<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{MathÃ©matiques spÃ©cifiques : correction du contrÃ´le sur les probabilitÃ©s }}\end{center}

\emph{Remarque} : plusieurs Ã©lÃ¨ves utilisent la notion $p(B\slash A)$ qui n'est plus utilisÃ©e en lycÃ©e depuis une quinzaine d'annÃ©es ! C'est $p_A(B)$

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
On choisit une personne au hasard dans une population et on note respectivement $M$ l'Ã©vÃ¨nement \og{}cette personne est majeure\fg{} et $S$ l'Ã©vÃ¨nement \og{}cette personne est en bonne santÃ©\fg{}.\\
Soient les Ã©vÃ¨nements :\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $A$ \og{}cette personne est mineure et en bonne santÃ©\fg{}, 

\item $B$ \og{}cette personnes n'est ni mineure ni en bonne santÃ©\fg{}

\item $C$ :  \og{}cette personne est majeure ou n'est pas en bonne santÃ©\fg{}.
\end{enumerate}

%Ã‰crire chacun des Ã©vÃ©nements $A$, $B$ et $C$ en fonction de $M$ et $S$ et en utilisant les symboles  $ \cap $, $ \cup $ et $\overline{\cdots}$.


$\boxed{\textcolor{red}{A=\overline{M} \cap S}}$\hspace{1cm} $\boxed{\textcolor{red}{B=M \cap \overline{S}}}$\hspace{1cm} $\boxed{\textcolor{red}{C=M \cup \overline{S}}}$


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
On suppose que $p(A)=0,4$, $p(B)=0,55$ et \\
$p(A \cup B)=0,7$.\\
%Calculer $p\left(\overline{A}\right)$, $p\left(\overline{B}\right)$ et $p(A \cap B)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)=1-0,4=0,6$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p\left(\overline{A}\right)=0,6}}$

\item $p\left(\overline{B}\right)=1-p(B)=1-0,55=0,45$ : $\boxed{\textcolor{red}{p\left(\overline{B}\right)=0,45}}$

\item $p(A \cup B)=p(A)+p(B)-p(A \cap B)=0,4+0,55-0,7=0,25$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p(A \cup B)=0,25}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
On suppose que $p(A)=0,8$ et $p\left(A \cap \overline{B}\right)=0,3$.\\
%Calculer $p(A \cap B)$.
$A=(A \cap B) \cup \left(A \cap \overline{B}\right)$, rÃ©union d'Ã©vÃ©nements incompatibles.\\
$p(A)=p(A \cap B)+p\left(A \cap \overline{B}\right)$ donc \\
$p(A \cap B)=p(A)-p\left(A \cap \overline{B}\right)=0,8-0,3=0,5$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{p(A \cap B)=0,5}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
$A$ et $B$ sont deux Ã©vÃ©nements relatifs Ã&nbsp; une mÃªme expÃ©rience alÃ©atoire.\\
On suppose que $p(B)=0,3$, $p_B(A)=0,6$ et $p_{\overline{B}}\left(\overline{A}\right)=0,15$.

\begin{enumerate}
\item %RÃ©prÃ©senter la situation par un arbre pondÃ©rÃ©.
Arbre pondÃ©rÃ© correspondant :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=6mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$B$}\taput{$0,3$}}
	  { 
		  \TR{$A$}\taput{0,6}
		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{\textcolor{red}{0,4}}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{B}$}\tbput{\textcolor{red}{0,7}}}
	  {
		  \TR{$A$}\taput{0,85}
		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{\textcolor{red}{0,15}}		  
	  }
}
\end{center}

\item %Calculer $p\left(\overline{B} \cap A\right)$.
$p\left(\overline{B} \cap A\right)=0,85\times 0,7=\boxed{\textcolor{red}{0,595}}$
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
L'arbre pondÃ©rÃ© suivant modÃ©lise une expÃ©rience alÃ©atoire.


\begin{enumerate}
\item %ComplÃ©ter ls probabilitÃ©s manquantes.
Arbre complÃ©tÃ© ci-dessous :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=5mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{$\textcolor{red}{0,66}$}}
	  { 
		  \TR{$B$}\taput{0,1}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{$\textcolor{red}{0,9}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{0,34}}
	  {
		  \TR{$B$}\taput{$\textcolor{red}{0,6}$}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{0,4}		  
	  }
}
\end{center}

\item %Calculer $p(A \cap B)$ , $p\left(\overline{A} \cap B\right)$ puis $p(B)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A \cap B)=p_A(B)\times p(A)=0,1\times 0,66=\boxed{\textcolor{red}{0,066}}$.

\item $p\left(\overline{A} \cap B\right)=0,6\times 0,34=\boxed{\textcolor{red}{0,204}}$

\item D'aprÃ¨s la formule des probabilitÃ©s totales :\\
$p(B)=p(A \cap B)+p\left(\overline{A} \cap B\right)=0,066+0,204=0,27$ : $\boxed{\textcolor{red}{p(B)=0,27}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4,5 points)}}
Dans une ville, 80\:\% des logements sont des appartements, occupÃ©s Ã&nbsp; 45\:\% par une seule personne et Ã&nbsp; 55\:\% par plusieurs personnes.\\
Le reste des logements sont des maisons.\\
Quand on prend un logement au hasard dans cette ville, on considÃ¨re les Ã©vÃ©nements suivants :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $A$ : \og{}Le logement est un appartement\fg{}.

\item $S$ : \og{}Le logement est occupÃ© par une seule personne\fg{}.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[1)]
\item 
\begin{enumerate}
\item %DÃ©terminer $p(A)$ et $p_A(S)$ en utilisant lâ€™Ã©noncÃ©.
D'aprÃ¨s l'Ã©noncÃ© : \\
$\boxed{\textcolor{red}{p(A)=0,8}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{p_A(S)=0,45}}$

\item %En dÃ©duire la probabilitÃ© que le logement soit un appartement occupÃ© par une seule personne.
La probabilitÃ© que le logement soit un appartement occupÃ© par une seule personne est :\\
$p(A \cap S)=p_A(S)\times p(A)=0,45\times 0,8=\boxed{\textcolor{red}{0,36}}$.

\end{enumerate}

\item Par ailleurs, 17\:\% des logements de cette ville sont des maisons occupÃ©es par plusieurs personnes.
\begin{enumerate}
\item %Traduire cette information en une probabilitÃ© en utilisant les Ã©vÃ©nements $A$ et $S$.
Ainsi a-t-on : $\boxed{\textcolor{red}{p(\overline{A} \cap \overline{S})=0,17}}$.

\item %DÃ©terminer $p(A)$ en utilisant lâ€™Ã©noncÃ©.
$p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)=1-0,8=\boxed{\textcolor{red}{0,2}}$.

\item %En dÃ©duire la probabilitÃ© que le logement soit occupÃ© par plusieurs personnes sachant que câ€™est une maison.
On veut calculer $p_{\overline{A}}\left(\overline{S}\right)=\dfrac{p\left(\overline{A} \cap \overline{S}\right)}{p\left(\overline{A}\right)}=\dfrac{0,17}{0,2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{0,85}}$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  
</pre></body></html>