<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{MathÃ©matiques spÃ©cifiques : correction du contrÃ´le \no 1}}\end{center}

%\tableofcontents

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
%Quel est le coefficient multiplicateur associÃ© Ã&nbsp; cette augmentation de 2\:\% ?
Le coefficient multiplicateur associÃ© Ã&nbsp; cette augmentation de 2\:\% est $\boxed{\textcolor{red}{C=1,2}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
%Quel est le taux d'Ã©volution correspondant Ã&nbsp; un coefficient multiplicateur Ã©gal Ã&nbsp; 1,36 ?
%
Le taux d'Ã©volution est $T$. Le coefficient multiplicateur associÃ© est : $C=1+T$ donc $T=C-1=0,36=\boxed{\textcolor{red}{36\:\%}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Un prix augmente de 2\:\% puis de 5\:\%.\\
%Quel a Ã©tÃ© le taux global d'augementation ?
Les coefficients multiplicateurs associÃ©s Ã&nbsp; ces deux hausses sont : $C_1=1+2\:\%=1,2$ et $C_2=1+5\:\%=1,05$.\\
Le coefficient multiplicateur global est Ã©gal aux produits des deux coefficients multiplicateur :\\
$C=C_1\times C_2=1,02\times 1,05=1,071$.\\
Le taux global d'Ã©volution est $T=C-1=0,071=\boxed{\textcolor{red}{7,1\:\%}}$.\\
Les taux global d'augmentation est de 7,1\:\%.

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Un prix a augmentÃ© de 3\:\%.\\
%De quel taux doit-il alors baisser pour retrouver sa valeur initiale ?
Le coefficient multiplicateur associÃ© Ã&nbsp; cette hausse de 3\:\% est $C=1,03$.\\
Soit $T$ le taux de baisse cherchÃ© ; le coefficient multiplicateur associÃ© est : $C=1+T$.\\
On doit avoir $1,03C=1$ donc $C=\dfrac{1}{1,03}$.\\
D'oÃ¹ $T=\dfrac{1}{1,03}-1\approx -0,0291\approx \boxed{\textcolor{red}{-2,91\:\%}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
%Deux entreprises avaient le mÃªme nombre de salariÃ©s en 2013. La premiÃ¨re voit son effectif augmenter de 15~\% en 2014 puis diminuer de 5~\% en 2015, la seconde voit son effectif diminuer de 10~\% en 2014 puis augmenter de 20~\% en 2015.\\
%Quelle entreprise possÃ¨de le plus de salariÃ©s en 2015 ?
\noindent Pour la premiÃ¨re entreprise, le coefficient multiplicateur global est :

\noindent $C_1=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{5}{100}\right)=1,15\times 0,95=\boxed{\textcolor{red}{1,0925}}$.

\medskip

\noindent Pour la seconde  entreprise, le coefficient multiplicateur global est :

\noindent $C_2=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)=0,9\times 1,2=\boxed{\textcolor{red}{1,08}}$.

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{C_2&lt;C_1}}$ donc la premiÃ¨re entreprise aura plus de salariÃ©s que la seconde.

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Le SMIC mensuel est de \numprint{1398,70} \euro{} net.\\
%Il a augmentÃ© de 1,13\:\% par rapport Ã&nbsp; son montant de mai 2023.\\
%Quel Ã©tait ce SMIC mensuel en mai 2023 ?
Le coefficient multiplicateur est $C=1,0113$.\\
Soit $x$ le montant du SMIC en mai 2023.\\
On a $1,0113x=1398,70$ donc $x=\dfrac{1398,70}{1,0113}\approx \boxed{\textcolor{red}{1383,07}}$.\\
Le SMIC mensuel net en mai 2023 Ã©tait de 1383,07 \euro.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Le tableau ci-dessous rÃ©sume la prÃ©sence Ã©ventuelle des dÃ©fauts $A$ et $B$ dans un Ã©chantillon de \numprint{1000} piÃ¨ces issues dâ€™une chaine de production.

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{3}{c|}}
\cline{2-3}\multicolumn{1}{c|}{} &amp;DÃ©faut A&amp;Pas le dÃ©faut A\\
\hline
DÃ©faut B&amp;10&amp;20\\
\hline
Pas le dÃ©faut B&amp;10&amp;960\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}
%Quelle est la probabilitÃ© quâ€™une piÃ¨ce choisie au hasard :
\begin{enumerate}[a)]
\item La probabilitÃ© qu'une piÃ¨ce prÃ©sente le dÃ©faut $A$ est $\dfrac{20}{1000}=0,02$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p(A)=0,02}}$.

\item La probabilitÃ© qu'une piÃ¨ce prÃ©sente le dÃ©faut $B$ est $\dfrac{30}{1000}=0,03$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p(B)=0,03}}$.

\item La probabilitÃ© qu'une piÃ¨ce prÃ©sente le dÃ©faut $A$ et le dÃ©faut $B$ est $p(A \cap B)=\dfrac{10}{1000}=0,01$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p(A \cap B)=0,01}}$.

\item La probabilitÃ© que la piÃ¨ce prÃ©sente au moins un des deux dÃ©fauts est :\\
$p(A \cup B)=\dfrac{\numprint{1000}-960}{1000}=\dfrac{40}{1000}\\
=\boxed{\textcolor{red}{0,04}}$.\\
On peut aussi calculer $p(1 \cup B)=p(A)+p(B)-p(A \cap B)$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Ã‰volution de la population franÃ§aise (5 points)}}
Ci-dessous est rÃ©pertoriÃ©e la population franÃ§aise Ã&nbsp; certaines annÃ©es.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{14}{&gt;{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
AnnÃ©e&amp;1945&amp;1950&amp;1960&amp;1965&amp;1970&amp;1975&amp;1980&amp;1985&amp;1990&amp;1995&amp;2000&amp;2010&amp;2020\\
\hline
Rang$\left(x_i\right)$&amp;0&amp;1&amp;3&amp;4&amp;5&amp;6&amp;7&amp;8&amp;9&amp;10&amp;11&amp;13&amp;15\\
\hline
\begin{minipage}{2cm}
Population en millions $\left(y_i\right)$
\end{minipage} &amp;40,3&amp;42,01&amp;45,9&amp;49,28&amp;51,72&amp;53,72&amp;55,05&amp;56,57&amp;58,04&amp;56,57&amp;60,92&amp;65,03&amp;67,57\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item ComplÃ©ter la ligne des rangs ; l'annÃ©e 1945 correspond au rang 0 et $n$ est le rang de l'annÃ©e $1945+5n$. (Remarque, il n'y a pas d'annÃ©e 1955; ni 2005, ni 2015)

\item %ReprÃ©senter graphiquement sur le graphique ci-dessous le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$.
Voir graphique

\item %Comment semblent ces points ?
Ces points semblent Ã&nbsp; peu prÃ¨s alignÃ©s.

\item On appelle $G_1$ et $G_2$ les points moyens correspondant respectivement aux sept premiers points et aux six derniers.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que les coordonnÃ©es de $G_1$ sont approximativement : $G_1\left(3,7~;~48,3\right)$.
$x_{G_1}=\dfrac{0+1+3+4+5+6+7}{7}=\dfrac{26}{7}\approx 3,7$.\\
$y_{G_1}=\dfrac{40,3+42,01+45,9+49,28+51,72+53,72+55,05}{7}=\dfrac{337,98}{7}\approx 48,3$.\\
Les coordonnÃ©es de $G_1$ sont bien $\boxed{\textcolor{red}{G_1\left(3,7~;~48,3\right)}}$

\item %Calculer les coordonnÃ©es du point moyen $G_2$.
De mÃªme : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_{G_2}=\dfrac{8+9+10+11+13+15}{6}=\dfrac{66}{6}=11$.

\item $y_{G_2}=\dfrac{56,57+58,04+56,57+60,92+65,03+67,57}{6}=\dfrac{564,7}{6}\approx 60,8$.

\item Les coordonnÃ©es de $G_2$ sont $\boxed{\textcolor{red}{G_2\left(11~;~60,8\right)}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item %En dÃ©duire l'Ã©quation de la droite de Mayer.
La droite de Mayer est la droite qui passe par $G_1$ et $G_2$.\\
Son coefficient directeur est $a=\dfrac{y_{G_2}-y_{G_1}}{x_{G_2}-x_{G_1}}=\dfrac{60,8-48,3}{11-3,7}=\dfrac{12,5}{7,3}\approx 1,712$.\\
L'Ã©quation de cette droite est $y=ax+b$.\\
Les coordonnÃ©es de $G_1$ vÃ©rifient cette Ã©quation : $y_1=ax_1+b$ donc $b=y_1-ax_1\approx 41,964$.\\
L'Ã©quation de cette droite est $\boxed{\textcolor{red}{y=1,712x+41,964}}$.

\item %Estimer alors la population en France en 2030 obtenue avec ce modÃ¨le.\\
2030 correspond Ã&nbsp; un rang $x=17$.\\
On peut estimer la population Ã&nbsp; $1,712\times 17+41,964\approx 71,068$
\textbf{Remarque} : en fait, la population attendue en 2030 est 68,554 millions d'habitants.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=.2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-10)(18,45)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Oy=40,Dy=5,]{-&gt;}(0,0)(18,40)
\multido{\n=0+1}{19}{\psline(\n,0)(\n,40)}
\multido{\n=0+1}{40}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(18,\n)}
\multido{\n=0+5}{9}{\psline[linewidth=1.5pt](0,\n)(18,\n)}
\uput[d](18,0){Rang}
\uput[r](0,41){Population en millions d'habitants}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,0.3)(1,2.01)(3,5.09)(4,9.28)(5,11.72)(6,13.72)(7,15.05)(8,16.57)(9,18.04)(10,16.57)(11,20.92)(13,25.03)(15,27.57)%(3.7,8,3)(11,20.8)
\uput[u](3.7,8,3){$G_1$}
\uput[u](11,20.8){$G_2$}
%\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0}{17}{1.71575*x+1.9101}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0}{17}{1.712329*x+1.96438}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>