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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Dérivation}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents



\subsection{\textcolor{blue}{Nombre dérivé, tangente à une courbe}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, $a$ un nombre appartenant à $I$ et $h$ un nombre réel non  nul tel que $a+h$ appartient à $I$.\\
Soit $A$ le point de la courbe représentative de $f$ d'abscisse $a$ et $H$ le point de la courbe représentative de $f$ d'abscisse $a+h$.\\
Lorsque $h$ tend vers 0, le point $H$ se rapproche de $A$ et la sécante $(AH)$ de coefficient directeur $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ se rapproche (dans certains cas) d'une \og{}droite limite\fg{}.


\begin{multicols}{3}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-2)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-2)(4,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-0.3}{4}{3-(x-2)^2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,2)(1.8558,2.9792)
\uput[ur](3,2){$\mathscr{C}$}
\uput[l](1,2){A}
\uput[u](1.8558,2.9792){H}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-1}{2.5}{(0.7323+0.9792*x)/0.8558}
\end{pspicture}

\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-2)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-2)(4,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-0.3}{4}{3-(x-2)^2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,2)(1.5313,2.7803)
\uput[ur](3,2){$\mathscr{C}$}
\uput[l](1,2){A}
\uput[u](1.5313,2.7803){H}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-1}{2.5}{(0.2822+0.7803*x)/0.5313}
\end{pspicture}

\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-2)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-2)(4,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-0.3}{4}{3-(x-2)^2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,2)
\uput[ur](3,2){$\mathscr{C}$}
\uput[l](1,2){A}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-1}{2}{2*x}
\uput[d](2,-2){Tangente à la courbe en A}
\end{pspicture}
\end{multicols}

\newpage


\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition }}

Si le quotient $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ a une limite qui est un nombre réel quand $h$ tend vers 0, on appelle $f'(a)$ ce nombre limite qu'on appelle nombre dérivé de $f$ en $a$.\\
On dit que $f$ est dérivable en $a$.
On écrit $f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.\\
La tangente à la courbe $\mathscr{C_f}$ au point d'abscisse $a$ est la droite qui passé par $A(a~;~f(a))$ et de coefficient directeur $f'(a)$.
\end{bclogo}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : soit $f : x\mapsto x^2$ définie sur $\mathbb{R}$.\\
Soit $a=3$.\\
$\dfrac{f(a+h-f(a)}{h}=\dfrac{(3+h)^2-3^2}{h}=\dfrac{9+6h+h^2-9}{h}=\dfrac{6h+h^2}{h}=\dfrac{h(6+h)}{h}=6+h$.\\
Lorsque $h$ tend vers 0, $6+h$ tend vers 6.\\
$f$ est dérivable en 3 et $f'(3)=6$.



\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : il existe des fonctions n'admettant pas de nombre dérivé.\\
Exemple : soit $f$ la fonction valeur absolue $x : x\mapsto \left\vert x \right\vert $.\\
\parbox{10cm}{\textbf{\textcolor{blue}{Rappel}} : $\left\vert x \right\vert=\begin{cases}x\text{ si }x\geqslant 0\\-x\text{ si }x\leqslant 0\end{cases}$.\\
Étudions si $f$ a un nombre dérivé en 0.\\
$\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{\left\vert h \right\vert-\left\vert 0 \right\vert}{h}=\dfrac{\left\vert h \right\vert}{h}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $h>0$, $\dfrac{\left\vert h \right\vert}{h}=\dfrac{h}{h}=1$ donc $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\dfrac{\left\vert h \right\vert}{h}=-1$.

\item Si $h<0$, $\dfrac{\left\vert h \right\vert}{h}=\dfrac{-h}{h}=-1$ $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\dfrac{\left\vert h \right\vert}{h}=1$
\end{enumerate}
L'expression n'a donc \textbf{\textcolor{red}{pas de limite}} en 0, la courbe représentative de $f$ n'a pas de tangente en 0.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : cette expression a une limite à gauche et une limite à droite, on dit que la courbe admet deux demi-tangentes.}\hfill
\parbox{8cm}{
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,3)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(3,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(3,3)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{3}{abs(x)}
\end{pspicture}
\end{center}
Courbe représentative de $x\mapsto \left\vert x \right\vert$
}

\subsection{\textcolor{blue}{Équation de la tangente}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a\in I$.\\
On suppose que $f$ est dérivable en $a$, donc que $f$ admet un nombre dérivé $f'(a)$ en $a$.\\
Alors l'équation de la tangente en $a$ est $\boxed{\textcolor{red}{y=f'(a)(x-a)+f(a)}}$
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}} :
$f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente, donc l'équation de cette tangente est de la forme $y=f'(a)x+p$.\\
Calcul de $p$ : par définition, la tangente passe par le point $A(a~;~f(a))$.\\
Par conséquent : $f(a)=f'(a)a+p$ d'où $p=f(a)-f'(a)a$.\\
Alors : $y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a=f'(a)x-f'(a)a+f(a)=f'(a)(x-a)+f(a)$.

\bigskip

Exemple : $f(x)=x^2$ et $a=3$. On a trouvé précédemment $f'(3)=6$.\\
L'équation de la tangente à $\mathscr{C}$ en 3 est : $y=f'(3)(x-3)+f(3)$ donc $y=6(x-3)+9$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{y=6x-9}}$



\subsection{\textcolor{blue}{Dérivée d'une fonction} }
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.\\
On suppose que $f$ admet un nombre dérivé $f'(x)$pour tout $x$ de $I$.\\
On appelle fonction dérivée de $f$, notée $f'$, la fonction $f' : x\mapsto f'(x)$.
\end{bclogo}

\bigskip



\subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée des fonctions usuelles}}
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{3}{c|}} \hline
\rowcolor{red!20} Fonction&Fonction dérivée&Domaine de dérivabilité\\
\hline
$f(x)=k$ constante réelle&f'(x)=0&$\mathbb{R}$\\
\hline
$f(x)=mx+p$&$f'(x)=m$&$\mathbb{R}$\\
\hline
$f(x)=x^n$ ($n$ entier, $n\geqslant 2$)&$f'(x)=nx^{n-1}$&$\mathbb{R}$\\
\hline
$f(x)=\dfrac{1}{x}$&$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$&$\mathbb{R}^*$\\
\hline
 $f(x)=\dfrac{1}{x^n}$, $n$ entier, $n\geqslant 2$&$f'(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}$&$\mathbb{R}^*$\\
\hline
$f(x)=\sqrt{x}$ ($x\geqslant 0$)&$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$&$]0~;~+\infty[$\\
\hline
$f(x)=\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$&$f'(x)=\mathrm{e}^{x}$&$\mathbb{R}$\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(x)=3$ ; $f'(x)=0$

\item $f(x)=x^5$ ; $f(x)=x^n$ avec $n=5$.\\
Alors : $f'(x)=nx^{n-1}=5x^4$

\item $f(x)=\dfrac{1}{x^7}$ ; $f(x)=\dfrac{1}{x^n}$ avec $n=7$.\\
Alors : $f'(x)=-\dfrac{1}{x^{n+1}}=-\dfrac{1}{x^{7+1}}=-\dfrac{1}{x^8}$
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée et opérations}}
Soient $k$ un réel et $u$ et $v$ deux fonction dérivables sur in intervalle $I$.

\begin{center}
$\begin{array}{|*2{c|}}\hline
\rowcolor{red!20}\text{Fonction}&\text{Dérivée}\\
\hline
(ku)&ku'\\
\hline
u+v&u'+v'\\
\hline
uv&u'v+uv'\\
\hline
\dfrac{1}{u} (u\neq 0)&-\dfrac{u'}{u^2}\\
\hline
\dfrac{u}{v} (v\neq 0)&\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\\
\hline
\end{array}$
\end{center}


\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(x)=5x^3$ ; $f=ku$ avec $k=5$ et $u(x)=x^3$.\\
Alors : $f'=(ku)'=ku'$ avec $u'(x)=3x^2$ d'où : $f'(x)=5\times 3x^2=\boxed{15x^2}$.

\item $f(x)=3x^2+5x$.\\
$f=u+v$ avec $u(x)=3x^2$ et $v(x)=5x$.\\
$f'=(u+v)'=u'+v'$ avec $u'(x)=3\times 2x=6x$ et $v'(x)5$.\\
Par conséquent : $\boxed{f'(x)=u'(x)+v'(x)=6x+5}$

\item $f(x)=5x^2\left(7x^2+5x+1\right)$.\\
$f=uv$ avec $u(x)=5x^2$ et $v(x)=7x^2+5x+1$.\\
On a alors : $f'=(uv)'=u'v+uv'$.\\
$u(x)=5\times x^2$ donc $u'(x)=5\times 2x=10x$\\
$v$ est une somme de fonctions, donc $v'(x)=7\times 2x+5\times 1+0=14x+5$.\\
Alors : $f'(x)=10x\times \left(7x^2+5x+1\right)+5x^2\times (14x+5)=70x^3+50x^2+10x+70x^3+25x^2=\boxed{\textcolor{red}{140x^3+75x^2+10x}}$

\item $f(x)=(3x+5)\sqrt{x}$ sur $]0~;~+\infty[$\\
$f=uv$ avec $\left\{\begin{array}{l}u(x)=3x+5\\v(x)=\sqrt{x}\end{array}\right.$\\
$f'=(uv)'=u'v+uv'$ avec $\left\{\begin{array}{l}u'(x)=3\\v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}\right.$\\
$f'(x)=3\sqrt{x}+(3x+5)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{3\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}+(3x+5)}{2\sqrt{x}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9x+5}{2\sqrt{x}}}}$

\item $f(x)=\dfrac{7x+5}{2x+3}$ sur $\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}$.\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u(x)=7x+5\\v(x)=2x+3\end{array}\right.$.\\
$f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\left\{\begin{array}{l}u'(x)=7\\v'(x)=2\end{array}\right.$.\\
$f'(x)=\dfrac{7(2x+3)-2(7x+5)}{(2x+3)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{11}{(2x+3)^2}}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Dérivée et variation d'une fonction}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème (admis)}}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si, pour tout $x$ de $I$, $f'(x)>0$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

\item Si, pour tout $x$ de $I$, $f'(x)<0$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

\item Si, pour tout $x$ de $I$, $f'(x)=0$, alors $f$ est constante sur $I$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}



\label{fin}
\end{document}