<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices (feuille \no 5)}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Suite auxiliaire}}

Soit $u$ la suite dÃ©finie par $u(n + 1) = 4u(n) + 9$ pour $n \geqslant  0$ et $u(0) = 1$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Calculer $u(1)$ et $u(2)$.

\item Montrer que la suite $u$ nâ€™est ni arithmÃ©tique ni gÃ©omÃ©trique.

\item Soit $v$ la suite dÃ©finie par $v(n) = u(n) + 3$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $v(0)$.

\item Montrer que $v$ est gÃ©omÃ©trique de raison 4.

\item En dÃ©duire une expression de $v(n)$ en fonction de $n$.

\item DÃ©duire de la question prÃ©cÃ©dente une expression de $u(n)$ en fonction de $n$	.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Taux de reproduction d'un virus}}
On sâ€™intÃ©resse Ã&nbsp; lâ€™Ã©volution dâ€™une Ã©pidÃ©mie de rhume causÃ©e par un virus au sein dâ€™une population.\\
On note $R_0$ le taux de reproduction dâ€™une maladie.\\
Cela correspond au nombre de personnes quâ€™une personne malade va contaminer.\\
On suppose que la maladie est bÃ©nigne et que chaque personne guÃ©rit spontanÃ©ment au bout dâ€™une semaine.\\
On estime Ã&nbsp; \numprint{60000} le nombre de personnes malades actuellement.\\
On note $(un)$u(n) le nombre de personnes  (en milliers) contaminÃ©es au bout de $n$ semaines.\\
Ainsi, $u(0) = 60$.

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Partie A : une premiÃ¨re modÃ©lisation}}\\

On suppose ici que $R_0 = 1,4$.
\begin{enumerate}[1)]
\item  Justifier que $u(1) = 84$ puis calculer $u(2)$ et $u(3)$.

\item DÃ©terminer une expression de $u(n+1)$ en fonction de $u(n)$.

\item Quelle est la nature de la suite $u$ ?

\item Quelle limite prÃ©sente cette modÃ©lisation ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B : Cas gÃ©nÃ©ral}}
\begin{enumerate}[1)]
\item DÃ©terminer une expression de $u(n+1)$ en fonction de $u(n)$ et de $R_0$.

\item DÃ©terminer le sens de variation de la suite $u$ en discutant selon les valeurs de $R_0$.

\end{enumerate}


\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{subsection}{0}
\vspace{1cm}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices (feuille \no 5)}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
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\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Suite auxiliaire}}

Soit $u$ la suite dÃ©finie par $u(n + 1) = 4u(n) + 9$ pour $n \geqslant  0$ et $u(0) = 1$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Calculer $u(1)$ et $u(2)$.

\item Montrer que la suite $u$ nâ€™est ni arithmÃ©tique ni gÃ©omÃ©trique.

\item Soit $v$ la suite dÃ©finie par $v(n) = u(n) + 3$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $v(0)$.

\item Montrer que $v$ est gÃ©omÃ©trique de raison 4.

\item En dÃ©duire une expression de $v(n)$ en fonction de $n$.

\item DÃ©duire de la question prÃ©cÃ©dente une expression de $u(n)$ en fonction de $n$	.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Taux de reproduction d'un virus}}
On sâ€™intÃ©resse Ã&nbsp; lâ€™Ã©volution dâ€™une Ã©pidÃ©mie de rhume causÃ©e par un virus au sein dâ€™une population.\\
On note $R_0$ le taux de reproduction dâ€™une maladie.\\
Cela correspond au nombre de personnes quâ€™une personne malade va contaminer.\\
On suppose que la maladie est bÃ©nigne et que chaque personne guÃ©rit spontanÃ©ment au bout dâ€™une semaine.\\
On estime Ã&nbsp; \numprint{60000} le nombre de personnes malades actuellement.\\
On note $(un)$u(n) le nombre de personnes  (en milliers) contaminÃ©es au bout de $n$ semaines.\\
Ainsi, $u(0) = 60$.

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Partie A : une premiÃ¨re modÃ©lisation}}\\

On suppose ici que $R_0 = 1,4$.
\begin{enumerate}[1)]
\item  Justifier que $u(1) = 84$ puis calculer $u(2)$ et $u(3)$.

\item DÃ©terminer une expression de $u(n+1)$ en fonction de $u(n)$.

\item Quelle est la nature de la suite $u$ ?

\item Quelle limite prÃ©sente cette modÃ©lisation ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Partie B : Cas gÃ©nÃ©ral}}
\begin{enumerate}[1)]
\item DÃ©terminer une expression de $u(n+1)$ en fonction de $u(n)$ et de $R_0$.

\item DÃ©terminer le sens de variation de la suite $u$ en discutant selon les valeurs de $R_0$.

\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
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