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% pour le pied de page central
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\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Maths complémentaires : feuille d'exercices sur la dérivation \no 4}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}$.\\
Étudier les variations de $f$.

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\frac{x}{2x+1}-4x$ pour $x\neq -\dfrac{1}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Calcule $f'(x)$.

\item Étudier le signe de $f'(x)$.

\item Étudier les limtes de $f(x)$ aux bornes de l'ensemble de définition de $f$.

\item En déduire le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère une entreprise qui produit du jus de fruits. Sa capacité quotidienne de production est égale à 600 \si{\litre}, et, pour x \si{\hecto\litre} de jus de fruits, le coût total de production quotidien est donné, en dizaines d’euros par \[C(x)=\dfrac{1}{2}x^3-3x^2+7x+50\text{, où }x\in[0~;~6.]\]
\begin{enumerate}[1)]
\item Vérifier que $C(0) \neq 0$. Donner une explication concrète de ce fait.

\item 
\begin{enumerate}
\item Quelle conjecture peut-on formuler sans calcul sur le sens de variation de $C$ sur [0~;~6] ? Expliquer.

\item Prouver cette conjecture par le calcul.
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\subsection{}
On s'intéresse à la même entreprise.\\
Le coût moyen de fabrication de 1 \si{\hecto\litre}, si $x$ \si{\hecto\litre} ont déjà été produits, avec $x>0$, est défini par 
\[CM(x)=\dfrac{C(x)}{x}.\]
où $C$ est la fonction de l'exercice précédent.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour tout $x$ dans ]0~;~6], on a :
\[C_M'(x)=\dfrac{(x-5)\left(x^2+2x+10\right)}{x^2}.\]

\item En déduire la quantité de production pour laquelle le coût moyen est minimal et préciser ce coût en euro.

\item En sciences économiques, on appelle coût marginal le coût de production d’une unité supplémentaire.\\
Ce coût, qui dépend de la quantité $x$ déjà produite, est modélisé par la fonction $C'$, dérivée de $C$.\\
Montrer que lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal.

\end{enumerate}

\subsection{}
On pose $f(x)=\dfrac{x^3+2}{x^2+1}$, où $x\in\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a :
\[f'(x)=\dfrac{x(x-1)\left(x^2+x+4\right)}{\left(x^2+1\right)^2}.\]

\item Étudier le signe de $f'(x$.

\item En déduire que, pour tout $x\in[0~;~1]$, on a : \[dfrac{3}{2}\leqslant \dfrac{x^3+2}{x^2+1}\leqslant 2.\]
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Forme optimale d'une casserole}}

Cet exercice propose de comprendre pourquoi les casseroles ont toutes la même forme.

Pour réduire les coûts de fabrication, une entreprise doit fabriquer des casseroles cylindriques de volume $v$ \textbf{donné} en utilisant le moins de métal possible. (on ne tient pas compte du manche)

On. note $h$ la hauteur d'une casserole, $x$ le rayon du disque du fond et $S$ l'aire totale (aire latérale + aire du fond).

\begin{enumerate}
\item Montrer que $S=\pi x^2+\dfrac{2v}{x}$.

\item Étudier les variations de la fonction \[f:x\mapsto \pi x^2+\dfrac{2v}{x}\text{ sur }]0~;~+\infty[.\]
On notera $\alpha$ le nombre vérifiant $\alpha ^3=\dfrac{v}{\pi}$. \\
Alors : $\alpha=\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}$

\item En déduire, pour un volume $v$ fixé, la valeur de $x$ pour laquelle le coût de fabrication d' une casserole est le plus bas.\\
Notons $\alpha$ cette valeur.

\item Montrer,  que pour cette valeur $\alpha$ du rayon, la hauteur de la casserole est aussi $\alpha$.\\
Conclure quant à la forme des casseroles.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  