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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}.}\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Équations différentielles et primitives d'une fonction}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Équations différentielles généralités)}}


\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une équation ndifférentielle est une équation dont l'inconnue est une \textbf{fonction}.\\
L'égalité que forme cette équation différentielle se présente comme une relation entre la fonction inconnue, sa dérivée, une ou plusieurs dérivées d'ordres différents et éventuellement une autre fonction.\\
La fonction inconnu est souvent appelée $y$.
\end{bclogo}

\bigskip
Exemples :

\begin{enumerate}[a)]
\item $y'-4y=2x-1$ est une équation différentielle.

\item $y''-3y'+2y=0$ est une équation différentielle.
\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Résoudre une équation différentielle consiste à trouver toutes les fonctions vérifiant cette équation.
\end{bclogo}

\bigskip

Remarque : on ne sait pas résoudre toutes les équations différentielles \dots

\subsection{\textcolor{red}{Équations différentielles du type $y'=ay+b$}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Équations différentielles \boldmath{$y'=ay$}}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{théorème}}
Soit $a$ un réel.\\
Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions $f : x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}$ où $C$ est une constante réelle.\\
Si, de plus, $y\left(x_0\right)=k$ pour $x_0$ et $k$ donnés, la fonction est unique et c'est la fonction  $x\mapsto k\mathrm{e}^{a\left(x-x_0\right)}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $C$ un réel . Soit $f : x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}$.\\
$f'(x)=C\times aw\mathrm{e}^{ax}=af(x)$ donc $f$ est solution de l'équation $y'=ay$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Réciproquement}} :\\
Soit $g$ une solution de l'équation différentielle $y'=ay$.\\
La fonction $ : x\mapsto \mathrm{e}^{ax}$ ne s'annule pas ; on pose $h(x)=\dfrac{g(x)}{\mathrm{e}^{ax}}=g(x)\mathrm{e}^{-ax}$.\\
Calculons $h'(x)$ :\\
$h$ est un produit de deux fonctions :\\
$h'(x)=g'(x)\times \mathrm{e}^{-ax}+g(x)\times \left[-a\times \mathrm{e}^{-ax}\right]=ag(x)\mathrm{e}^{-ax}-ag(x)\mathrm{e}^{-ax}=0$ car $g'(x)=ag(x)$.\\
Par conséquent : $h'=0$.\\
On en déduit que $h$ est une fonction constante.\\
Il existe $C$ tel que $h(x)=C$ donc $\dfrac{g(x)}{\mathrm{e}^{ax}}=C$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{g(x)=C\mathrm{e}^{ax}}}$.

\item Si $y\left(x_0\right)=k$, alors $C\mathrm{e}^{ax_0}=k$ donc $C=\dfrac{k}{\mathrm{e}^{ax_0}}=k\mathrm{e}^{-ax_0}$.\\
D'où : $f(x)=k\mathrm{e}^{a\left(x-x_0\right)}$
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Équations différentielles \boldmath{$y'=ay+b$}}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème} (\textcolor{red}{admis})}
Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls.\\
Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay+b$ sont les fonctions $f : x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}$, où $C$ est une constante réelle.
\end{bclogo}

\bigskip

Remarque : la fonction $ : x\mapsto -\dfrac{b}{a}$ est une fonction constante, solution particulière de cette équation différentielle.

\bigskip

Exemple : soit l'équation différentielle $y'=3y+2$.\\
Elle est de la forme y'=ay+b avec $a=3$ et $b=2$.\\
Les solutions sont les fonctions $ : \boxed{\textcolor{red}{x\mapsto k\mathrm{e}^{3x}-\dfrac{2}{3}}}$.


\subsection{\textcolor{red}{Équation différentielle de la forme $y'=f$}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Spoit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.\\
On appelle primitive de $f$ toute fonction dérivable sur $I$ solution de l'équation différentielle $y'=f$.
\end{bclogo}


\newpage



\textbf{\textcolor{blue}{Exemple : }}\\
Soit l'équation différentielle $y'=2x+3$.\\
La fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=x^2+3x$ est une solution de cette équation différentielle.\\
On dit que $F$ est une \textbf{\textcolor{red}{primitive}} de la fonction $f : x\mapsto 2x+3$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : $g$ définie par $g(x)=x^2+3x+7$ est aussi une solution. Il n'y a donc pas unicité d'une primitive.

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème admis}}
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives définies sur $I$.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et soit $F$ une primitive de $f$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour tout réel $k$, $F+k$ est aussi une primitive de $f$.

\item Si $G$ est une primitive de $f$ sur $I$, il existe $k$ tel que $G=F+k$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

Remarque : il suffit donc de connaître une primitive pour les avoir toutes ; ill suffit d'ajouter une constante quelconque.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété admise}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.\\
Quels que soient  les réels $x_0\in I$ et $y_0\in\mathbb{R}$, il existe une unique primitive $F$ de $f$ sur $I$ vérifiant $F\left(x_0\right)=y_0$.
\end{bclogo}
\label{fin}

\subsection{\textcolor{red}{Primitives d'une fonction continue} }

\subsubsection{\textcolor{blue}{Primitives des fonctions usuelles} }
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
\text{Fonction }f : x\mapsto \cdots&\text{Une primitive }F : x\mapsto \cdots&\text{sur} \cdots\\
\hline
m\text{~(constante})&mx&\mathbb{R}\\
\hline
x^n~n\in\mathbb{N}&\dfrac{x^{n+1}}{n+1}&\mathbb{R}\\
\hline
\dfrac{1}{x}~(x>0)&\ln(x)&]0~;~+\infty[\\
\hline
\dfrac{1}{x^n}~(n\in\mathbb{N},n\geqslant 2)&-\dfrac{1}{n-1}\times \dfrac{1}{x^{n-1}}&]-\infty~;~0[ \cup ]0~;~+\infty[\\
\hline
\dfrac{1}{2\sqrt{x}}~(x>0)&\sqrt{x}&]0~;~+\infty[\\
\hline
\mathrm{e}^{x}&\mathrm{e}^{x}&\mathbb{R}\\
\hline
\end{array}
$

\end{center}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Primitives et opérations}}
Dans le tableau suivant, $f$ et $g$ sont deux fonctions de primitives respectives $F$ et $G$, $u$ désigne une fonction dérivable,
À dérivée continue, sur un intervalle $I$ :

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{center}
$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
\text{Fonction }f\text{ du type}\cdots&\text{Une primitive }F\text{ du type}\cdots&\text{Conditions}\\
\hline
f+g&F+G&\\
\hline
kf&kF&k\text{ réel}\\
\hline
U'\mathrm{e}^{u}&\mathrm{e}^{u}&\\
\hline
2u'u&u^2&\\
\hline
\dfrac{u'}{u^2}&-\dfrac{1}{u}&u(x)\neq 0\text{ sur }I\\
\hline
\dfrac{u'}{u}&\ln(u)&u>0\text{ sur }I\\
\hline
\end{array}
$
\end{center}

\label{fin}
\end{document}