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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\begin{document}
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\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices sur les limites de fonctions (2)}}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\dfrac{2-x^2}{x^2+1}$.\\
%La courbe représentative $\mathscr{C}_g$ de $g$ admet-elle une asymptote ? Si oui, laquelle ?
Pour que la courbe $\mathscr{C}_g$ admette une asymptote, il faut que $g(x)$ ait une limite finie à l'infini ou que $g(x)$ ait une valeur interdite et que la limite en cette valeur soit infinie.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $g$ est définie sur $\mathbb{R}$.

\item Limite à l'infini : on a une forme indéterminée.\\
$g(x)=\dfrac{\cancel{x^2}\left(\frac2{x^2}-1\right)}{x^2\left(1+\frac1{\cancel{x^2}}\right)}=\dfrac{\frac2{x^2}-1}{1+\frac1{x^2}}$.\\
$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(\dfrac{2}{x^2}-1\right)=-1$ et $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\frac1{x^2}\right)=1$.\\
Par quotient : $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}g(x)=-1$.\\
La droite d'équation $y=-1$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}_g$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Déterminer les limites en $-\infty$ et $+\infty$ des fonctions définies par les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\dfrac{x^2+2}{1-x}$.\\
On a une forme indéterminée pour le calcul de la limite à l'infini.\\
$f(x)=\dfrac{\cancel{x^2}\left[1+\frac2{x^2}\right]}{\cancel{x}\left(\frac1x-1\right)}=x\times \dfrac{1+\frac2{x^2}}{\frac1x-1}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}x=-\infty$ ; $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1+\dfrac{2}{x^2}\right)=1$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{1}{x}-1\right)=-1$.\\
Par produit et quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty}}$.

\item De même : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty}}$ car la limite est celle de $-x$. (Voir calculs précédents)

\end{enumerate}
\item $g(x)=\dfrac{x+3}{-2x^2+1}$.\\
On a une forme indéterminée.\\
$\dfrac{x+3}{-2x^2+1}=\dfrac{x\left(1+\frac3x\right)}{x^2\left(-2+\frac1{x^2}\right)}=\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1+\frac3x}{-2+\frac1{x^2}}$.\\
On a : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{1}{x}\right)=0$

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1+\dfrac{3}x{}\right)=1$

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(-2+\dfrac{1}x^2{}\right)=-2$.

\item par produit et quotient, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=0}}$
\end{enumerate}
Pour la limite en $+\infty$, on a la même réponse : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=0}}$\\
On en déduit que l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\mathscr{C}_g$
\end{enumerate}




\subsection{}
%Déterminer les limites suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item Calcul de :$\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}\dfrac{x}{3x-6}$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}x=2$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}(3x-6)=0$ avec $3x-6>0$

\item Par quotient, on en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x>2}}\left(\dfrac{x}{3x-6}\right)=+\infty}}$
\end{enumerate}

\item Calcul de $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}\dfrac{x}{3x-6}$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}=2$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}(3x-6)=0$ avec $3x-6<0$

\item Par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x<2}}\left(\dfrac{x}{3x-6}\right)=-\infty}}$ (quotient de 2, positif, par un nombre négatif)
\end{enumerate}

\item Calcul de $\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x>4}}\dfrac{x^2}{4-x}$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x>4}}x^2=16$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x>4}}(4-x)=0$ avec $4-x<0$

\item Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x>4}}\left(\dfrac{x^2}{4-x}\right)=-\infty}}$
\end{enumerate}

\newpage


\item Calcul de $\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x<4}}\dfrac{x^2}{4-x}$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x<4}}=16$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x<4}}(4-x)=0$ avec $4-x>0$

\item donc : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 4\\x<4}}\left(\dfrac{x^2}{4-x}\right)=+\infty}}$
\end{enumerate}

\item Calcul de $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\left(4+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right)$ :



\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}4=4$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\dfrac{1}{x}=-\infty$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\left(\dfrac{2}{x^2}\right)=+\infty$

\item Par somme et différence, on trouve : \\
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\left(4+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right)=-\infty}}$
\end{enumerate}



\columnbreak

\item Calcul de $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\left(4+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right)$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}4=4$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\dfrac{1}{x}=+\infty$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\left(\dfrac{2}{x^2}\right)=+\infty$

\item Par somme et différence, on obtient une forme indéterminée !

\item On lève l'indétermination :\\
On remarque que $4+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}=4+\dfrac{x-2}{x^2}$.\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}4=4$ ; $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}(x-2)=-2$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}x^2=0$ avec $x^2>0$.\\
On en déduit : $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\left(\dfrac{x-2}{x^2}\right)=-\infty$\\
D'où : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\left(4+\dfrac{x-2}{x^2}\right)=-\infty}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  

\item 