\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices \no 3 \\(loi uniforme discrète, schéma de Bernoulli, coefficients binomiaux)}}\end{center}



\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $Z$ suit une loi uniforme sur l'ensemble $\{1~;~2~;~\cdots~;~100\}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(Z\leqslant 25)=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}$

\item $p(20<Z<46):\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}$ car il y a 25 entiers compris entre 20 et 46 exclus.

\item $p(Z\geqslant 46)=\dfrac{55}{100}=\dfrac{11}{20}$.
\end{enumerate}

\item $X$ suit une loi uniforme sur l'ensemble  des entiers naturels compris entre 1 et $n$.\\
%Son espérance est égale à 10. Que vaut $n$ ?
$E(X)=\dfrac{(n+1)}{2}=10$ donc $n+1=20$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{n=19}}$

\item $X$ suit une loi uniforme sur l'ensemble $\{1~;~2~;~\cdots~;~\numprint{1000}\}$.

\begin{enumerate}
\item %Calculer $p(100<X<200)$.
$p(100<X<200)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{99}{\numprint{1000}}}}$

\item %Calculer $k$ tel que $p(300\leqslant X\leqslant k)=0,02$
$p(300\leqslant X\leqslant k)=0,02\\
\Leftrightarrow \dfrac{k-300+1}{1000}=0,02\Leftrightarrow k-299=20\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{k=319}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Puisque tous les résultats entre 1 et 12 sont possibles et équiprobables, la variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $\{1~;~2~;~\cdots~;~12\}$.

\item  La probabilité d’un évènement élémentaire est $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{n}}}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
%Dans un jeu de 32 cartes, on attribue un nombre de points aux cartes.\\
%Pour 7~;~8~;~9 et 10, le nombre de points est le nombre marqué sur la carte. Pour Valet, Dame et Roi, le nombre de points est 10 et pour As, le nombre de points est 11.\\
%Les cartes sont supposés indiscernables.\\
%On tire une carte au hasard. On considère la variable aléatoire $X$ qui associe à la carte son nombre de points moins 6.\\
%$X$ suit-elle une loi uniforme sur \{1~;~2~;~3~;~4~;~5\} ?
$X$ peut prendre les valeurs $7-6=1$~;~$8-6=2$~;~$9-6=3$~;~$10-6=4$ et $11-6=5$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(X=1)=p(X=2)=p(X=3)=p(X=5)=\dfrac{4}{32}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{8}}}$ (4 cas favorables à chaque fo.is)

\item $p(X=4)=\dfrac{16}{32}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$
\end{enumerate}
On en déduit que $X$ ne suit pas une loi uniforme sur \{1~;~2~;~3~;~4~;~5\}.

\subsection{}
L’hypothèse que le candidat répond \og{}au hasard\fg{} suggère qu’il choisit de manière aléatoire et équiprobable une réponse parmi les trois.\\Le choix d’une réponse à une question est donc une épreuve de Bernoulli de paramètre $\dfrac{1}{3}$.\\
On peut supposer que les questions (et les réponses) sont indépendantes les unes des autres.\\
La répétition de quatre fois la même épreuve de Bernoulli est un schéma de Bernoulli de paramètres n=4 et $p=\dfrac{1}{3}$.

\subsection{}
L’expérience de répéter trois fois le lancer du dé peut être assimilée à un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 3$ et $p = \dfrac{5}{8}$.\\
La probabilité d’obtenir trois succès est $\boxed{\textcolor{red}{p(SSS)=\left(\dfrac{5}{8}\right)^3}}$
\subsection{}

\begin{enumerate}
\item %Déterminer 
$\binom{8}{1}=\boxed{\textcolor{red}{8}}$\\
$\binom{9}{1}=\boxed{\textcolor{red}{9}}$\\
$\binom{n}{1}=\boxed{\textcolor{red}{n}}$\\
$\binom{n}{n-1}=\binom{n}{1}=\boxed{\textcolor{red}{n}}$

\item On admet que $\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $\binom{9}{2}$, $\binom{30}{2}$, $\binom{100}{2}$.
$\binom{9}{2}=\dfrac{9\times 8}{2}=\boxed{\textcolor{red}{36}}$\\
$\binom{30}{2}=\dfrac{30\times 29}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{6525}}}$\\
$\binom{100}{2}=\dfrac{100\times 99}{2}=50\times 99=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{4950}}}$.

\item %en déduire $\binom{100}{98}$
On en déduit : $\binom{100}{98}=\binom{100}{100-98}=\\
\binom{100}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{4950}}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
En utilisant le triangle de Pascal, on trouve :\\
$\binom{7}{2}=\boxed{\textcolor{red}{21}}$\\
$\binom{7}{4}=\boxed{\textcolor{red}{35}}$\\
$\binom{6}{4}=\boxed{\textcolor{red}{15}}$.

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Calculer :
\begin{enumerate}
\item $\binom{2}{0}+\binom{2}{1}+\binom{2}{2}=\boxed{\textcolor{red}{4}}$

\item $\binom{3}{0}+\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3}=\boxed{\textcolor{red}{8}}$

\item $\binom{4}{0}+\binom{4}{1}+\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4}=\boxed{\textcolor{red}{16}}$
\end{enumerate}

\item %Quelle conjecture peut-on faire ?
On peut conjecturer que la somme des coefficients binomiaux de rang $n$ est égale à $2^n$.

\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}