\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{maths complémentaires : correction de la feuille \no 1\\ (probabilités conditionnelles)}}\end{center}

\subsection{}
$A$ et $B$ sont deux évènements d'une même expérience aléatoire. Dans chacun des cas suivants, calculer $p(A)$. 

\begin{enumerate}
\item% $p(A \cap B)=\dfrac{1}{3}$ et $p\left(A \cap \overline{B}\right) =\dfrac{1}{4}$.
$p(A)=p(A \cap B)+p\left(A \cap \overline{B}\right)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{12}}}$

\item %$p_B(A)=\dfrac{1}{2}$, $p_{\overline{B}}(A)= \dfrac{1}{6}$ et $p(B)=\dfrac{2}{5}$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A \cap B)=p_B(A)\times p(B)=\dfrac{1}{\cancel{2}}\times \dfrac{\cancel{2}}{5}=\dfrac{1}{5}$

\item $p\left(A \cap \overline{B}\right)=p_{\overline{B}}(A)\times p\left(\overline{B}\right)=\dfrac{1}{6}\left(1-\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{3}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{10}}}$

\item Alors = $p(A)=p(A \cap B)+p\left(A \cap \overline{B}\right)=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{10}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{10}}}$
\end{enumerate}

\item %$p_A (B) = 0,3$ ,$p_B(A) =0,1$ et $p(B) = 0,6$. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A \cap B)=p_B(A)\times p(B)=0,1\times 0,6=0,06$.

\item $p(A \cap B)=p_A(B)\times p(A)$ donc $p(A)=\dfrac{p(A \cap B)}{p_A(B)}=\dfrac{0,06}{0,3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}}$
\end{enumerate}


\end{enumerate}

.

\subsection{}
$A$ et $B$ sont deux événements d'une même expérience aléatoire tels que $p(A)=0,3$, $p(B)=0,7$ et $p(A \cap B)=0,2$
\begin{enumerate}
\item %$A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
$p(A)\times p(B)=0,21\neq p(A \cap B)$ donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

\item %Calculer $p_A(B)$.
$p_A(B)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}=\dfrac{0,2}{0,3}=\dfrac{2}{3}$
\end{enumerate}


\subsection{}

On lance successivement deux dés équilibrés numérotés de 1 à 6. 

\begin{enumerate}
\item %Est-ce une succession de deux épreuves indépendantes ?
C'est une succession de deux épreuves indépendantes.

\item %Quelle est la probabilité d'obtenir deux 6 lors des deux lancers? 
La probabilité d'obtenir deux 6 lors des deux lancers est $\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{6}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{36}}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Une urne contient quatre boules vertes et cinq boules jaunes indiscernables au toucher.\\
On effectue deux tirages successifs d'une boule sans remise.\\ 
Soient $A$ l'évènement \og{}La première boule tirée est verte\fg{} et $B$ l'évènement  \og{}La deuxième boule tirée est jaune\fg{}. 

\begin{enumerate}
\item %Calculer $p(A)$ et $p_A(B)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A)=\dfrac{4}{9}$

\item $p_A(B)=\dfrac{5}{8}$
\end{enumerate}

\item %En déduire $p(A \cap B)$. 
$p(A \cap B)=p_A(B)\times p(A)=\dfrac{5}{8}\times \dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{18}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Une société effectue auprès de \numprint{10000} personnes une étude de marché concernant un nouveau produit. Dans cet échantillon, 40\:\% sont des jeunes (moins de 20 ans) et 20\:\% de ceux-ci se déclarent intéressés par le produit.\\
En revanche, 10\:\% seulement des personnes de plus de 20 ans se déclarent intéressées par le produit.\\
On choisit une personne au hasard dans l'échantillon. On note $J$ l'événement \og{} La personne est jeune\fg{}  et $I$ \og{} La personne est intéressée\fg.
\begin{enumerate}
\item %Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :
Complétons l'arbre de probabilités ci-dessous :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=8mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$J$}\taput{ $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{ $0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{I}$}\tbput{ $0,8$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{J}$}\tbput{ $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{ $0,1$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{I}$}\tbput{ $0,9$}}}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $p(I\cap J)$, $p(I\cap\overline{J})$, $p(\overline{I}\cap J)$ et $p(\overline{I}\cap \overline{J})$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(I \cap J)=p_J(I)\times p(J)=0,2\times 0,4=\boxed{\textcolor{red}{0,08}}$

\item $p\left(I \cap \overline{J}\right)=0,1\times 0,6=\boxed{\textcolor{red}{0,06}}$

\item $p\left(\overline{I} \cap J\right)=0,8\times 0,4=\boxed{\textcolor{red}{0,32}}$

\item $p\left(\overline{I} \cap \overline{J}\right)=0,9\times 0,6=\boxed{\textcolor{red}{0,54}}$
\end{enumerate}

\item %Calculer $p(I)$.
D'après la formule des probabilités totales :\\
$p(I)=p_J(I)\times p(J)+p_{\overline{J}}(I)\times p\left(\overline{J}\right)=0,08+0,06=\boxed{\textcolor{red}{0,14}}$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité que la personne ait moins de 20 ans sachant que la personne est intéressée par le produit.
La probabilité que la personne ait moins de 20 ans sachant que la personne est intéressée par le produit est :\\
$p_I(J)=\dfrac{o(I \cap J)}{p(I)}=\dfrac{0,08}{0,14}=\dfrac{8}{14}=\dfrac{4}{7}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p_I(J)=\dfrac{4}{7}}}$

\item %Compléter l'arbre ci-dessous.
Pour compléter l'arbre ci-dessous, on doit calculer :\\
$p_{\overline{I}}(J)=\dfrac{p\left(\overline{I} \cap J\right)}{p\left(\overline{I}\right)}=\dfrac{0,32}{0,86}=\dfrac{32}{86}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{16}{43}}}$
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=16mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$I$}\taput{ $0,14$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$J$}\taput{ $\dfrac{4}{7}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{J}$}\tbput{ $\dfrac{3}{7}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{I}$}\tbput{ $0,86$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$J$}\taput{ $\dfrac{16}{43}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{J}$}\tbput{ $\dfrac{27}{43}$}}}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}
Une alarme incendie possède les propriétés suivantes :\\
en cas de détection de fumée, elle se déclenche avec une probabilité égale à 0,99, mais elle se déclenche également en l'absence de fumée avec une probabilité égale à 0,02.\\
On suppose que la probabilité d'incendie est égale à 0,001. 

\begin{enumerate}
\item %Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré.
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=15mm}
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=15mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$F$}\taput{}}
	  { 
		  \TR{$D$}\taput{0,99}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,01}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{F}$}\tbput{}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{0,02}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,98}}}
\end{center}

\item %Calculer la probabilité de l'évènement suivant : \og{}Un incendie se déclare et l'alarme se déclenche\fg{}. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La probabilité d'incendie est égale à 0,001 donc $p(F \cap \overline{D})=0,001\Leftrightarrow 0,01p(F)=0,001\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{p(F)=0,1}}$.

\item $p(F \cap D)=p_F(D)\times p(F)=0,99\times 0,1=\boxed{\textcolor{red}{0,099}}$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2013 (extrait)}}

%\medskip
% 
%Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80\,\% de ses boîtes chez le fournisseur A et 20\,\% chez le fournisseur B.

\medskip
 
%10\,\% des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20\,\% de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
% 
%On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants : 
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item évènement A : \og la boîte provient du fournisseur A \fg{} ; 
%\item évènement B : \og la boîte provient du fournisseur B \fg{} ; 
%\item évènement S : \og la boîte présente des traces de pesticides \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Traduire l'énoncé sous forme d'un arbre pondéré.
Le grossiste a deux fournisseurs et il y a dans chaque boîte des traces de pesticides ou non. On a donc un arbre $2 \times 2$ :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=4pt]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{$0,8$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{$0,1$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{$0,9$}
 		}
	\pstree{\TR{$B$}\tbput{$0,2$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{$0,2$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{$0,8$}
 		}
}

\end{center} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité de l'évènement $B \cap \overline{S}$ ?
En suivant la troisième branche :
		
$p\left(B \cap \overline{S}\right)  = p(B) \times p_{B}\left(\overline{S} \right) = 0,2 \times 0,8 = \boxed{\textcolor{red}{0,16}}$. 
		\item %Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
On calcule de même :

$p\left(A \cap \overline{S}\right)  = p(A) \times p_{A}\left(\overline{S} \right) = 0,8 \times 0,9 = 0,72$.

$\{A~;~B\}$ étant une partition de l'univers, on a donc :

$p\left(\overline{S}\right) = p\left(A \cap \overline{S}\right)  + 	p\left(B \cap \overline{S}\right)  = 0,72 + 0,16 = \boxed{\textcolor{red}{0,88}}$.
\end{enumerate} 
\item %On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. 

%Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
Il faut donc calculer :

$p_{S}(B) = \dfrac{p(S \cap B)}{p(S)}$.

On a vu que $p\left(\overline{S}\right) = 0,88$, donc $p(S) = 1 - p\left(\overline{S}\right) = 0,12$.

Donc $p_{S}(B) =\dfrac{0,2 \times 0,2}{0,12} = \dfrac{4}{12}=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{3}}} \approx 0,33$ au centième près.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2015 (extrait)}}
%Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2.
%On note $D_1$ l'évènement \og le composant 1 est défaillant avant un an \fg{} et on note $D_2$ l'évènement \og le composant 2 est défaillant avant un an \fg.
%
%On suppose que les deux événements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants et que 
%
%$P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$.
%
%Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous :
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(10,3.4)
%%\psgrid
%\psline(0,2)(1,2)(1,2.75)(1.5,2.75)\psframe(1.5,2.25)(3,3.25)\psline(3,2.75)(3.5,2.75)(3.5,2)(4.5,2)
%\psline(0,2)(1,2)(1,1.25)(1.5,1.25)\psframe(1.5,0.75)(3,1.75)\psline(3,1.25)(3.5,1.25)(3.5,2)
%\rput(2.25,2.75){1} \rput(2.25,1.25){2}
%\rput(2.5,0.2){Circuit en parallèle A} \rput(7.5,0.2){ Circuit en série B}
%\psline(5,2)(6,2)\psframe(6,1.5)(7.5,2.5)\psline(7.5,2)(8.5,2)\psframe(8.5,1.5)(10,2.5)
%\rput(6.75,2){1}\rput(9.25,2){2}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Lorsque les deux composants sont montés \og en parallèle \fg, le circuit A est défaillant
%uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité
%que le circuit A soit défaillant avant un an.
Les évènements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants, donc :

$P\left(\text{\og{}A défaillant\fg{}}\right)=P\left(D_1 \cap D_2 \right) = P\left(D_1\right) \times P\left(D_2 \right)  = 0,39 \times 0,39 = \boxed{\textcolor{red}{\np{0,1521}}}$.

\item %Lorsque les deux composants sont montés \og en série \fg, le circuit B est défaillant dès que l'unau moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit
%défaillant avant un an.
Ici la probabilité est égale à :

$P\left(\text{\og{}A défaillant\fg{}}\right)=P\left(D_1 \cup D_2 \right) =  P\left(D_1\right) + P\left(D_2\right) - P\left(D_1 \cap D_2 \right) = 0,39 + 0,39 - \np{0,1521} = \boxed{\textcolor{red}{\np{0,6279}}}$.

\end{enumerate}

 

\subsection{\textcolor{blue}{Liban juin 2018}}
Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

\medskip

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est 
$\dfrac{1}{4}$ ;
\item[$\bullet~~$] Si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$ ;
\item[$\bullet~~$] La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac{1}{4}$ .
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l'évènement \og la $n\up{e}$ partie est gagnée \fg{} et on note $p_n$ la probabilité de cet évènement. On a donc $p_1 = \dfrac{1}{4}$.


\begin{enumerate}
\item %Montrer que $p_2 = \dfrac{7}{16}$.
Illustrons la situation par un arbre :

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=7mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$G_1$}\taput{ $\dfrac14$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_2$}\taput{ $\dfrac14$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G_2}$}\tbput{ $\dfrac34$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{G_1}$}\tbput{ $\dfrac34$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_2$}\taput{ $\dfrac12$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G_2}$}\tbput{ $\dfrac12$}
}
}


\end{center}

Alors : En appliquant la formule des probabilités totales :

\noindent $p_2=p\left(G_2\right)=p_{G_1}\left(G_2\right)p\left(G_1)\right)+p_{\overline{G_1}}\left(G_2\right)p\left(G_1\right)\\
=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{7}{16}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{p_2 = \dfrac{7}{16}}}$

\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = - \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{2}$.

Arbre : 
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$G_n$}\taput{ $p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_{n+1}$}\taput{ $\dfrac14$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{ $\dfrac34$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{G_n}$}\tbput{ $1-p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_{n+1}$}\taput{ $\dfrac12$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{ $\dfrac12$}
}
}
\end{center}
\medskip

D'après la formule des probabilités totales :

$p_{n+1}=p\left(G_{n+1}\right)=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\left(1-p_n\right)=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}$

Donc : \[\boxed{\textcolor{red}{p_{n+1}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}}}\]

\item  On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ :

%\tiny
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
$p_n$& $\dfrac{1}{4}$ &\numprint{0,4375} &\numprint{0,3906} &\numprint{0,4023} &\numprint{0,3994} &\numprint{0,4001} &\numprint{0,3999}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\normalsize
%Quelle conjecture peut -on émettre ?
On peut conjecturer que la suite converge vers 0,4.

\item  On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = p_n - \dfrac{2}{5}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
		Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $n_{n+1}=p_{n+1}-\dfrac{2}{5}\\
		=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{5}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{10}=-\dfrac{1}{4}\left(p_n-\dfrac{2}{5}\right)=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{4}u_n}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=-\dfrac{1}{4}u_n}}$.
		
		La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique, de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=-\dfrac{1}{4}}}$.
		
		\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n = \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{20}\left(- \dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
		$u_1=p_1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{5}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{3}{20}}}$.
		
		Comme la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique, on a, pour tout $n$, $u_n=u_1q^{n-1}=-\dfrac{3}{20}\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
		
		On en déduit : $p_n=u_n+\dfrac{2}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}}}$.
		
		\item %La suite $\left(p_n\right)$ converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.
		$-1<-\dfrac{1}{4}<1$ donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$ d'où $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}p_n=\dfrac{2}{5}=\boxed{\textcolor{red}{0,4}}$ donc la conjecture faite à partir du tableau est validée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}