<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{MathÃ©matiques spÃ©cifiques : correction du contrÃ´le (suites arithmÃ©tiques et gÃ©omÃ©triques)}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
Soit $v$ la suite dÃ©finie par $v(0)=3$ et pour tout entier naturel $n$, $v(n+1)=3v(n)-4$.
%Calculer $v(1)$, $v(2)$ et $v(3)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $v(1)=3v(0)-4=3\times 3-1=\boxed{\textcolor{red}{8}}$

\item $v(2)=3v(1)-4=3\times 8-1=\boxed{\textcolor{red}{23}}$

\item $v(3)=3v(2)-4=3\times 23-1=\boxed{\textcolor{red}{68}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
$u$ est la suite arithmÃ©tique de premier terme $u(0)=2$ et de raison $r=5$.\\
%Calculer $u(7)$.
$u(n)=u(0)+nr$ donc $u(7)=u(0)+7r=2+7\times 5=\boxed{\textcolor{red}{37}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
$u$ est la suite arithmÃ©tique tel que $u(4)=13$ et de raison $r=-2$.\\
%Calculer $u(0)$.
$u(4)=u(0)+4r$ donc $u(0)=u(4)-4r=13-4\times (-2)=\boxed{\textcolor{red}{21}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
%On donne ci-dessous le terme gÃ©nÃ©ral d'une suite $u$.\\
%Quelles sont celles qui sont arithmÃ©tiques ?
\begin{enumerate}[a)]

\item $u(n)=3n+4$.\\
$u(n+1)=3\times (n+1)+4=3n+3+4=u(n)+3$ donc $i$ est \textbf{\textcolor{red}{arithmÃ©tique}} de raison $\boxed{\textcolor{red}{r=3}}$ de premier terme $\boxed{\textcolor{red}{u(0)=4}}$.

\item $u_n=\dfrac{n+5}{2}$\\
$u(n+2)=\dfrac{n+1+5}{2}=\dfrac{n+1}{2}+\dfrac{5}{2}=u(n)+\dfrac{1}{2}$.\\
$u$ est \textbf{\textcolor{red}{arithmÃ©tique}} de raison $\boxed{\textcolor{red}{r=\dfrac{1}{2}}}$ et de premier terme $\boxed{\textcolor{red}{u(0)=\dfrac{5}{2}}}$

\item $u(n)=2n^2+5$.\\
$u(0)=5$ ; $u(1)=7$ ; $u(2)=13$.\\
La diffÃ©rence entre deux termes consÃ©cutifs nest pas constante ; $u$ n'est \textbf{\textcolor{red}{pas arithmÃ©tique}}.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Une entreprise dÃ©cide de soutenir une association caritative par des dons mensuels.\\
Le premier mois, l'entreprise fait un don de 1 \euro{}, et chaque mois, elle fait un don de 1 \euro{} supplÃ©mentaire. \\
On note $u(n)$ le don fait le $n$-iÃ¨me mois.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Montrer que $u$ est une suite arithmÃ©tique de premier terme $u(1)=1$.
Pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u(n+1)=u(n)+1}}$ donc $u$ est \textbf{\textcolor{red}{arithmÃ©tique}}, de raison $r\boxed{\textcolor{red}{=1}}$ .

\item %Quelle est la raison de cette suite $u$ ?
La raison est $r=1$.

\item %En dÃ©duire que $u(n)=n$.
Pour tout $n$, $u(n)=u(1)+(n-1)r=1+(n-1)\times 1=\boxed{\textcolor{red}{n}}$.

\item %On rappelle que la somme \[u(1)+u(2)+\cdots+u(n)=n\times \dfrac{u(1)+u(n)}{2}.\]
%Quelle somme l'entreprise aura-t-elle reÃ§u au bout de 10 ans ?
10 ans correspondent Ã&nbsp; 120 mois.\\
$u(1)+u(2)+\cdots+u(120)=n\times \dfrac{u(1)+u(120)}{2}=120\times \dfrac{1+120}{2}\\
=60\times 121=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{7260}}}$.\\
Au bout de 10 ans, l'association aura reÃ§u \numprint{7260} \euro{}.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}

 On considÃ¨re la suite gÃ©omÃ©trique $u$ de premier terme \\
 $u(0)=\numprint{1000}$ et de raison 0,2. \\
{}Calculer $u(7)$.
$u(n)=u(0)\times q^n$ donc $u(7)=\numprint{1000}\times 0,2^7=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0128}}}$


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Une solution contient cinq bactÃ©ries Ã&nbsp; l'instant $t=0$. AprÃ¨s l'ajout d'un Ã©lÃ©ment nutritif, le nombre de bactÃ©ries augmente de 25\:\% chaque seconde.
On appelle $u(n)$ le nombre de bactÃ©ries au bout de $n$ secondes.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Quel est le coefficient multiplicateur associÃ© Ã&nbsp; une hausse de 25\:\%.
Le coefficient multiplicateur associÃ© Ã&nbsp; une hausse de 25\:\% est $C=1+25\:\%=\boxed{\textcolor{red}{1,25}}$.

\item %Exprimer $u(n)$ en fonction de $u(0)$ et de $n$.
$u$ est une suite gÃ©omÃ©trique puisque $u(n+1)=1,25u(n)$ pour tout $n$.\\
Alors : $u(n)=u(0)\times q^n$ donc $u(n)=\boxed{\textcolor{red}{5\times 1,25^n}}$.

\item %Au bout de combien de secondes le nombre de bactÃ©ries dÃ©passera \numprint{20000} ?
On cherche pour quelle valeur de $n$ on a $u(n)\geqslant \numprint{20000}$ donc $5\times 1,25^n\geqslant \numprint{20000}$.\\
Cela revient Ã&nbsp; $1,25^n\geqslant \dfrac{\numprint{20000}}{5}=\numprint{4000}$.\\
Ã€ la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 38}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Thomas Malthus, Ã©conomiste anglais du dÃ©but du XIX\ieme{} siÃ¨cle, a travaillÃ© sur l'Ã©volution de la population en Angleterre.\\ 
En 1800, la population anglaise Ã©tait de 8,3 millions d'habitants. Bien que trÃ¨s pauvre en majoritÃ©, toute la population arrivait tant bien que mal Ã&nbsp; se nourrir. Thomas Malthus prÃ©voit que cette situation ne pourra pas durer au cours du temps. Il Ã©met les hypothÃ¨ses suivantes: 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la population en Angleterre augmente chaque annÃ©e de2\:\% ;

\item la production agricole anglaise aidÃ©e par des avancÃ©es techniques, permet de nourrir \numprint{400000} habitants de plus par an. 

\end{enumerate}

\begin{enumerate}[1)]
\item %Traduire les hypothÃ¨ses de Thomas Malthus en choisissant deux suites dont on donnera les Ã©lÃ©ments caractÃ©ristiques (nature, premier terme, raison).
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Notons $u(n)$ la population anglaise en $1800+n$ en millions d'habitants ; ainsi a-ton $u(0)=8,3$.

\item Notons $v(n)$ lle nombre d'habitants en $1800+n$ (en millions) pouvant Ãªtre nourris ; ainsi a-ton $v(0)=u(0)=8,3$.

\item D'aprÃ¨s les hypothÃ¨ses faites par Malthus, $u$ est gÃ©omÃ©trique, de raison $q=1,02$.

\item De mÃªme, $v$ est arithmÃ©tique, de raison $r=0,4$.

\item On en dÃ©duit $\boxed{\textcolor{red}{u(n)=8,4\times 1,02^n}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{v(n)=8,4+0,4n}}$.

\end{enumerate}
\item %En utilisant les hypothÃ¨ses de Malthus, quelle est la population de l'Angleterre en 1801 et le nombre de personnes pouvant Ãªtre nourries cette annÃ©e-lÃ&nbsp;?
1801 correspond Ã&nbsp; $n=1$.\\
On a : $u(1)=8,4\times 1,02=8,568$ ; il y a donc $\boxed{\textcolor{red}{8,568}}$ millions d'habitants en 1801.\\
$v(1)=8,4+0,4=8,8$ ; $\boxed{\textcolor{red}{8,8}}$ millions d'habitants pouvaient Ãªtre nourris.

\item \textbf{\textcolor{red}{facultatif (1 point)}} \\
%Ã€ l'aide d'une calculatrice, dÃ©terminer la premiÃ¨re annÃ©e pour laquelle la population ne peut plus Ãªtre suffisamment nourrie suivant l'hypothÃ¨se formulÃ©e par Malthus. 
On cherche Ã&nbsp; partir de quelle valeur de $n$ on a : $u(n)\geqslant v(n)$.\\
On trouve : $\boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 40}}$.\\
Ã€ partir de 1840, la pollution anglaise ne pourrait plus Ãªtre nourrie.

\end{enumerate}


\end{multicols}





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\setcounter{subsection}{0}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{MathÃ©matiques spÃ©cifiques : contrÃ´le (suites arithmÃ©tiques et gÃ©omÃ©triques)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
Soit $v$ la suite dÃ©finie par $v(0)=4$ et pour tout entier naturel $n$, $v(n+1)=2v(n)-5$.\\
%Calculer $v(1)$, $v(2)$ et $v(3)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $v(1)=2\times v(0)-5=2\times 4-5=\boxed{\textcolor{red}{3}}$

\item $v(2)=2\times v(1)-5=2\times 3-5=\boxed{\textcolor{red}{-1}}$

\item $v(3)=2\times v(2)-5=2\times (-1)-5=\boxed{\textcolor{red}{-7}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
$u$ est la suite arithmÃ©tique de premier terme $u(0)=3$ et de raison $r=6$.\\
%Calculer $u(7)$.
Pour tout $n$, $u(n)=u(0)+nr$ donc $u(7)=u(0)+3r=3+7\times 6=\boxed{\textcolor{red}{45}}$

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
$u$ est la suite arithmÃ©tique tel que $u(4)=15$ et de raison $r=-3$.\\
%Calculer $u(0)$.
$u(n)=u(0)$+nr donc $u(0)=u(n)-nr$.\\
Alors : $u(0)=u(4)-4\times (-3)=15+12=\boxed{\textcolor{red}{27}}$

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
On donne ci-dessous le terme gÃ©nÃ©ral d'une suite $u$.\\
Quelles sont celles qui sont arithmÃ©tiques ?
\begin{enumerate}[a)]

\item $u(n)=4n+3$ : $u(n+1)=4(n+1)+3=4n+4+3=u(n)+4$.\\
$u(n+1)-u(n)=4$ (constante) donc $u$ est \textbf{\textcolor{red}{arithmÃ©tique}}, de raison $\boxed{\textcolor{red}{r=4}}$.

\item $u_n=\dfrac{n+7}{2}$ ; $u(n+1)=\dfrac{n+1+7}{2}=\dfrac{n+7}{2}+\dfrac{1}{2}=u(n)+\dfrac{1}2{}$.\\
$u(n+1)-u(n)=\dfrac{1}{2}$ (constante) donc $u$ est \textbf{\textcolor{red}{arithmÃ©tique}}, de raison $\boxed{\textcolor{red}{r=\dfrac{1}{2}}}$.

\item $u(n)=2n^2+3$\\
$u0$=3~;~$u(1)=5$~;~$u(2)=11$.\\
$u(1)-u(0)=2$ et $u(2)-u(1)=6$.\\
La diffÃ©rence de deux termes consÃ©cutifs n'est pas constante : $u$ n'est \textbf{\textcolor{red}{pas arithmÃ©tique.}}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Une entreprise dÃ©cide de soutenir une association caritative par des dons mensuels.\\
Le premier mois, l'entreprise fait un don de 1 \euro{}, et chaque mois, elle fait un don de 1 \euro{} supplÃ©mentaire. \\
On note $u(n)$ le don fait le $n$-iÃ¨me mois.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Montrer que $u$ est une suite arithmÃ©tique de premier terme $u(1)=1$.
Pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u(n+1)=u(n)+1}}$ donc $u$ est \textbf{\textcolor{red}{arithmÃ©tique}}, de raison $r\boxed{\textcolor{red}{=1}}$ .

\item %Quelle est la raison de cette suite $u$ ?
La raison est $r=1$.

\item %En dÃ©duire que $u(n)=n$.
Pour tout $n$, $u(n)=u(1)+(n-1)r=1+(n-1)\times 1=\boxed{\textcolor{red}{n}}$.

\item %On rappelle que la somme \[u(1)+u(2)+\cdots+u(n)=n\times \dfrac{u(1)+u(n)}{2}.\]
%Quelle somme l'entreprise aura-t-elle reÃ§u au bout de 10 ans ?
10 ans correspondent Ã&nbsp; 120 mois.\\
$u(1)+u(2)+\cdots+u(120)=n\times \dfrac{u(1)+u(120)}{2}=120\times \dfrac{1+120}{2}\\
=60\times 121=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{7260}}}$.\\
Au bout de 1Â°ans, l'association aura reÃ§u \numprint{7260} \euro{}.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}

%On considÃ¨re la suite gÃ©omÃ©trique $u$ de premier terme $u(0)=\numprint{1000}$ et de raison. 0,2. \\
$u$ est gÃ©omÃ©trique donc $u(n)=u(0)\times q^n$.
%Calculer $u(7)$.
Alors = $u(7)=u(0)\times q^7=\numprint{1000}\times 0,2^7=\textcolor{red}{\numprint{0,0128}}$


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Une solution contient cinq bactÃ©ries Ã&nbsp; l'instant $t=0$. AprÃ¨s l'ajout d'un Ã©lÃ©ment nutritif, le nombre de bactÃ©ries augmente de 30\:\% chaque seconde.
On appelle $u(n)$ le nombre de bactÃ©ries au bout de $n$ secondes.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Quel est le coefficient multiplicateur associÃ© Ã&nbsp; une hausse de 30\:\%.
Le coefficient multiplicateur associÃ© Ã&nbsp; une hausse de 30\:\% est $C=1,3$

\item %Exprimer $u(n)$ en fonction de $u(0)$ et de $n$.
$u(n)=u(0)\times q^n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u(n)=5\times 1,3^n}}$.

\item %Au bout de combien de secondes le nombre de bactÃ©ries dÃ©passera \numprint{20000} ?
On cherche pour quelle valeur de $n$ on a $u(n)\geqslant \numprint{20000}$ donc $5\times 1,3^n\geqslant \numprint{20000}$.\\
Cela revient Ã&nbsp; $1,25^n\geqslant \dfrac{\numprint{20000}}{5}=\numprint{4000}$.\\
Ã€ la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 32}}$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Thomas Malthus, Ã©conomiste anglais du dÃ©but du XIX\ieme{} siÃ¨cle, a travaillÃ© sur l'Ã©volution de la population en Angleterre.\\ 
En 1800, la population anglaise Ã©tait de 8,3 millions d'habitants. Bien que trÃ¨s pauvre en majoritÃ©, toute la population arrivait tant bien que mal Ã&nbsp; se nourrir. Thomas Malthus prÃ©voit que cette situation ne pourra pas durer au cours du temps. Il Ã©met les hypothÃ¨ses suivantes: 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la population en Angleterre augmente chaque annÃ©e de2\:\% ;

\item la production agricole anglaise aidÃ©e par des avancÃ©es techniques, permet de nourrir \numprint{400000} habitants de plus par an. 

\end{enumerate}

\begin{enumerate}[1)]
\item %Traduire les hypothÃ¨ses de Thomas Malthus en choisissant deux suites dont on donnera les Ã©lÃ©ments caractÃ©ristiques (nature, premier terme, raison).
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Notons $u(n)$ la population anglaise en $1800+n$ en millions d'habitants ; ainsi a-ton $u(0)=8,3$.

\item Notons $v(n)$ lle nombre d'habitants en $1800+n$ (en millions) pouvant Ãªtre nourris ; ainsi a-ton $v(0)=u(0)=8,3$.

\item D'aprÃ¨s les hypothÃ¨ses faites par Malthus, $u$ est gÃ©omÃ©trique, de raison $q=1,02$.

\item De mÃªme, $v$ est arithmÃ©tique, de raison $r=0,4$.

\item On en dÃ©duit $\boxed{\textcolor{red}{u(n)=8,4\times 1,02^n}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{v(n)=8,4+0,4n}}$.

\end{enumerate}
\item %En utilisant les hypothÃ¨ses de Malthus, quelle est la population de l'Angleterre en 1801 et le nombre de personnes pouvant Ãªtre nourries cette annÃ©e-lÃ&nbsp;?
1801 correspond Ã&nbsp; $n=1$.\\
On a : $u(1)=8,4\times 1,02=8,568$ ; il y a donc $\boxed{\textcolor{red}{8,568}}$ millions d'habitants en 1801.\\
$v(1)=8,4+0,4=8,8$ ; $\boxed{\textcolor{red}{8,8}}$ millions d'habitants pouvaient Ãªtre nourris.

\item \textbf{\textcolor{red}{facultatif (1 point)}} \\
%Ã€ l'aide d'une calculatrice, dÃ©terminer la premiÃ¨re annÃ©e pour laquelle la population ne peut plus Ãªtre suffisamment nourrie suivant l'hypothÃ¨se formulÃ©e par Malthus. 
On cherche Ã&nbsp; partir de quelle valeur de $n$ on a : $u(n)\geqslant v(n)$.\\
On trouve : $\boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 40}}$.\\
Ã€ partir de 1840, la pollution anglaise ne pourrait plus Ãªtre nourrie.

\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>