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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les suites arithmético-géométriques}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{Bac ES Amérique du Nord juin 2019}}

Une commune dispose de 380 voitures et propose un système de locations de ces voitures selon les modalités suivantes :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item chaque voiture est louée pour une durée d'un mois ;
\item la location commence le 1\ier{} jour du mois et se termine le dernier jour du même mois ;
\item le nombre de voitures louées est comptabilisé à la fin de chaque mois.
\end{list}

À la fin du mois de janvier 2019, 280 voitures ont été louées avec ce système de location.

Le responsable de ce système souhaite étudier l'évolution du nombre de locations de voitures.

Pour cela il modélise le nombre de voitures louées chaque mois par une suite $(u_n)$, où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de voitures louées le $n$-ième mois après le mois de janvier 2019. Ainsi $u_0=280$.

On admet que cette modélisation conduit à l'égalité: $u_{n+1}=0,9 u_n + 42$.

\begin{enumerate}
\item Combien de voitures ont-elles été louées avec ce système de location au mois de février 2019 ?
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose: $v_n=u_n-420$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. On précisera le premier terme $v_0$ et la raison.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que \\
$u_n=-140\times 0,9^{n} + 420$.
\end{enumerate}

\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item La commune, qui possède initialement 380 véhicules, envisage d'acheter des voitures supplémentaires pour répondre à la demande. Le responsable de la commune souhaite prévoir à partir de quelle date le nombre de voitures sera insuffisant.

On souhaite utiliser l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{4cm}|}
\hline
$N \leftarrow 0$\\
$U \leftarrow 280$\\
Tant que $\ldots\ldots\ldots$\\
\hspace*{1cm} $N\leftarrow N+1$\\
\hspace*{1cm} $U\leftarrow \ldots\ldots\ldots$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme.
\item Que contient la variable $N$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
\item En déduire le mois durant lequel la commune devra augmenter le nombre de voitures.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Bac ES Pondichéry avril 2014}}
Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.
 
Le centre ouvre ses portes le 1\up{er} janvier 2013 avec 115 oiseaux.
 
Les spécialistes prévoient que 40\,\% des oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier d'une année restent présents le 1\up{er} janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.
 
On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier des années suivantes. 

La situation peut être modélisée par une suite $\left(u_{n}\right)$ admettant pour premier terme $u_{0} = 115$, le terme $u_{n}$ donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année $2013 + n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ? 
\item Les spécialistes déterminent le nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier de chaque année à l'aide d'un algorithme. 
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l'\textbf{algorithme 3} permet d'estimer le nombre d'oiseaux présents au 1\up{er} janvier de l'année $2013 + n$.
		 
Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu.

\medskip
\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.1cm}|X|p{0.1cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\ 
$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\ 
$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
\textbf{Début}&&\textbf{Début}&&\textbf{Début}\\ 
Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$\\
Affecter 115 à $U$&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&Affecter 115 à $U$\\ 
Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&\hspace{0.25cm}| Affecter 115 à $U$&&Pour i de 1 à N faire \\ 
\hspace{0.25cm}| Affecter $0,6 \times U + 120$ à $U$&&\hspace{0.25cm}| Affecter $0,4 \times U + 115$ à $U$&&\hspace{0.25cm}| Affecter $0,4 \times U + 120$ à $U$\\
Fin Pour&&Fin Pour&&Fin Pour\\ 
Afficher $U$&&Afficher $U$&&Afficher $U$\\ 
{\bf Fin}&&{\bf Fin}&&{\bf Fin}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 1}}&\multicolumn{1}{p{0.15cm}}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 2}}&\multicolumn{1}{p{0.15cm}}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 3}}\\
\end{tabularx}
\end{footnotesize}
\medskip
 
		\item Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 200$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,4$. Préciser $v_{0}$. 
		\item Exprimer, pour tout entier naturel $n, \:v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n, u_{n} = 200 - 85 \times 0,4^n$. 
		\item La capacité d'accueil du centre est de $200$~oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\item Chaque année, le centre touche une subvention de $20$~euros par oiseau présent au 1\up{er} janvier.
 
Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1\up{er} janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. 
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  