\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[tikz]{bclogo} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl,pst-func} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset -1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}.}\textcolor{red}{\arabic{subsubsection}}} \pagestyle{fancy} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \begin{document} \begin{center}\section*{\textcolor{red}{Lois de probabilités à densité}}\end{center} \tableofcontents \subsection{\textcolor{blue}{Notion de densité}} \subsubsection{\textcolor{red}{Définition}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} Une variable aléatoire définie sur l'univers $\Omega$ d'une expérience aléatoire est dite continue lorsqu'elle peut prendre comme valeurs \textbf{\textcolor{red}{tous}} les nombres réels d'un intervalle $I$. \end{bclogo} \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} Jean attend son bus. Il est certain que son bus arrivera dans moins de 10 minutes.\\ Soit $X$ son temps d'attente (en minutes).\\ La variable aléatoire $X$ est continue car elle peut prendre comme valeurs tous les nombres réels de l'intervalle [0~;~10[.\\ Par exemple, X = 1,3 signifie que le bus arrive au bout de 1 minute et 18 secondes (car $1,3$ min = 1 min 18 s \bigskip \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} Soit $X$ une variable aléatoire continue..\\ On dit que $X$ est de densité $f$ lorsque : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item Il existe une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$, positive et continue sur un intervalle $I$ appelé support de $f$ et nulle en dehors de $I$, telle que l'aire totale sous la courbe représentative de $f$ est égale à 1. \item pour tout intervalle $[a~;~b]$ inclus dans $I$ : $P(a~;~X~;~b)=\int_a^bf(x)\text{ d}x$. \end{enumerate} \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{red}{Exemples :}} \begin{enumerate}[$\bullet$] \item \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{0pt} \setlength{\columnsep}{2 cm} $f(x)=\dfrac{1}{5}$ sur $[2~;~7]$ et 0 ailleurs.\\ L'aire en bleu vaut $5\times \dfrac{1}{5}=1$ \begin{center} \psset{xunit=1,yunit=1.5,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-1,-1)(8,1.2) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{{\psplot{2}{7}{0.2}{\psline(7,0)(2,0)}}} \psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(8,1.2) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(8,1.2) \uput[u](4,0.2){$\mathscr{C}_f$} \end{pspicture} \end{center} \end{multicols} \newpage \item $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}$ sur $\mathbb{R}$ (fonction de Gauss) \begin{center} \psset{xunit=1,yunit=4,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-6,-1)(6,1) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{{\psGauss[linecolor=red, linewidth=2pt]{-4}{4}}{\psline(4,0)(-4,0)}} \psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-6,-1)(6,1) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-6,-1)(6,1) \end{pspicture} \end{center} \item $f(x)=\begin{cases}0\text{si }x<0\\2\mathrm{e}^{-2x}\text{ si }x\geqslant 0\end{cases}$ \begin{center} \psset{xunit=1,yunit=1.7,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-2,-1)(10,3) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{{\psplot[linecolor=red, linewidth=2pt]{0}{10}{2*EXP(-2*x)}}{\psline(10,0)(0,0)}} \psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-1)(10,3) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-1)(10,3) \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} Soit $X$ une variable aléatoire continue à valeurs dans l'intervalle $I$.\\ $X$ suit la loi de densité $f$ si pour tout intervalle $J$ inclus dans $I$, $p (X\in J )$ est l'aire du domaine $D$, où $D = { M ( x ; y ) \slash x \in J\text{ et }0 \leqslant y\leqslant f ( x ) }$ ($D$ est le domaine situé entre $\mathscr{C}_f$ et l'axe des abscisses pour $x$ dans $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$).\\ Traduction : $p(a\leqslant X\leqslant b)=\int_a^bf(x)\text{ d}x$ \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $p(X=a)=0$ car $p(X=a)=\int_a^af(x)\text{ d}x=0$ \newpage \subsubsection{\textcolor{red}{Fonction de répartition}} Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$.\\ On appelle fonction de répartition de $X$ la fonction $F$ définie pour tout réel $x$ par : \[F(x)=P(X\leqslant x)\] \bigskip \begin{center} \psset{xunit=4,yunit=1.2,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-2,-1)(2.5,3) \pscustom[fillstyle=vlines,fillcolor=cyan!30]{{\psplot[linecolor=red, linewidth=2pt]{0}{1.5}{2*EXP(-2*x)}}{\psline(1.5,0)(0,0)}} \psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-1)(2.5,3) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-1)(2.5,3) \psplot[linecolor=red, linewidth=2pt]{0}{10}{2*EXP(-2*x)} \uput[d](1.5,0){$x$} \uput[u](0.5,0.2){$F(x)$} \end{pspicture} \end{center} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} On en déduit : $p(a\leqslant X\leqslant b)=F(b)-F(a)$ \end{bclogo} \subsection{\textcolor{blue}{Paramètres d'une variable à densité}} \subsubsection{\textcolor{red}{Espérance}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} L' espérance d'une variable aléatoire continue $X$ à valeurs dans l'intervalle $[a~;~b]$ et de densité $f$ est définie par l'égalité : \[E(X)=\int_a^bxf(x)\text{d}x.\] \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Rappel :}} l'espérance $E(X)$ correspond à la notion der \textbf{moyenne}. \subsubsection{\textcolor{red}{Variance et et écart-type}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} La variance d'une variable aléatoire continue $X$ à valeurs dans l'intervalle $[a~;~b]$ est définie par l'égalité \[V(X)=\int_a^bx^2f(x)\text{ d}x-\left[E(X)\right]^2.\] \end{bclogo} \newpage \subsection{\textcolor{blue}{Loi uniforme sur $[a~;~b]$}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} Soient $a$ et $b$ deux réels avec $a}(0,0)(-3,-1)(9,1.5) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(9,1.5) \uput[u](4,0.25){$\mathscr{C}_f$} \end{pspicture} \end{center} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} Si $X$ est une variable aléatoire uniforme à valeurs dans l'intervalle $ [a ; b]$ , alors, sa fonction de répartition $F$ est définie, pour tout $x$ dans $[a~;~b]$ par : \[F(X)=\begin{cases}0\text{ si }xb\end{cases}\] \end{bclogo} \bigskip \begin{center} \psset{xunit=1,yunit=2,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-3,-1)(9,2) \psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(9,2) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(9,2) \psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{2}{0} \psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{2}{6}{(x-2)/4} \psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{6}{9}{1} \uput[u](7,1){$\mathscr{C}_F$} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} Si $X$ est une variable aléatoire uniforme à valeurs dans l'intervalle $[a~;~b]$ , alors, pour tout intervalle $[c~;~d]$ inclus dans $[a~;~b]$ , on a : \[p(c\leqslant X\leqslant d)=\dfrac{d-c}{b-a}\] \end{bclogo} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} Si $X$ suit une loi uniforme sur $[a~;~b]$, alors : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$ \item $V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}$ \end{enumerate} \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} Sur une autoroute, deux postes consécutifs de téléphone de secours A et B sont distants de 5 km.\\ On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout véhicule tombant en panne entre A et B, associe la distance en km parcourue depuis le poste A.\\ On suppose que la probabilité de tomber en panne entre A et B est indépendante de la position du véhicule au moment de la panne. \bigskip \begin{enumerate}[a)] \item On en déduit que $X$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[0~;~5]$.\\ La fonction densité est donc définie par $f(x)=\dfrac{1}{5}$ sur $[0~;~5]$ et 0 ailleurs. \item On a par exemple : $p(0\leqslant X\leqslant 1)=\dfrac{1-0}{5-0}=\dfrac{1}{5}$\\ $p(3\leqslant X\leqslant 5)=\dfrac{5-3}{5-0}=\dfrac{2}{5}$ \item $E(X)=\dfrac{5+0}{2}=2,5\si{\kilo\meter}$.\\ Pour un très Gran nombre de véhicules tombant en panne entre ces deux bornes, la distance moyenne parcourue depuis le poste A est 2,5\si{\kilo\meter} \item La variance est $V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}=\dfrac{25}{12}$.\\ L'écart-type est alors $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\dfrac{25}{12}}=\dfrac{5}{\sqrt{12}}=\dfrac{5}{2\sqrt{3}}$. \end{enumerate} \newpage \subsection{\textcolor{blue}{Loi exponentielle}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} Soit $\lambda$ un réel strictement positif.\\ La variable aléatoire continue $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ si elle admet une densité $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par: \[f ( x ) = \lambda e\mathrm{e}^{-\lambda x}\] \end{bclogo} \begin{center} \psset{xunit=1,yunit=2,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-2,-1)(10,3) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{{\psplot[linecolor=red, linewidth=2pt]{0}{10}{3*EXP(-3*x)}}{\psline(10,0)(0,0)}} \psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-1)(10,3) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-1)(10,3) \uput[ur](0.8,0.2){$\mathscr{C}_f$} \end{pspicture} \end{center} \bigskip La fonction de répartition est définie par : $F(x)=\begin{cases}0\text{ si }x<0\\1-\mathrm{e}^{-\lambda x}\text{ pour }x\geqslant 0\end{cases}$ \begin{center} \psset{xunit=1,yunit=2,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-2,-1)(10,2) \psplot[linecolor=red, linewidth=2pt,plotpoints=1000]{0}{10}{1-EXP(-3*x)} \psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-1)(10,2) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-1)(10,2) \uput[u](3,1){$\mathscr{C}_F$} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} \begin{enumerate}[$\bullet$] \item Pour $0\leqslant c\leqslant d$, $p(c\leqslant X\leqslant d)=\mathrm{e}^{-\lambda c}-\mathrm{e}^{-\lambda d}$ \item $p(X\geqslant c)=\mathrm{e}^{-\lambda c}$ \end{enumerate} \end{bclogo} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}} $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$ \end{bclogo} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété \og{}d'absence de mémoire\fg{}}} Si $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ , alors :\\ pour tous réels positifs $x$ et $x'$, $p_{ X > x} ( X > x + x' ) = p ( X > x ' )$.\\ On dit que le temps d'attente ne dépend pas du temps d'attente \og{}passé\fg{}. \end{bclogo} \textbf{\textbf{\textcolor{red}{Exemple} :}}\\ L'entreprise Duflan produit des appareils dont la durée de vie $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.\\ La durée de vie moyenne de ces appareils est de 15 mois. \begin{enumerate} \item Quelle est la valeur de $\lambda$ ?\\ Donner la fonction de densité f de $X$. \item Calculer la probabilité qu'un appareil vive plus de 2 ans. \item Monsieur Benet possède un appareil qui n'a jamais eu de panne depuis 2 ans.\\ A l'aide des formules sur les probabillités conditionnelles, calculer la probabilité que l'appareil fonctionne encore pendant 3 ans.\\ Vérifier la propriété d'absence de mémoire. \end{enumerate} \textbf{\textcolor{blue}{Solution :}} \begin{enumerate} \item $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=15$ donc $\lambda=\dfrac{1}{15}$\\ Alors, la densité est $f(x)=\dfrac{1}{15}\mathrm{e}^{-\frac1{15}x}$ pour $x\geqslant 0$, 0 sinon. \item $p(X\geqslant 24)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{15}\times 24}=\mathrm{e}^{-\frac8{15}}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,202}}$ \item $p_{24\leqslant X}\left(24+36\leqslant X\right)=\dfrac{p(24+36\leqslant X) \cap (24\leqslant X)}{p(24\leqslant X)}=\dfrac{p(24+36\leqslant X)}{p(24\leqslant X)}=\dfrac{\mathrm{e}^{-\frac1{15}(24+36)}}{\mathrm{e}^{-\frac1{15}\times 24}}=-\frac1{15}\times 36\approx 0,091$ \end{enumerate} \label{fin} \end{document}