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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les probabilités conditionnelles et sur l'indépendance (1)}}\end{center}







\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
$A$ et $B$ sont deux évènements d'une même expérience aléatoire. Dans chacun des cas suivants, calculer $p(A)$. 

\begin{enumerate}
\item $p(A \cap B)=\dfrac{1}{3}$ et $p\left(A \cap \overline{B}\right) =\dfrac{1}{4}$.

\item $p_B(A)=\dfrac{1}{2}$, $p_{\overline{B}}(A)= \dfrac{1}{6}$ et $p(B)=\dfrac{2}{5}$

\item $p_A (B) = 0,3$ ,$p_B(A) =0,1$ et $p(B) = 0,6$. 

\end{enumerate}


\subsection{}
$A$ et $B$ sont deux événements d'une même expérience aléatoire tels que $p(A)=0,3$, $p(B)=0,7$ et $p(A \cap B)=0,2$
\begin{enumerate}
\item $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

\item Calculer $p_A(B)$.
\end{enumerate}


\subsection{}

On lance successivement deux dés équilibrés numérotés de 1 à 6. 

\begin{enumerate}
\item Est-ce une succession de deux épreuves indépendantes ?

\item Quelle est la probabilité d'obtenir deux 6 lors des deux lancers? 

\end{enumerate}

\subsection{}
Une urne contient quatre boules vertes et cinq boules jaunes indiscernables au toucher.\\
On effectue deux tirages successifs d'une boule sans remise.\\ 
Soient $A$ l'évènement \og{}La première boule tirée est verte\fg{} et $B$ l'évènement  \og{}La deuxième boule tirée est jaune\fg{}. 

\begin{enumerate}
\item Calculer $p(A)$ et $p_A(B)$.

\item En déduire $p(A \cap B)$. 

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Inversion d'un arbre de probabilités}}


Une société effectue auprès de \numprint{10000} personnes une étude de marché concernant un nouveau produit. Dans cet échantillon, 40\:\% sont des jeunes (moins de 20 ans) et 20\:\% de ceux-ci se déclarent intéressés par le produit.\\
En revanche, 10\:\% seulement des personnes de plus de 20 ans se déclarent intéressées par le produit.\\
On choisit une personne au hasard dans l'échantillon. On note $J$ l'événement \og{} La personne est jeune\fg{}  et $I$ \og{} La personne est intéressée\fg.
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=4mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$J$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{I}$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{J}$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{I}$}\tbput{ $$}}}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer $p(I\cap J)$, $p(I\cap\overline{J})$, $p(\overline{I}\cap J)$ et $p(\overline{I}\cap \overline{J})$.

\item Calculer $p(I)$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la personne ait moins de 20 ans sachant que la personne est intéressée par le produit.

\item Compléter l'arbre ci-dessous.
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=4mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$I$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$J$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{J}$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{I}$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$J$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{J}$}\tbput{ $$}}}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Une alarme incendie possède les propriétés suivantes :\\
en cas de détection de fumée, elle se déclenche avec une probabilité égale à 0,99, mais elle se déclenche également en l'absence de fumée avec une probabilité égale à 0,02.\\
On suppose que la probabilité d'incendie est égale à 0,001. 

\begin{enumerate}
\item Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré.

\item Calculer la probabilité de l'évènement suivant : \og{}Un incendie se déclare et l'alarme se déclenche\fg{}. 

\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2013 (extrait)}}
Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième. 

\bigskip


\medskip
 
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80\,\% de ses boîtes chez le fournisseur A et 20\,\% chez le fournisseur B.

\medskip
 
10\,\% des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20\,\% de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
 
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item évènement A : \og la boîte provient du fournisseur A \fg{} ; 
\item évènement B : \og la boîte provient du fournisseur B \fg{} ; 
\item évènement S : \og la boîte présente des traces de pesticides \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé sous forme d'un arbre pondéré. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement $B \cap \overline{S}$ ? 
		\item Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
	\end{enumerate} 
\item On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. 

Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2015 (extrait)}}
Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2.
On note $D_1$ l'évènement \og le composant 1 est défaillant avant un an \fg{} et on note $D_2$ l'évènement \og le composant 2 est défaillant avant un an \fg.

On suppose que les deux évènements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants et que 

$P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$.

Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(10,3.4)
%\psgrid
\psline(0,2)(1,2)(1,2.75)(1.5,2.75)\psframe(1.5,2.25)(3,3.25)\psline(3,2.75)(3.5,2.75)(3.5,2)(4.5,2)
\psline(0,2)(1,2)(1,1.25)(1.5,1.25)\psframe(1.5,0.75)(3,1.75)\psline(3,1.25)(3.5,1.25)(3.5,2)
\rput(2.25,2.75){1} \rput(2.25,1.25){2}
\rput(2.5,0.2){Circuit en parallèle A} \rput(7.5,0.2){ Circuit en série B}
\psline(5,2)(6,2)\psframe(6,1.5)(7.5,2.5)\psline(7.5,2)(8.5,2)\psframe(8.5,1.5)(10,2.5)
\rput(6.75,2){1}\rput(9.25,2){2}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsque les deux composants sont montés \og en parallèle \fg, le circuit A est défaillant
uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité
que le circuit A soit défaillant avant un an.
\item Lorsque les deux composants sont montés \og en série \fg, le circuit B est défaillant dès que l'un
au moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit
défaillant avant un an.
\end{enumerate}





\subsection{\textcolor{blue}{Liban juin 2018}}
Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

\medskip

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est 
$\dfrac{1}{4}$ ;
\item[$\bullet~~$] Si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$ ;
\item[$\bullet~~$] La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac{1}{4}$ .
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l'évènement \og la $n\up{e}$ partie est gagnée \fg{} et on note $p_n$ la probabilité de cet évènement. On a donc $p_1 = \dfrac{1}{4}$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_2 = \dfrac{7}{16}$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = - \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{2}$.
\item  On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ :


\begin{center}
\scriptsize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$n$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
$p_n$& 1 &\np{0,4375} &\np{0,3906} &\np{0,4023} &\np{0,3994} &\np{0,4001} &\np{0,3999}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\normalsize
Quelle conjecture peut -on émettre ?
\item  On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = p_n - \dfrac{2}{5}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n = \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{20}\left(- \dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
		\item La suite $\left(p_n\right)$ converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  