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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{Exercices sur la dérivation (1)}}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Une fonction $f$ est représentée ci-dessous, ainsi que la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-5)(3,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-5)(3,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-5)(3,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-1.8}{2.5}{x^3-x^2-3*x+1}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{<->}(-.5,1)(2,-4)
\end{pspicture}
\end{center}
%Déterminer graphiquement $f'(1)$
$f '(1)$ est le coefficient directeur de la tangente en 1.••
Celle-ci passe par les points O et B de coordonnées O(0~;~0) et A(1~;~-2).
Alors : $f '(1) =\dfrac{y_A-y_0}{x_A-x_O}=\dfrac{-2-0}{1-0}=-2$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(1)=-2}}$
\subsection{}

\begin{enumerate}
\item 
Soit $f : x\mapsto \dfrac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$.\\
Pour tout $x\neq 0$ : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}}}$

\item %Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de cette fonction au point d'abscisse 2.
L'équation réduite de la tangente au point $A(a~;~f(a))$ est : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.\\
Ici, $a=2$ donc $f(2)=\dfrac{1}{2}$ et $f'(2)=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=-\dfrac{1}{4}$.\\
L’équation est alors : $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)+\dfrac{1}{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y=-\dfrac{1}{4}x+1}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
$h$ est une fonction dérivable en -3 telle que $h(-3)=5$ et $h'(-3)=-3$.\\
%Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $h$ en -3.
L'équation réduite de la tangente en -3 est : \\
$y=h'(3)(x-3)+h(3)\iff y=-3(x-(-3))+5\\
\iff \boxed{\textcolor{red}{y=-3x-4}}$

\subsection{}
$f$ est une fonction dérivable en 7. Dans un repère, la tangente à la courbe en 7 a pour équation $y=0,5x-3$.\\
%Déterminer $f'(7)$ et $f(7)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'(7)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 7,  donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(7)=0,5}}$.

\item En $x=7$, la courbe et la tangente ont un point commun, donc $f(7)=0,5\times 7-3=0,5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(7)=0,5}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On pose $f(x)=x^3-x-1$, où $x\in\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
\item %Pour tout réel $x$, calculer $f'(x)$.
Pour tout réel $x$,  $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=3x^2-1}}$.

\item %Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de $f$ au point d’abscisse 2.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'(2)=3\times 2^2-1=11$

\item $f(2)=2^3-2-1=5$
\end{enumerate}
L’équation réduite de la tangente à la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de $f$ au point d’abscisse 2 est :\\
$y=f'(2)(x-2)+f(2)\iff y=11(x-2)+5\iff \boxed{\textcolor{red}{y=11x-17}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
On pose$f(x)=\dfrac{1}{4x-1}$, où $x\in\left]\dfrac{1}{4}~;~+\infty\right[$.
\begin{enumerate}
\item %Pour tout $x>\dfrac{1}{4}$, calculer $f'(x)$.
$f=\dfrac{1}{u}$ avec $u(x)=4x-1$.\\
$f'=\left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u'(x)=4$.\\
D'où : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{4}{(4x-1)^2}}}$

\item %Montrer que l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse $\dfrac{3}{4}$ est $y = -x +\dfrac{5}{4}$
L’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse $\dfrac{3}{4}$ est :\\
$y=f'\left(\dfrac{3}{4}\right)\left(x-\dfrac{3}{4}\right)+f\left(\dfrac{3}{4}\right)$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'\left(\dfrac{3}{4}\right)=-\dfrac{4}{\left(\cancel{4}\times \dfrac{3}{\cancel{4}}-1\right)^2}=-1$

\item $f\left(\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{1}{4\times \dfrac{3}{4}-1}=\dfrac{1}{2}$
\end{enumerate}
L'équation donne : $y=-\left(x-\dfrac{3}{4}\right)+\dfrac{1}{2}\iff \boxed{\textcolor{red}{y=-x+\dfrac{5}{4}}}$ c.q.f.d.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $k$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[k(x)=2x^3-x-1.\]
\begin{enumerate}
\item %Calculer $k'(x)$ puis $k'(0)$.
$k'(x)=2\times 3x^2-1=6x^2-1$.\\
$k'(0)=-1$

\item %Donner l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 0.
L’équation réduite de la tangente en 0 est :\\
$y = k'(0)(x -0)+k(0)\iff  \boxed{\textcolor{red}{y = -x -1}}$
\end{enumerate}

\end{multicols}

\subsection{}
Déterminer l'expression des fonctions dérivées des fonctions définies par les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=x\sqrt{x}$\\
$f=uv$ avec $\begin{cases}u(x)=x\\v(x)=\sqrt{x}\end{cases}$.\\
$f'=(uv)'=u'v+uv'$ avec $\begin{cases}u'(x)=1\\v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\end{cases}$.\\
$f'(x)=\sqrt{x}+x\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3x}{2\sqrt{x}}}}$

\item $f(x)=-5x^3\mathrm{e}^{x}$\\
$f=kuv$ avec $k=-5$~;~$u(x)=x^3$~;~$v(x)\mathrm{e}^{x}$.\\
$f=\left(kuv\right)'=k\times \left(uv\right)'=k\times \left(u'v+uv'\right)$ avec $\begin{cases}u'(x)=3x^2\\v'(x)=\mathrm{e}^{x}\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=-5\left[3x^2\mathrm{e}^{x}+x^3\mathrm{e}^{x}\right]-5\left(x^3+3x^2\right)\mathrm{e}^{x}=\boxed{\textcolor{red}{-5x^2(x+3)\mathrm{e}^{x}}}$

\item $f(x)=\dfrac{4x}{(x+1)^2}=4\times \dfrac{x}{(x+1)^2}$.\\
$f=k\times \dfrac{u}{v}$ avec $k=4$~;~$u(x)=x$~;~$v(x)=\left(x+1\right)^2$\\
$f=k\times \left(u'v+uv'\right)$.\\
$u'(x)=1$\\
$v(x)=x^2+2x+1$ donc $v'(x)=2x+2=2(x+1)$.\\
Alors : $f'(x)=4\times \left[\dfrac{(x+1)^2-x\times 2(x+1)}{\left[\left(x+1\right)^2\right]^2}\right]=4\times \dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4(x-1)}{(x-1)^3}}}$

\item $f(x)=\dfrac{3x+1}{5x+4}$\\
$f'(x)=\dfrac{3(5x+4)-5(3x+1)}{(5x+4)^2}$ donc $f'(x)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{(5x+4)^2}}}$


\item $f(x)=\dfrac{x^7}{5x^2-2}$ pour $x\in\mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{-\sqrt{10}}{5};\dfrac{\sqrt{10}}{5}\right\}$\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=x^7\\v(x)=5x^2-2\end{cases}$.\\
$f=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=7x^6\\v'(x)=10x\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=\dfrac{7x^6\left(5x^2-2\right)-10x\times x^7}{\left(5x^2-2\right)^2}=\dfrac{35x^8-14x^6-10x^8}{\left(5x^2-2\right)^2}=\dfrac{25x^8-14x^6}{\left(5x^2-2\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x^6\left(25x^2-14\right)}{\left(5x^2-2\right)^2}}}$

\item $f(x)=\dfrac{x^5}{4-x^2}$ pour tout $x\in\mathbb{R}\backslash\{-2~;~2\}$\\
$f'(x)=\dfrac{5x^4\left(4-x^2\right)-(-2x)\times x^5}{\left(4-x^2\right)^2}=\dfrac{20x^4-5x^6+2x^6}{\left(4-x^2\right)^2}=\dfrac{-3x^6+20x^4}{\left(4-x^2\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x^4\left(-3x^2+20\right)}{\left(4-x^2\right)^2}}}$
\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  