\:\% des personnes vaccinés ont contracté la grippe ;
%
%\item 20\:\% de la population a contracté la grippe. (\textbf{\textcolor{red}{À vérifier}})
%\end{enumerate}.
%On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les évènements. 
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item $V$ : \og{}la personne est vaccinée contre la grippe\fg{}
%
%\item $G$ : \og{}la personne a à contracté la grippe\fg{}.
%\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item %Donner la probabilité de l'évènement $G$.
$\boxed{\textcolor{red}{p(G)=0,2}}$ d'après l'énoncé.

\item %Représenter la situation par un arbre pondéré dans lequel figure une inconnue.
Arbre pondéré : on note $p=p_{\overline{V}}(G)$.
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$V$}\taput{$0,4$}}
	  { 
		  \TR{$G$}\taput{$0,08$}
		  \TR{$\overline{G}$}\tbput{$0,98$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{V}$}\tbput{$0,6$}}
	  {
		  \TR{$G$}\taput{$p$}
		  \TR{$\overline{G}$}\tbput{$1-p$}		  
	  }
}
\end{center}


\item %Déterminer la probabilité que la personne ait contracté la grippe et soit vaccinée.
La probabilité que la personne ait contracté la grippe et soit vaccinée est :\\
$p(V \cap G)=0,08\times 0,4=\boxed{\textcolor{red}{0,032}}$.

\item %La personne choisie n'est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu'elle ait contracté la grippe est égale à 0,28.
$p(G)=p(G \cap V)+p\left(G \cap \overline{V}\right)$ donc $p\left(G \cap \overline{V}\right)=p(G)-p(G \cap V)=0,2-0,032=\boxed{\textcolor{red}{0,168}}$.\\
Alors : $p_{\overline{V}}(G)=\dfrac{p\left(G \cap \overline{V}\right)}{p\left(\overline{V}\right)}=\dfrac{0,168}{0,6}=\boxed{\textcolor{red}{0,28}}$


\end{enumerate}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Classe de risque}}%Barbazo \no 28
%Une compagnie d'assurance répartit ses clients en trois classes : $R_1$, les risques forts, $R_2$, les risques moyens et $R_3$, les risques faibles.\\
%Les effectifs de ces trois classes représentent 20\:\% de la population totale des clients pour la classe $R_l$ , 50\:\% pour la classe $R_2$ et 30\:\% pour la classe $R_3$.\\
%Les statistiques indiquent que les probabilités d'avoir un accident au cours de l'année, pour une personne de chacune de ces trois classes, sont respectivement de 0,3, 0,15 et 0,05. 
Représentons la situation par un arbre pondéré, en note $A$ l'événement : \og{}avoir un accident\fg{}.
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=35mm,treesep=8mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$R_1$}\taput{$0,2$}}
	  { 
		  \TR{$A$}\taput{$0,3$}
		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{$0,7$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$R_2$}\tbput{$0,5$}}
	  {
		  \TR{$A$}\taput{$0,15$}
		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{$0,85$}		  
	  }
	  \pstree{\TR{$R_3$}\tbput{$0,3$}}
	  { 
		  \TR{$A$}\taput{$0,05$}
		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{$0,95$}	   
	  }
}
\end{center}
\begin{enumerate}[1)]
\item %Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard parmi les clients de cette compagnie ait un accident dans l'année ?
La probabilité qu'une personne choisie au hasard parmi les clients de cette compagnie ait un accident dans l'année est :\\
$p(A)=p(\left(A \cap R_1\right))+p(\left(A \cap R_2\right))+p(\left(A \cap R_3\right))\\
=0,3\times 0,2+0,15\times 0,5+0,05\times 0,3\\
=0,06+0,075+0,015=\boxed{\textcolor{red}{0,15}}$.

\item Gaëlle n'a pas eu d'accident cette année.\\ 
%Quelle est la probabilité qu'elle appartienne à la classe $R_l$ ? à la classe $R_2$ ? à la classe R3 ? 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La probabilité qu'elle appartienne à la classe $R_l$ est $\dfrac{p\left(\overline{A} \cap R_1\right)}{p\left(\overline{A}\right)}=\dfrac{0,2\times 0,7}{1-0,15}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{14}{85}}}$

\item La probabilité qu'elle appartienne à la classe $R_2$ est $\dfrac{p\left(\overline{A} \cap R_2\right)}{p\left(\overline{A}\right)}=\dfrac{0,85\times 0,5}{1-0,15}=\dfrac{0,425}{0,85}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$

\item La probabilité qu'elle appartienne à la classe $R_3$ est $\dfrac{p\left(\overline{A} \cap R_1\right)}{p\left(\overline{A}\right)}=\dfrac{0,95\times 0,3}{1-0,15}=\dfrac{0,285}{0,85}=\dfrac{285}{850}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{57}{170}}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}

\subsection{\textcolor{blue}{Lutte anti-dopage }}%Barbazo \no 29
%Une agence de lutte contre le dopage a mis au point un test pour détecter un nouveau produit dopant. On estime que : 
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item 2\:\% des sportifs utilisent ce produit dopant ;
%
%\item si un sportif a ingéré ce produit, le test est positif dans 99\:\%des cas ;
%
%\item s'il n'a pas pris le produit, le test est positif dans 1,5\:\% des cas (on parle alors de faux positifs). 
%
%\end{enumerate}
On note $D$ l'événement \og{}le sportif est dopé\fg{} et $T$ l'événement \og{}le test est positif\fg{}.\\
Arbre résumant la situation :
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{$0,02$}}
	  { 
		  \TR{$T$}\taput{$0,99$}
		  \TR{$\overline{T}$}\tbput{$0,01$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{D}$}\tbput{$0,98$}}
	  {
		  \TR{$T$}\taput{$0,015$}
		  \TR{$\overline{T}$}\tbput{$0,985$}		  
	  }
}
\end{center}

\begin{enumerate}[1)]
\item Un sportif est testé positif. %Quelle est la probabilité qu'il soit dopé ?
La probabilité qu'il soit dopé est :\\
$p_T(D)=\dfrac{p(D \cap T)}{p(T)}=\dfrac{0,99\times 0,2}{0,99\times 0,2+0,015\times 0,98}=\dfrac{0,0198}{0,0198+0,0147}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{0,0198}{0,0345}\approx0,574}}$.

\item %Suite à diverses améliorations, la probabilité d'avoir un faux positif, notée $p$, a pu être diminuée de telle sorte que la probabilité qu'un sportif soit dopé, sachant qu'il est testé positif, soit égale à 95\:\%.\\ 
%Calculer la valeur de $p$. 
On suppose que $p_{\overline{D}}(T)=p$.\\
On doit avoir $p_D(T)=0,95$.\\
Donc : $\dfrac{0,02\times  0,99}{0,02\times  0,99+0,98p}=0,95\\
\Leftrightarrow \numprint{0,0198}=(\numprint{0,0198}+0,98p)\times 0,95\\
\Leftrightarrow \numprint{0,0198}=\numprint{0,01881}+0,931p\\
\Leftrightarrow 0,931p=\numprint{0,00099}\\
\Leftrightarrow p=\dfrac{\numprint{0,00099}}{0,931}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{p\approx 0,001}}$

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  