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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices \no 3 (suites, loi uniforme discrète, schéma de Bernoulli, coefficients binomiaux)}}\end{center}

%\tableofcontents



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}



\subsection*{\textcolor{red}{Probabilités et suites}}

\subsection{}%Centres trangers juin 2018
Un détaillant en fruits et légumes étudie l'évolution de ses ventes de melons afin de pouvoir
anticiper ses commandes.

\bigskip


Le détaillant réalise une étude sur ses clients. Il constate que:

\begin{itemize}
\item parmi les clients qui achètent un melon une semaine donnée, 90\,\% d'entre eux achètent un
melon la semaine suivante;
\item parmi les clients qui n'achètent pas de melon une semaine donnée, 60\,\% d'entre eux n'achè\-tent
pas de melon la semaine suivante.
\end{itemize}

\smallskip

On choisit au hasard un client ayant acheté un melon au cours de la semaine 1 et, pour $n \geqslant 1$, on
note $A_n$ l'évènement : \og le client achète un melon au cours de la semaine $n$ \fg.

Ainsi a-t-on $p\left(A_1\right) = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités
ci-contre, relatif aux trois premières semaines.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{$A_1$~}}
{
   \pstree{\TR{$A_2$~}}
      {
      \TR{$A_3$} 
      \TR{$\overline{A_3}$}
      }

   \pstree{\TR{$\overline{A_2}$~} }
     {
     \TR{$A_3$} 
     \TR{$\overline{A_3}$}
     }
}
\end{center}
		\item Démontrer que $p\left(A_3\right) = 0,85$.
		
		\item Sachant que le client achète un melon au cours
de la semaine 3, quelle est la probabilité qu'il en ait acheté un au cours de la semaine 2 ?
		
Arrondir au centième.\index{arbre}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\medskip
	
Dans la suite, on pose pour tout entier $n \geqslant 1$ : \:$p_n = P\left(A_n\right)$. On a ainsi $p_1 = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : \\
$p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$.

\item On admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$ : $p_n > 0,8$.\\
		Démontrer que la suite $\left(p_n\right)$ est décroissante.

\item On pose pour tout entier $n \geqslant 1$ : $v_n = p_n - 0,8$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme $v_1$ et la raison.\index{suite géométrique}

		\item  Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		
En déduire que, pour tout $n \geqslant 1$,\\
$p_n = 0,8 + 0,2 \times  0,5^{n-1}$.

		\item  Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{red}{Loi uniforme}}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $Z$ suit une loi uniforme sur l'ensemble $\{1~;~2~;~\cdots~;~100\}$.\\
Calculer $p(Z\leqslant 25)$, $p(20<Z<46)$, $p(Z\geqslant 46)$.

\item $X$ suit une loi uniforme sur l'ensemble  des entiers naturels compris entre 1 et $n$.\\
Son espérance est égale à 10. Que vaut $n$ ?

\item $X$ suit une loi uniforme sur l'ensemble $\{1~;~2~;~\cdots~;~\numprint{1000}\}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $p(100<X<200)$.

\item Calculer $k$ tel que $p(300\leqslant X\leqslant k)=0,02$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item on lance un dé parfaitement équilibré à 12 faces. On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le résultat du lancer du dé.\\
La loi de $X$ est-elle uniforme ? Justifier la réponse.

\item On considère la loi uniforme sur l'ensemble $\{1~;~2~;~3~;~ \cdots~;~ n\}$.\\
Quelle est la  valeur de la probabilité d'un évènement élémentaire ?
\end{enumerate}



\subsection{}
Dans un jeu de 32 cartes, on attribue un nombre de points aux cartes.\\
Pour 7~;~8~;~9 et 10, le nombre de points est le nombre marqué sur la carte. Pour Valet, Dame et Roi, le nombre de points est 10 et pour As, le nombre de points est 11.\\
Les cartes sont supposés indiscernables.\\
On tire une carte au hasard. On considère la variable aléatoire $X$ qui associe à la carte son nombre de points moins 6.\\
$X$, suit-elle une loi uniforme sur \{1~;~2~;~3~;~4~;~5\} ?

\subsection*{\textcolor{red}{Loi binomiale}}

\subsection{}
Un. QCM contient quatre questions. Pour chaque question, il y a trois réponses proposées. Une seule est juste.\\
Un candidat décide de répondre au hasard à chaque question de ce QCM.\\
Montrer qu'on peut modéliser la stratégie de réponse du candidat par un schéma de Bernoulli, dont on donnera les paramètres.

\subsection{}
Lors d'un jeu de rôle, un candidat doit passer  une épreuve en lançant trois fois de suite un dé à huit faces.\\
Une porte est dessinée sur cinq des faces du dé. Un puits est dessiné sur les autres faces.\\
Pour gagner son épreuve, le candidat doit obtenir trois portes.
Quelle est la probabilité qu'il arrive à gagner son épreuve ?

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\binom{8}{1}$, $\binom{9}{1}$, $\binom{n}{1}$, $\binom{n}{n-1}$ où $n\in\mathbb{N}$.

\item On admet que $\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\binom{9}{2}$, $\binom{30}{2}$, $\binom{100}{2}$.

\item en déduire $\binom{100}{98}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
En utilisant le triangle de Pascal, déterminer :\\
$\binom{7}{2}$, $\binom{7}{4}$, $\binom{6}{4}$.

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Calculer :
\begin{enumerate}
\item $\binom{2}{0}+\binom{2}{1}+\binom{2}{2}$

\item $\binom{3}{0}+\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3}$

\item $\binom{4}{0}+\binom{4}{1}+\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4}$
\end{enumerate}

\item Quelle conjecture peut-on faire ?

\end{enumerate}

\end{multicols}







\label{fin}
\end{document}  