\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}.}\textcolor{red}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Intégration}}\end{center}

%\tableofcontents

\subsection*{}


\subsection{\textcolor{blue}{Intégrale d'une fonction continue positive}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Aire sous la courbe}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit un repère $\left(O~;~\overrightarrow{OI}~;~\overrightarrow{OJ}\right)$ orthogonal et soit $K(1~;~1)$.\\`
L'aire du rectangle $OIKJ$ est appelée unité d'aire et notée u.a..
\end{bclogo}

\begin{center}
\psset{xunit=3,yunit=2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(2,1.5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(2,1.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20](1,1)
\uput[ur](1,0){I}
\uput[u](1,1){K}
\uput[r](0,1){J}
\uput[u](0.5,0.5){1~u.a.}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $f$ une fonction continue, positive sur l'intervalle $[a~;~b]$ et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative.\\
On appelle intégrale de $a$ à $b$ de la fonction $f$ l'aire, exprimée en u.a. du domaine limité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_f$ et les droites d'équations $t=a$ et $t=b$.\\
Cette intégrale es notée $\int_a^bf(x)\text{ d}x$.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-4)(9,7)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{0}{8}{0.12*x^3-1.69*x^2+6.71*x-4.14}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!30]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=2pt]{1}{7}{0.12*x^3-1.69*x^2+6.71*x-4.1}{\psline(7,0)(1,0)}}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-5)(9,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-5)(9,7)
\uput[u](3,4){$\mathscr{C}_f$}
\uput[u](4,1){$\mathscr{A}$}
\uput[u](2,-4){$\mathscr{A}=\int_1^7f(x)\text{ d}x$}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{multicols}
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarques}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Dans la notation $\int_a^bf(x)\text{ d}x$, la variable $x$ est dite \og{}muette\fg{} ; on peut la remplacer par une autre lettre :\\
$\int_a^bf(x)\text{ d}x=int_a^bf(y)\text{ d}y=\int_a^bf(t)\text{ d}t$

\item Le \og{}dx\fg{}  est là pour représenter une largeur infinitésimale ; en effet, l'intégrale peut-être vue comme une somme d'aires de rectangles de hauteur $f(x)$ et de largeur infinitésimale $dx$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
\begin{enumerate}
\item $\int_1^42\text{ d}x=6$ (aire d'un rectangle de hauteur 2, construit sur l'intervalle [1~;~4]).
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,3)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt]{1}{4}{2}
\psline(4,0)(1,0)}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(5,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(5,3)
\end{pspicture}
\end{center}


\item Calculer $\int_0^5x\text{ d}x$.

\parbox{8cm}{\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!30]{
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt]{0}{5}{x}
\psline(5,0)(0,0)}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(6,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(6,6)
\end{pspicture}
\end{center}}\hfill \parbox{10cm}{$\int_0^5x\text{ d}x$ est l'aire d'un triangle, de base 5 et de hauteur 5.\\
On en déduit : $\int_0^5x\text{ d}x=\dfrac{5\times 5}{2}=\dfrac{25}{2}$ u.a.}


\newpage



Calculer $\int_0^3(2x+3)\text{ d}x$

\parbox{8cm}{\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,10)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt]{0}{3}{2*x+3}
\psline(3,0)(0,0)}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(6,10)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(6,10)
\uput[u](1.5,3){$\mathscr{A}$}
\end{pspicture}
\end{center}}\hfill \parbox{10cm}{$\int_0^3(2x+3)\text{ d}x$ est l'aire $\mathscr{A}$ d'un trapèze, de petite base 3, de grande base 9 et de hauteur 3.\\
On en déduit : \\
$\int_0^5(2x+3)\text{ d}x=\dfrac{(\text{petite base}+\text{grande base})\times \text{hauteur}}{2}\\
=\dfrac{(3+9)\times 3}{2}=18$ u.a.}
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{red}{Relation de Chasles}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Relation de Chasles}}
Soient trois nombres $a$, $b$ et $c$ avec $c\in[a~;~b]$ et soit $f$ continue positive sur $[a~;~b]$.\\
Alors : $\int_a^bf(x)\text{ d}x=\int_a^cf(x)\text{ d}x+\int_c^bf(x)\text{ d}x$
\end{bclogo}

C'est \og{}évident\fg{} géométriquement.

\subsection{\textcolor{blue}{Intégrale d'une fonction continue }}


\subsubsection{\textcolor{red}{\textcolor{red}{Théorème fondamental}}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème (admis)}}
Soit $f$ une fonction continue positive sur un intervalle $[a~;~b]$.\\
Le fonction $F : x\mapsto \int_a^xf(t)\text{ d}t$ est dérivable sur $[a~;~b]$ et $F'(x)=f(x)$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : ce théorème justifie l'existence de primitives.

\bigskip

\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soit $f$ une fonciion continue positive sur $[a~;~b]$.\\
$\int_a^bf(x)\text{ d}x=F(b)-F(a)$ où $F$ est une primitive quelconque de $f$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\textcolor{red}{Démonstration :}\\
%
On définit la fonction $G : x\mapsto \int_a^xf(t)\text{ d}t$.\\
$G$ est une primitive de $f$.\\
Il existe donc $k$ tel que $G=F+k$.\\
De plus, $G(a)=0$ donc $k=-F(a)$.\\
Alors : $G(x)=F(x)-F(a)$ donc $G(x)=F(x)-F(a)$ d'où $G(b)=\int_a^bf(x)\text{ d}x=F(b)-F(a)$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : cela permet de calculer des aires à l'aide d'une primitive de fonction.

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}}
soit $f(x)=x^2$.\\
$F(x)=\dfrac{x^3}{3}.$\\
$\int_0^1f(x)\text{ d}x=F(1)-F(0)=\dfrac{1}{3}$\\
\begin{center}
\psset{xunit=2,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,5)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt]{0}{2}{x^2}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt]{0}{1}{x^2}
\psline(1,0)(0,0)}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(3,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(3,5)
\uput[r](1.3,0.25){$\mathscr{A}=\dfrac{1}{3}$}
\psline{->}(1.5,0.25)(0.75,0.25)
\uput[ul](1.5,2.25){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}


\newpage

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} :
Calculer l'intégrale $\int_1^x\dfrac{1}{t}\text{ d}t$ pour $x>0$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-5)(10,4)
\psplot[linewidth=2pt]{0.25}{10}{1/x}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!30]{
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt]{1}{7.5}{1/x}{\psline(7.5,0)(1,0)}}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-5)(10,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-5)(10,4)
\uput[d](7.5,0){$x$}
\uput[u](5,1){$\ln(x)$}
\psline{->}(5,1)(2,0.25)
\end{pspicture}

Une primitive de $f : t\mapsto \dfrac{1}{t}$ est $\ln : t\mapsto \ln(t) $.\\
Donc $\int_1^x\dfrac{1}{t}\text{ d}t=\ln(x)-\ln(1)=\boxed{\textcolor{red}{\ln(x)}}$
\end{center}
\subsubsection{\textcolor{red}{Intégrale d'une fonction de signe quelconque}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $f$ une fonction continue sur $[a~;~b]$.\\
On admet que $\int_a^bf(x)\text{ d}x=F(b)-F(a)$ où $F$ est une primitive quelconque de $f$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $f$ est négative sur $[a~;~b]$, $\int_a^bf(x)\text{ d}x$ correspond à l'opposé de l'aire entre $\mathscr{C}_f$ et 'axe des abscisses (car une aire est positive).

\item Si $f$ change de signe, $f$, $\int_a^bf(x)\text{ d}x$ correspond à la somme des aires algébriques, comptées positivement si la fonction est positive et négativement sinon.
\end{enumerate}


\newpage

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : \\
$f(x)=x$ sur $[-2~;~2]$\\
Une primitive de $f$ est $F(x)=\dfrac{x^2}{2}$.\\
$\int_{-2}^2f(x)\text{ d}x=F(2)-F(-2)=2-2=0$\\
\parbox{8cm}{\begin{center}
\psset{unit=1}
\psset{xunit=0.81,yunit=0.8,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt]{-2}{2}{x}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt]{-2}{2}{x}
\psline(2,0)(-2,0)}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-3)(3,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-3)(3,3)
\uput[d](1.5,0.8){$\mathscr{A}_1$}
\uput[u](-1.5,-1.2){$\mathscr{A}_2$}
\end{pspicture}
\end{center}}\hfill
\parbox{8cm}{
$\int_{-2}^2f(x)\text{ d}x=\mathscr{A}_1-\mathscr{A}_2=0$ car $\mathscr{A}_1=\mathscr{A}_2$}

\subsection{\textcolor{blue}{Applications du calcul intégral}}


\subsubsection{\textcolor{red}{Valeur moyenne d'une fonction}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a~;~b]$.\\
N appelle \textbf{\textcolor{blue}{valeur moyenne}} de $f$ sur $[a~;~b]$ le réel $\mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\text{ d}x.$
\end{bclogo}

\bigskip

Exemple : sit $f$ la fonction cube $f : x\mapsto x^3$.\\
Sa valeur moyenne sur $[0~;~10]$ est $\dfrac{1}{10-0}\int_0^{10}x^3\text{ d}x=\dfrac{1}{10}\left[\dfrac{10^4}{4}-\dfrac{0^4}{4}\right]=\boxed{\textcolor{red}{250}}$.


\newpage



\textbf{\textcolor{blue}{Interprétation graphique : }}\\
Soit $f$ une fonction définie sur  représentée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1}
\psset{xunit=1,yunit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,9)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{\psplot{0.5}{5.5}{-0.5*(x-3)^4-0.2*(x-3)^3+3.2*(x-3)^2+1.5*(x-3)+2}{\psline(5.5,0)(0.5,0)}}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0.5,4.76)(5.5,4.76)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](0.5,0)(0.5,4.76)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](5.5,0)(5.5,4.76)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(10,9)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(10,9)
\uput[r](5,8){$\mathscr{C}_f$}
\uput[d](0.5,0){a}\uput[d](5.5,0){b}
\uput[r](5.5,4.76){$\mu$ (valeur moyenne)}
\uput[u](3,0.5){$\mathscr{A}=\mu(b-a)$}
\end{pspicture}
\end{center}

$\mathscr{A}=\int_a^bf(x)\text{ d}x$ ; c'est l'aire représentée en bleu.\\
$\mu$, valeur moyenne, est la valeur telle que $\mathscr{A}$ soit égale à l'aire du rectangle, construit sur l'intervalle $[a~;~b]$ de hauteur $\mu$.

\subsubsection{\textcolor{red}{Aire entre deux courbes}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient deux fonctions $f$ et $g$, définies sur un intervalle $[a~;~b]$ telle que $f(x)\leqslant g(x)$ sur $[a~;~b]$.\\
L'aire comprise entre $\mathscr{C}_g$ et $\mathscr{C_f}$ et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est :\\
\[\int_a^b\left[g(x)-f(x)\right]\text{ d}x\]
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Illustration}} :


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Soient $f$ et $g$ définies par $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ et $g(x)=\sqrt{x}-1$ sur $[0~;~+\infty[$.\\
L'aire colorée est $\int_1^5(f(x)-g(x))\text{ d}x$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.8,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(5,8)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-3}{5}{EXP(x)/(x^2+1)}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=400]{0}{5}{sqrt(x)-1}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=2pt]{1}{5}{EXP(x)/(x^2+1)}{\psplot{5}{1}{sqrt(x)-1}}}
\uput[r](5,6){$\mathscr{C}_f$}
\uput[r](5,1.2){$\mathscr{C}_g$}
\uput[u](3,1){$\mathscr{A}$}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(5,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(5,8)

\end{pspicture}

\end{center}

\end{multicols}
\phantom{}
\label{fin}
\end{document}  