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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Lois de probabilités à densité}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{blue}{Notion de densité}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Définition}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une variable aléatoire définie sur l'univers $\Omega$ d'une expérience aléatoire est dite continue lorsqu'elle peut prendre comme valeurs \textbf{\textcolor{red}{tous}} les nombres réels d'un intervalle $I$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}}
Jean attend son bus. Il est certain que son bus arrivera dans moins de 10 minutes.\\
Soit $X$ son temps d'attente (en minutes).\\
La variable aléatoire $X$ est continue car elle peut prendre comme valeurs tous les nombres réels de l'intervalle [0~;~10[.\\
Par exemple,  X = 1,3  signifie que le bus arrive au bout de 1 minute et 18 secondes (car $1,3$ min = 1 min 18 s

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $X$ une variable aléatoire continue..\\
On dit que $X$ est de densité $f$ lorsque :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Il existe une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$, positive et continue sur un intervalle $I$ appelé support de $f$ et nulle en dehors de $I$, telle que l'aire totale sous la courbe représentative de $f$ est égale à 1.

\item pour tout intervalle $[a~;~b]$ inclus dans $I$ : $P(a~;~X~;~b)=\int_a^bf(x)\text{ d}x$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

$f(x)=\dfrac{1}{5}$ sur $[2~;~7]$ et 0 ailleurs.\\
L'aire en bleu vaut $5\times \dfrac{1}{5}=1$
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,1.2)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{{\psplot{2}{7}{0.2}{\psline(7,0)(2,0)}}}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(8,1.2)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(8,1.2)
\uput[u](4,0.2){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{multicols}

\newpage


\item $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}$ sur $\mathbb{R}$ (fonction de Gauss)
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{{\psGauss[linecolor=red, linewidth=2pt]{-4}{4}}{\psline(4,0)(-4,0)}}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-6,-1)(6,1)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-6,-1)(6,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\item $f(x)=\begin{cases}0\text{si }x<0\\2\mathrm{e}^{-2x}\text{ si }x\geqslant 0\end{cases}$
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-1)(10,3)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{{\psplot[linecolor=red, linewidth=2pt]{0}{10}{2*EXP(-2*x)}}{\psline(10,0)(0,0)}}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-1)(10,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-1)(10,3)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $X$ une variable aléatoire continue à valeurs dans l'intervalle $I$.\\
$X$ suit la loi de densité  $f$  si pour tout intervalle $J$ inclus dans $I$,  $p (X\in J )$  est l'aire du domaine $D$, où  $D = { M ( x ; y ) \slash  x \in J\text{   et  }0 \leqslant  y\leqslant  f ( x ) }$  ($D$ est le domaine situé entre  $\mathscr{C}_f$  et l'axe des abscisses pour  $x$  dans $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$).\\
Traduction : $p(a\leqslant X\leqslant b)=\int_a^bf(x)\text{ d}x$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $p(X=a)=0$ car $p(X=a)=\int_a^af(x)\text{ d}x=0$

\newpage


\subsubsection{\textcolor{red}{Fonction de répartition}}
Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$.\\
On appelle fonction de répartition de $X$ la fonction $F$ définie pour tout réel $x$ par : \[F(x)=P(X\leqslant x)\]

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=4,yunit=1.2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2.5,3)
\pscustom[fillstyle=vlines,fillcolor=cyan!30]{{\psplot[linecolor=red, linewidth=2pt]{0}{1.5}{2*EXP(-2*x)}}{\psline(1.5,0)(0,0)}}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-1)(2.5,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-1)(2.5,3)
\psplot[linecolor=red, linewidth=2pt]{0}{10}{2*EXP(-2*x)}
\uput[d](1.5,0){$x$}
\uput[u](0.5,0.2){$F(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
On en déduit : $p(a\leqslant X\leqslant b)=F(b)-F(a)$
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{blue}{Paramètres d'une variable à densité}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Espérance}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
L' espérance d'une variable aléatoire continue $X$ à valeurs dans l'intervalle $[a~;~b]$  et de densité  $f$  est définie par l'égalité :
\[E(X)=\int_a^bxf(x)\text{d}x.\]
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Rappel :}} l'espérance $E(X)$ correspond à la notion der \textbf{moyenne}.

\subsubsection{\textcolor{red}{Variance et et écart-type}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
La variance d'une variable aléatoire continue $X$ à valeurs dans l'intervalle $[a~;~b]$  est définie par l'égalité 
\[V(X)=\int_a^bx^2f(x)\text{ d}x-\left[E(X)\right]^2.\]
\end{bclogo}

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Loi uniforme sur $[a~;~b]$}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient  $a$  et  $b$  deux réels avec  $a<b$.\\
La variable aléatoire continue $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle  $[a~;~b]$  si elle admet une densité  $f$ définie sur $\mathbb{R}$  par :
\[f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{b-a}\text{ sur }[a~;~b]\\0\text{ si }x\notin[a~;~b]\end{cases}\]
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(9,1.5)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{{\psplot{2}{6}{0.25}{\psline(6,0)(2,0)}}}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(9,1.5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(9,1.5)
\uput[u](4,0.25){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Si $X$ est une variable aléatoire uniforme à valeurs dans l'intervalle $ [a ; b]$ , alors, sa fonction de répartition  $F$  est définie, pour tout  $x$  dans  $[a~;~b]$  par :
\[F(X)=\begin{cases}0\text{ si }x<a\\\dfrac{x-a}{b-a}\text{ si }a\leqslant x\leqslant b\\ 1\text{ si }x>b\end{cases}\]
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(9,2)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(9,2)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(9,2)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{2}{0}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{2}{6}{(x-2)/4}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{6}{9}{1}
\uput[u](7,1){$\mathscr{C}_F$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Si $X$ est une variable aléatoire uniforme à valeurs dans l'intervalle  $[a~;~b]$ , alors, pour tout intervalle  $[c~;~d]$  inclus dans  $[a~;~b]$ , on a :
\[p(c\leqslant X\leqslant d)=\dfrac{d-c}{b-a}\]
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Si $X$ suit une loi uniforme sur $[a~;~b]$, alors :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$

\item $V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}


\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}}
Sur une autoroute, deux postes consécutifs de téléphone de secours A et B sont distants de 5 km.\\
On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout véhicule tombant en panne entre A et B, associe la distance en km parcourue depuis le poste A.\\
On suppose que la probabilité de tomber en panne entre A et B est indépendante de la position du véhicule au moment de la panne.

\bigskip

\begin{enumerate}[a)]
\item On en déduit que $X$ suit une loi uniforme sur l’intervalle $[0~;~5]$.\\
La fonction densité est donc définie par $f(x)=\dfrac{1}{5}$ sur $[0~;~5]$ et 0 ailleurs.

\item On a par exemple :
$p(0\leqslant X\leqslant 1)=\dfrac{1-0}{5-0}=\dfrac{1}{5}$\\
$p(3\leqslant X\leqslant 5)=\dfrac{5-3}{5-0}=\dfrac{2}{5}$

\item $E(X)=\dfrac{5+0}{2}=2,5\si{\kilo\meter}$.\\
Pour un très Gran nombre de véhicules tombant en panne entre ces deux bornes, la distance moyenne parcourue depuis le poste A est 2,5\si{\kilo\meter}

\item La variance est $V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}=\dfrac{25}{12}$.\\
L'écart-type est alors $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\dfrac{25}{12}}=\dfrac{5}{\sqrt{12}}=\dfrac{5}{2\sqrt{3}}$.

\end{enumerate}

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Loi exponentielle}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\lambda$  un réel strictement positif.\\
La variable aléatoire continue $X$ suit la loi exponentielle de paramètre  $\lambda$  sur l'intervalle  $[0~;~+\infty[$  si elle admet une densité  $f$  définie sur  $[0~;~+\infty[$  par:  \[f ( x ) = \lambda e\mathrm{e}^{-\lambda x}\]
\end{bclogo}

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-1)(10,3)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{{\psplot[linecolor=red, linewidth=2pt]{0}{10}{3*EXP(-3*x)}}{\psline(10,0)(0,0)}}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-1)(10,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-1)(10,3)
\uput[ur](0.8,0.2){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

La fonction de répartition est définie par : $F(x)=\begin{cases}0\text{ si }x<0\\1-\mathrm{e}^{-\lambda x}\text{ pour }x\geqslant 0\end{cases}$

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-1)(10,2)
\psplot[linecolor=red, linewidth=2pt,plotpoints=1000]{0}{10}{1-EXP(-3*x)}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-1)(10,2)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-1)(10,2)
\uput[u](3,1){$\mathscr{C}_F$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $0\leqslant c\leqslant d$, $p(c\leqslant X\leqslant d)=\mathrm{e}^{-\lambda c}-\mathrm{e}^{-\lambda d}$

\item $p(X\geqslant c)=\mathrm{e}^{-\lambda c}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
$E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété \og{}d'absence de mémoire\fg{}}}
Si  $X$  suit la loi exponentielle de paramètre  $\lambda$ , alors :\\
pour tous réels positifs  $x$  et  $x'$,    $p_{ X > x} ( X > x + x' ) = p ( X > x ' )$.\\
On dit que le temps d'attente ne dépend pas du temps d'attente \og{}passé\fg{}.
\end{bclogo}

\textbf{\textbf{\textcolor{red}{Exemple} :}}\\
L'entreprise Duflan produit des appareils dont la durée de vie $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.\\
La durée de vie moyenne de ces appareils est de 15 mois.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur de $\lambda$ ?\\
Donner la fonction de densité  f  de $X$.

\item Calculer la probabilité qu'un appareil vive plus de 2 ans.

\item Monsieur Benet possède un appareil qui n'a jamais eu de panne depuis 2 ans.\\
A l'aide des formules sur les probabillités conditionnelles, calculer la probabilité que l'appareil fonctionne encore pendant 3 ans.\\
Vérifier la propriété d'absence de mémoire.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Solution :}}

\begin{enumerate}
\item $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=15$ donc $\lambda=\dfrac{1}{15}$\\
Alors, la densité est $f(x)=\dfrac{1}{15}\mathrm{e}^{-\frac1{15}x}$ pour $x\geqslant 0$, 0 sinon.

\item $p(X\geqslant 24)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{15}\times 24}=\mathrm{e}^{-\frac8{15}}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,202}}$

\item $p_{24\leqslant X}\left(24+36\leqslant X\right)=\dfrac{p(24+36\leqslant X) \cap (24\leqslant X)}{p(24\leqslant X)}=\dfrac{p(24+36\leqslant X)}{p(24\leqslant X)}=\dfrac{\mathrm{e}^{-\frac1{15}(24+36)}}{\mathrm{e}^{-\frac1{15}\times 24}}=-\frac1{15}\times 36\approx 0,091$
\end{enumerate}





\label{fin}
\end{document}  