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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}.}\textcolor{red}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Fonction logarithme népérien}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{blue}{Définition}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
La fonction exponentielle est définie et continue sur $\mathbb{R}$. Elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $]0~;~+\infty$. (Les images sont strictement ositives).\\
Pour tout réel $y$ de $]0~;~+\infty[$, l'équation $\mathrm{e}^{x}=y$ admet une solution unique $x$ appartenant à $\mathbb{R}$.\\
Cette solution est appelée logarithme népérien de $y$et se note $x=\ln(y)$ ou $\ln y$.\\
La fonction exponentielle admet donc une fonction réciproque définie sur $]0~;~+\infty[$.\\
Cette fonction s'appelle logarithme népérien et se note $\ln$.\\
Ainsi : \\
$\begin{array}{*{5}{c}}
\ln& :& ]0~;~+\infty[&\rightarrow& \mathbb{R} \\
&&x&\mapsto &\ln(x)\\
\end{array}$
\end{bclogo}

\begin{minipage}{6cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\ln(1)=0$

\item $\ln(\mathrm{e})=1$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

En effet :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\mathrm{e}^{0}=1\Leftrightarrow \ln(1)=0$

\item $\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}\Leftrightarrow \ln(\mathrm{e})=1$
\end{enumerate}



\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Courbe représentative}}
Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

\begin{center}
\psset{xunit=.7}\psset{yunit=.7}
\begin{pspicture}(-6,-10)(8,20)
%\psline[linewidth=1pt](-6,0)(10,0)
%\psline[linewidth=1pt](0,-10)(0,20)
%\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0)
%\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1)
%\uput[dr](0,0){O}
%\uput[dr](1,0){1}
%\uput[l](0,1){1}
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.6pt](-6,-10)(10,20)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-6,-10)(10,20)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=100]{-6}{3}{2.71828 x exp}
\psplot[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=red]{-1}{10}{ x }
\uput[u](10,10){$y=x$}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=100]{0.01}{10}{ x ln}
\psline{<->}(-0.5,0.5)(0.5,1.5)
\pspolygon[fillcolor=red!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.994528049465325,4.394528049465325)(5.294528049465326,4.694528049465325)(4.994528049465325,4.994528049465325)(4.694528049465325,4.694528049465325)
\psline[linewidth=3pt,linecolor=green](2,7.389)(7.389,2)
\uput[u](10,2.3){$y=\ln x$}
\uput[l](1,2.718){$y=\mathrm{e}^{x}$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](7.389,2)(7.389,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,7.389)(2,7.389)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](7.389,2)(0,2)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](2,7.389,2)(2,0)
\uput[d](7.389,0){$y$}
\uput[r](0,2){$\ln(y)$}
\uput[l](0,7.389){$y=\mathrm{e}^{x}$}
\uput[d](2,0){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage



\subsection{\textcolor{blue}{Propriétés}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés algébriques (admises)}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Poour tout réel $y>0$ et tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}=y\Leftrightarrow x=\ln(y)$

\item Pour tout réel $x>0$, $\mathrm{e}^{\|n(x)}=x$

\item Pour tout réel $x$, $\ln\left(\mathrm{e}^{x}\right)=x$
\end{enumerate} 
\end{bclogo}

\bigskip


\begin{enumerate}[Exemple 1]
\item Résoudre les équations 


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item $\mathrm{e}^{x}=3$

\item $\mathrm{e}^{x}=7$

\end{enumerate}


\end{multicols}
\bigskip
\textbf{ \textcolor{blue}{Réponses :}}
 


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item $\mathrm{e}^{x}=3\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=\ln(3)}}$

\item $\mathrm{e}^{x}=7\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=\ln(7)}}$
\end{enumerate}


\end{multicols}

\item Résoudre les équations :



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item $\ln(x)=6$

\item $\ln(x)=0$
\end{enumerate}


\end{multicols}
\textbf{ \textcolor{blue}{Réponses :}}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item $\ln(x)=6\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=\mathrm{e}^{6}}}$

\item $\ln(x)=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=\mathrm{e}^{0=1}}}$
\end{enumerate}


\end{multicols}
\item Résoudre l'équation $\ln(3x-5)=7$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Il faut que $3x-5>0$ donc on doit avoir $x>\dfrac{3}{5}$.

\item Pour $x>\dfrac{3}{5}$, $\ln(3x-5)=7\Leftrightarrow 3x-5=\mathrm{e}^{7}\Leftrightarrow 3x=5+\mathrm{e}^{7}\Leftrightarrow x=\dfrac{5+\mathrm{e}^{7}}{3}>\dfrac{3}{5}$.\\
On en déduit que l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{5+\mathrm{e}^{7}}{3}\right)}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\begin{minipage}{7cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés fonctionnelles (admises)}}

Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$

\item $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)$

\item $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$

\item $\ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2}\ln(a)$.

\item Pour tout entier naturel $n$, $\ln\left(a^n\right)=n\ln(a)$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}

\begin{enumerate}
\item Simplifier $\ln(27)-4\ln(3)$.\\
$\ln(27)-4\ln(3)=\ln\left(3^3\right)-4\ln(3)\\=3\ln(3)-4\ln(3)=\boxed{\textcolor{red}{-\ln(3)=\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)}}$.

\item Simplifier $\ln(8)+\ln\left(\sqrt{2}\right)-\ln(32)$.\\
$\ln(8)+\ln\left(\sqrt{2}\right)-\ln(32)=\ln\left(2^3\right)+\dfrac{1}{2}\ln(2)-\ln\left(2^5\right)=3\ln(2)+\dfrac{1}{2}\ln(2)-5\ln(2)=\left(3+\dfrac{1}{2}-5\right)\ln(2)\\
=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{3}{2}\ln(2)}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Étude de la fonction logarithme}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Sens de variation}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété admise}}
La fonction $\ln$ est continue et dérivable sur $]0~;~+\infty$ et, pour tout $x>0$, $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

$\ln'(x)>0$ donc $\ln$ est croissante.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}\\
$\begin{variations}
x&&0&&\pI\\
\hline
\ln'(x)=\dfrac{1}{x}&\bb&+&\\
\hline
\m{\ln(x)}&\bb&\mI&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}$

\columnbreak

\textbf{\textcolor{blue}{Courbe représentative :}}

\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,3)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-3)(5,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-3)(5,3)
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{0.07}{5}{ln(x)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2}{4}{x-1}
\uput[u](4,1.39){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}

\end{multicols}

\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : la tangente à la courbe au point d'abscisse 1 a pour équation $y=x-1$, donc passe par le point de coordonnées $(-1,0)$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : la fonction $\ln$ est croissante, mais croît \og{}lentement\fg{}.\\
Exemple : $\ln\left(10^9\right)=9\ln(10)\approx 20,7$
\newpage


En utilisant les variations de la fonction. $\ln$, on en déduit les propriétés suivantes :

\begin{minipage}{7cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\ln(a)\leqslant 0\Leftrightarrow a\leqslant 1$

\item $\ln(a)\geqslant 0\Leftrightarrow a\geqslant 1$

\item $\ln(a)=\ln(b)\Leftrightarrow a=b$

\item $\ln(a)\leqslant \ln(b)\Leftrightarrow a\leqslant b$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}


\subsubsection{\textcolor{red}{Limites}}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés admises}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln(x)=+\infty$

\item $\lim_{x\rightarrow 0}\ln(x)=-\infty$

\item $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$

\item $\lim_{x\rightarrow 0}x\ln(x)=0$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\subsubsection{\textcolor{red}{Dérivée du logarithme d'une fonction}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (admise)}}
Soit $u$ une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$.\\
$\ln(u)$ est dérivable et $\left(\ln(u)\right)'=\dfrac{u'}{u}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} soit $f(x)=\ln\left(x^2+5\right)$.\\
$f=\ln(u)$ abvec $u(x)=x^2+5$ et $u'(x)=2x$.\\
$f'=\dfrac{u'}{u}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+5}}}$

\label{fin}
\end{document}  