\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[tikz]{bclogo} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset -1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}.}\textcolor{red}{\arabic{subsubsection}}} \pagestyle{fancy} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \begin{document} \begin{center}\section*{\textcolor{red}{Fonction logarithme népérien}}\end{center} \tableofcontents \subsection{\textcolor{blue}{Définition}} \begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} La fonction exponentielle est définie et continue sur $\mathbb{R}$. Elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $]0~;~+\infty$. (Les images sont strictement ositives).\\ Pour tout réel $y$ de $]0~;~+\infty[$, l'équation $\mathrm{e}^{x}=y$ admet une solution unique $x$ appartenant à $\mathbb{R}$.\\ Cette solution est appelée logarithme népérien de $y$et se note $x=\ln(y)$ ou $\ln y$.\\ La fonction exponentielle admet donc une fonction réciproque définie sur $]0~;~+\infty[$.\\ Cette fonction s'appelle logarithme népérien et se note $\ln$.\\ Ainsi : \\ $\begin{array}{*{5}{c}} \ln& :& ]0~;~+\infty[&\rightarrow& \mathbb{R} \\ &&x&\mapsto &\ln(x)\\ \end{array}$ \end{bclogo} \begin{minipage}{6cm} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}} \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $\ln(1)=0$ \item $\ln(\mathrm{e})=1$ \end{enumerate} \end{bclogo} \end{minipage} En effet : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $\mathrm{e}^{0}=1\Leftrightarrow \ln(1)=0$ \item $\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}\Leftrightarrow \ln(\mathrm{e})=1$ \end{enumerate} \newpage \subsection{\textcolor{blue}{Courbe représentative}} Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$. \begin{center} \psset{xunit=.7}\psset{yunit=.7} \begin{pspicture}(-6,-10)(8,20) %\psline[linewidth=1pt](-6,0)(10,0) %\psline[linewidth=1pt](0,-10)(0,20) %\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0) %\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1) %\uput[dr](0,0){O} %\uput[dr](1,0){1} %\uput[l](0,1){1} \psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.6pt](-6,-10)(10,20) \psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-6,-10)(10,20) \psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=100]{-6}{3}{2.71828 x exp} \psplot[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=red]{-1}{10}{ x } \uput[u](10,10){$y=x$} \psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=100]{0.01}{10}{ x ln} \psline{<->}(-0.5,0.5)(0.5,1.5) \pspolygon[fillcolor=red!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.994528049465325,4.394528049465325)(5.294528049465326,4.694528049465325)(4.994528049465325,4.994528049465325)(4.694528049465325,4.694528049465325) \psline[linewidth=3pt,linecolor=green](2,7.389)(7.389,2) \uput[u](10,2.3){$y=\ln x$} \uput[l](1,2.718){$y=\mathrm{e}^{x}$} \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](7.389,2)(7.389,0) \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,7.389)(2,7.389) \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](7.389,2)(0,2) \psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](2,7.389,2)(2,0) \uput[d](7.389,0){$y$} \uput[r](0,2){$\ln(y)$} \uput[l](0,7.389){$y=\mathrm{e}^{x}$} \uput[d](2,0){$x$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \subsection{\textcolor{blue}{Propriétés}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés algébriques (admises)}} \begin{enumerate}[$\bullet$] \item Poour tout réel $y>0$ et tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}=y\Leftrightarrow x=\ln(y)$ \item Pour tout réel $x>0$, $\mathrm{e}^{\|n(x)}=x$ \item Pour tout réel $x$, $\ln\left(\mathrm{e}^{x}\right)=x$ \end{enumerate} \end{bclogo} \bigskip \begin{enumerate}[Exemple 1] \item Résoudre les équations \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{0pt} \setlength{\columnsep}{2 cm} \begin{enumerate} \item $\mathrm{e}^{x}=3$ \item $\mathrm{e}^{x}=7$ \end{enumerate} \end{multicols} \bigskip \textbf{ \textcolor{blue}{Réponses :}} \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{0pt} \setlength{\columnsep}{2 cm} \begin{enumerate} \item $\mathrm{e}^{x}=3\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=\ln(3)}}$ \item $\mathrm{e}^{x}=7\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=\ln(7)}}$ \end{enumerate} \end{multicols} \item Résoudre les équations : \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{0pt} \setlength{\columnsep}{2 cm} \begin{enumerate} \item $\ln(x)=6$ \item $\ln(x)=0$ \end{enumerate} \end{multicols} \textbf{ \textcolor{blue}{Réponses :}} \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{0pt} \setlength{\columnsep}{2 cm} \begin{enumerate} \item $\ln(x)=6\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=\mathrm{e}^{6}}}$ \item $\ln(x)=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=\mathrm{e}^{0=1}}}$ \end{enumerate} \end{multicols} \item Résoudre l'équation $\ln(3x-5)=7$ \begin{enumerate}[$\bullet$] \item Il faut que $3x-5>0$ donc on doit avoir $x>\dfrac{3}{5}$. \item Pour $x>\dfrac{3}{5}$, $\ln(3x-5)=7\Leftrightarrow 3x-5=\mathrm{e}^{7}\Leftrightarrow 3x=5+\mathrm{e}^{7}\Leftrightarrow x=\dfrac{5+\mathrm{e}^{7}}{3}>\dfrac{3}{5}$.\\ On en déduit que l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{5+\mathrm{e}^{7}}{3}\right)}}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{minipage}{7cm} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés fonctionnelles (admises)}} Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ \item $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)$ \item $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$ \item $\ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2}\ln(a)$. \item Pour tout entier naturel $n$, $\ln\left(a^n\right)=n\ln(a)$ \end{enumerate} \end{bclogo} \end{minipage} \textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}} \begin{enumerate} \item Simplifier $\ln(27)-4\ln(3)$.\\ $\ln(27)-4\ln(3)=\ln\left(3^3\right)-4\ln(3)\\=3\ln(3)-4\ln(3)=\boxed{\textcolor{red}{-\ln(3)=\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)}}$. \item Simplifier $\ln(8)+\ln\left(\sqrt{2}\right)-\ln(32)$.\\ $\ln(8)+\ln\left(\sqrt{2}\right)-\ln(32)=\ln\left(2^3\right)+\dfrac{1}{2}\ln(2)-\ln\left(2^5\right)=3\ln(2)+\dfrac{1}{2}\ln(2)-5\ln(2)=\left(3+\dfrac{1}{2}-5\right)\ln(2)\\ =\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{3}{2}\ln(2)}}$ \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{Étude de la fonction logarithme}} \subsubsection{\textcolor{red}{Sens de variation}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété admise}} La fonction $\ln$ est continue et dérivable sur $]0~;~+\infty$ et, pour tout $x>0$, $\ln'(x)=\dfrac{1}{x}$ \end{bclogo} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{1pt} \setlength{\columnsep}{2 cm} $\ln'(x)>0$ donc $\ln$ est croissante.\\ \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}\\ $\begin{variations} x&&0&&\pI\\ \hline \ln'(x)=\dfrac{1}{x}&\bb&+&\\ \hline \m{\ln(x)}&\bb&\mI&\c&\h{\pI}\\ \hline \end{variations}$ \columnbreak \textbf{\textcolor{blue}{Courbe représentative :}} \psset{unit=1,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-3,-3)(5,3) \psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-3)(5,3) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-3)(5,3) \psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{0.07}{5}{ln(x)} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2}{4}{x-1} \uput[u](4,1.39){$\mathscr{C}$} \end{pspicture} \end{multicols} \end{bclogo} \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : la tangente à la courbe au point d'abscisse 1 a pour équation $y=x-1$, donc passe par le point de coordonnées $(-1,0)$. \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : la fonction $\ln$ est croissante, mais croît \og{}lentement\fg{}.\\ Exemple : $\ln\left(10^9\right)=9\ln(10)\approx 20,7$ \newpage En utilisant les variations de la fonction. $\ln$, on en déduit les propriétés suivantes : \begin{minipage}{7cm} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}} Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $\ln(a)\leqslant 0\Leftrightarrow a\leqslant 1$ \item $\ln(a)\geqslant 0\Leftrightarrow a\geqslant 1$ \item $\ln(a)=\ln(b)\Leftrightarrow a=b$ \item $\ln(a)\leqslant \ln(b)\Leftrightarrow a\leqslant b$ \end{enumerate} \end{bclogo} \end{minipage} \subsubsection{\textcolor{red}{Limites}} \begin{minipage}{7cm} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés admises}} \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln(x)=+\infty$ \item $\lim_{x\rightarrow 0}\ln(x)=-\infty$ \item $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$ \item $\lim_{x\rightarrow 0}x\ln(x)=0$ \item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0$ \end{enumerate} \end{bclogo} \end{minipage} \subsubsection{\textcolor{red}{Dérivée du logarithme d'une fonction}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (admise)}} Soit $u$ une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$.\\ $\ln(u)$ est dérivable et $\left(\ln(u)\right)'=\dfrac{u'}{u}$. \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} soit $f(x)=\ln\left(x^2+5\right)$.\\ $f=\ln(u)$ abvec $u(x)=x^2+5$ et $u'(x)=2x$.\\ $f'=\dfrac{u'}{u}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+5}}}$ \label{fin} \end{document}