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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices sur la fonction $\ln$ (3)}}\end{center}



\subsection{}
On considère une fonction $g$ pour laquelle il existe trois nombreux réels $a$, $b$ et $c$, tels que, pour $x\in\mathbb{R}$ \[g(x)=\ln\left(ax^2+bx+c\right).\]
La représentation graphique de $g$ est donnée ci-dessous.\\
Déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
\begin{center}
\psset{xunit=4,yunit=4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(1.5,1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=.2,Dy=.2]{->}(0,0)(-2,-1)(2,1)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](-2,-1)(2,1)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-1.1}{1.1}{ln((-1.71828*x^2+2.71828))}
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{}%https://chingmath.fr/tle-opt-compl/fonction-logarithme-neperien


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Une entreprise produit et vend des composants électroniques.\\
Sa capacité mensuelle de production est comprise entre \numprint{1000} et \numprint{30000} pièces.\\
On suppose que toute la production est commercialisée. \\
Le bénéfice en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces, est donné sur l'intervalle $[1~;~30]$ par : 
\[B(x) = -0,5x^2 + 6x - 20 + 2x\ln(x). \]

\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que : $B'(x) = -x + 8 + 2\ln(x)$ où $B'$ est la dérivée de $B$ sur l'intervalle $[1~;~30]$.

\item Montrer que $B"(x)=-1+ \dfrac{2}{x}$, où $B''$ est la dérivée seconde de $B$ sur l'intervalle [1~;~30], c'est-à-dire la dérivée de $B'$.\\
Justifier le tableau de variations ci-dessous de la fonction dérivée $B'$ sur l'intervalle [1~;~30]. 
\begin{center}
\begin{variations}
x&1&&2&&30\\
\hline
\m{B'(x)}&7&\c&\h{2+2\ln 2}&\d&-22+2\ln 30\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\item  
\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que l'équation $B'(x) =0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[1~;~30]$. 

\item Donner une valeur approchée au millième de la valeur de $\alpha$. 
\end{enumerate}

\item En déduire le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [1~;~30], et donner le tableau de variations de la fonction bénéfice B sur ce même intervalle. 

\item Quel est le nombre de pièces à produire, à l'unité près, pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal ?\\ 
Quel est ce bénéfice maximal (arrondi au millier d'euros) ? 


\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  