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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Maths complémentaires : correction de la feuille d'exercices sur la dérivation \no 4}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x}$.\\
%Étudier les variations de $f$.
$f(x)=\dfrac{1}{2}x-2\times \dfrac{1}{x}$.\\
$f'(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{x^2}=\dfrac{x^2-4}{2x^2}=\dfrac{(x+2)(x-2)}{x^2}$.\\
$f'(x)=0$ pour $x=-2$ ou $x=2$.\\
$f'(x)$ est du signe de $(x+2)(x-2)$ donc positif à l'extérieur del'intervalle formé par les racines.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Étude des limites}}.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +}f(x)=+\infty$ (\og{}évident\fg{})

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\dfrac{x}{2}=0$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\dfrac{2}{x}=-\infty$ donc $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}f(x)=-\infty$

\item De même : $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}f(x)=+\infty$
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}}
\small 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&&0&&&2&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&&\bb&&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{-2}&\d&\pI&\bb&\h{\pI}&\d&2&\c&z\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\normalsize

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\frac{x}{2x+1}-4x$ pour $x\neq -\dfrac{1}{2}$.
\begin{enumerate}
\item %Calcule $f'(x)$.
$f'(x)=\dfrac{(2x+1)-2x}{(2x+1)^2}-4=\dfrac{1}{(2x+1)^2}-4=\dfrac{1-4(2x+1)^2}{(2x+1)^2}=\dfrac{1-\left[2(2x+1)\right]^2}{(2x+1)^2}\\
=\dfrac{\left[1-2(2x+1)\right]\left[1+2(2x+1)\right]}{(2x+1)^2}=\dfrac{(-4x-1)(4x+3)}{(2x+1)^2}$

\item %Étudier le signe de $f'(x)$.
$f'(x)$ est du signe du numérateur.\\
Celui-ci s'annule en $-\dfrac{3}{4}$ et -$\dfrac{1}{4}$.\\
Il est négatif à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines.

\item %Étudier les limtes de $f(x)$ aux bornes de l'ensemble de définition de $f$.
\textbf{\textcolor{blue}{Étude des limites :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(\dfrac{x}{2x+1}\right)=2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty}}$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow -\frac{1}{2}\\x<-\frac{1}{2}}}x=-\dfrac{1}{2}$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow -\frac{1}{2}\\x<-\frac{1}{2}}}(2x+1)=0$ avec $2x+1<0$ donc $\lim_{\substack{x\rightarrow -\frac{1}{2}\\x<-\frac{1}{2}}}\frac{x}{2x+1}=+\infty$.\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow -\frac{1}{2}\\x<-\frac{1}{2}}}(4x)=-2$.\\
On en déduit $\lim_{\substack{x\rightarrow -\frac{1}{2}\\x<-\frac{1}{2}}}f(x)=+\infty$.

\item De même : $\lim_{\substack{x\rightarrow -\frac{1}{2}\\x>-\frac{1}{2}}}\left(\frac{x}{2x+1}\right)=-\infty$ d'oùm $\lim_{\substack{x\rightarrow -\frac{1}{2}\\x<-\frac{1}{2}}}f(x)=-\infty$.
\end{enumerate}

\item %En déduire le tableau de variation de $f$.


\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}
\tiny 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{3}{4}&&&-\dfrac{1}{2}&&&-\dfrac{1}{4}&&\pI\\
\hline
f'(x)&&-&\z&+&&\bb&&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\pI}&\d&\dfrac{9}{2}&\c&\h{\pI}&\bb&\mI&\c&\h{\dfrac{1}{2}}&\d&\mI\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\normalsize

\subsection{}
On considère une entreprise qui produit du jus de fruits. Sa capacité quotidienne de production est égale à 600 \si{\litre}, et, pour x \si{\hecto\litre} de jus de fruits, le coût total de production quotidien est donné, en dizaines d’euros par \[C(x)=\dfrac{1}{2}x^3-3x^2+7x+50\text{, où }x\in[0~;~6.]\]
\begin{enumerate}[1)]
\item %Vérifier que $C(0) \neq 0$. Donner une explication concrète de ce fait.
$C(0)=50\neq 0$ : les \og{}coûts fixes\fg{} de l’entreprise (ce qu’elle doit dépenser avant de commencer à produire) s’élèvent à 500 euros.

\item 
\begin{enumerate}
\item %Quelle conjecture peut-on formuler sans calcul sur le sens de variation de $C$ sur [0~;~6] ? Expliquer.
On peut supposer que $C$ est croissante sur [0~;~6] car le coût total de production doit augmenter lorsque la production augmente.

\item %Prouver cette conjecture par le calcul.
$C'(x)=\dfrac{1}{2}\times 3x^2-6x+7=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3x^2-12x+14}{2}}}$.\\
$C'(x)$ est du signe de $3x^2-12x+14$.\\
$\Delta=(-12)^2-4\times 3\times 14=144-168<0$. Il n'y a pas de racines\\
$f'(x)$ est du signe du coefficient de $x^2$, 3, donc positif.\\
$C$ est croissante sur [0~;~6].
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\subsection{}
On s'intéresse à la même entreprise.\\
Le coût moyen de fabrication de 1 \si{\hecto\litre}, si $x$ \si{\hecto\litre} ont déjà été produits, avec $x>0$, est défini par 
\[C_M(x)=\dfrac{C(x)}{x}.\]
où $C$ est la fonction de l'exercice précédent.

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que, pour tout $x$ dans ]0~;~6], on a :
%\[C_M'(x)=\dfrac{(x-5)\left(x^2+2x+10\right)}{x^2}.\]
On a $C_M(x)=\dfrac{C(x)}{x}=\dfrac{1}{2}x^2-3x+7+\dfrac{50}{x}$\\
Alors : $C_M'(x)=\dfrac{1}{2}\times 2x-3-\dfrac{50}{x^2}=x-3-\dfrac{50}{x^2}$=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x^3-3x^2-50}{x^2}}}\textbf{}.\\
$\dfrac{(x-5)\left(x^2+2x+10\right)}{x^2}\\
=\dfrac{x^3+2x^2+10x-5x^2-10x-50}{x^2}=\dfrac{x^3-3x^2-50}{x^2}\\
=C_M'(x)$.\\
On en déduit que : $\boxed{\textcolor{red}{C_M'(x)=\dfrac{(x-5)\left(x^2+2x+10\right)}{x^2}}}$

\item %En déduire la quantité de production pour laquelle le coût moyen est minimal et préciser ce coût en euro.
$C_M'(x)$ est du signe de $(x-5)\left(x^2+2x+10\right)$ car $x^2>0$.\\
$x^2+2x+10$ a pour discriminant $\Delta=-36<0$ donc $x^2+2x+10>0$ (signe du coefficient de $x^2$).\\
$C_M'(x)$ est donc du signe de $x-5$ donc positif pour $x\geqslant 5$.\\


Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&5&&\pI\\
\hline
C_M'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
C_M(x)&\bb&\h{\pI}&\d&\dfrac{29}{2}&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
Le coût moyen est minimal pour $x=5$, donc pour une production de 5 \si{\hecto\litre}, soit 500 L.

\item %En sciences économiques, on appelle coût marginal le coût de production d’une unité supplémentaire.\\
%Ce coût, qui dépend de la quantité $x$ déjà produite, est modélisé par la fonction $C'$, dérivée de $C$.\\
%Montrer que lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal.
Le coup marginal pour une quantité produite $x$ est $C(x+1)-C(x)=\dfrac{C(x+1)-C(x)}{(x+1)-x}\approx C'(x)$.\\
$C'(5)=\dfrac{29}{2}$.\\
Lorsque le coût moyen est minimal, il est égal au coût marginal.
\end{enumerate}

\subsection{}
On pose $f(x)=\dfrac{x^3+2}{x^2+1}$, où $x\in\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a :
%\[f'(x)=\dfrac{x(x-1)\left(x^2+x+4\right)}{\left(x^2+1\right)^2}.\]
$f'(x)=\dfrac{3x^2\left(x^2+1\right)-2x\left(x^3+2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{3x^4+3x^2-2x^4-4x}{\left(x^2+1\right)^2}\\
=\dfrac{x^4+3x^2-4x}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{x\left(x^3+3x-4\right)}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{x(x-1)\left(x^2+x+4\right)}{\left(x^2+1\right)^2}$.

\item %Étudier le signe de $f'(x$.
$f'(x)$ est du signe du numérateur.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x^2+x+4>0$ pour tout $x$ car le discriminant est négatif.

\item $f'(x)$ est donc du signe de $x(x-1)$, positif à l'extérieur des racines 0 et 1.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&1&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{2}&\d&\dfrac{3}{2}&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
\item %En déduire que, pour tout $x\in[0~;~1]$, on a : \[\dfrac{3}{2}\leqslant \dfrac{x^3+2}{x^2+1}\leqslant 2.\]
D'après le tableau de variation, sur $[0~;~1]$, on a : $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}\leqslant \dfrac{x^3+2}{x^2+1}\leqslant 2}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Forme optimale d'une casserole}}

Cet exercice propose de comprendre pourquoi les casseroles ont toutes la même forme.

Pour réduire les coûts de fabrication, une entreprise doit fabriquer des casseroles cylindriques de volume $v$ \textbf{donné} en utilisant le moins de métal possible. (on ne tient pas compte du manche)

On. note $h$ la hauteur d'une casserole, $x$ le rayon du disque du fond et $S$ l'aire totale (aire latérale + aire du fond).

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $S=\pi x^2+\dfrac{2v}{x}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le fond de la casserole a une aire égale à $\pi x^2$.

\item La surface latérale a une aire égale à $2\pi x\times h$.

\item On sait que le volume est $v$ donc $\pi x^2h=v$ donc $h=\dfrac{v}{\pi x^2}$.

\item Alors : $S=\pi x^2+2\pi x\times \dfrac{v}{\pi x^2}=\boxed{\textcolor{red}{\pi x^2+\dfrac{2v}{x}}}$ après simplification.
\end{enumerate}

\item %Étudier les variations de la fonction $f:x\mapsto \pi x^2+\dfrac{2v}{x}$ sur $]0~;~+\infty[$.
$f'(x)=2\pi x+2v\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) =2\pi x-\dfrac{2v}{x^2}=\boxed{\textcolor{red}{2\left(\dfrac{\pi x^3-v}{x^2}\right)}}$ qui est du signe de $\pi x^3-v$.\\
$\pi x^3-v\geqslant 0\Leftrightarrow x^3\geqslant \dfrac{v}{\pi} $.\\
On sait que la fonction cube est croissante, donc : $x^3\geqslant \dfrac{v}{\pi} \Leftrightarrow  x\geqslant \sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}$.\\
On pose : $\alpha=\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}$
Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\bb&0&&\alpha=\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}&&\pI\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
f(x)&\bb&\h{\pI}&\d&f(\alpha)&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire, pour un volume $v$ fixé, la valeur de $x$ pour laquelle le coût de fabrication d' une casserole est le plus bas.\\
Le volume de la casserole est bien minimum pour cette valeur $\alpha$.

\item %Montrer que pour cette valeur $\alpha$ du rayon, la hauteur de la casserole est aussi $\alpha$.
Pour $x=\alpha$, la hauteur de la casserole est $h=\dfrac{v}{\pi \alpha^2}=\dfrac{v\alpha}{\pi \alpha^3}=\dfrac{v\alpha}{\pi\times \frac{v}{\pi}}=\boxed{\textcolor{red}{\alpha}}$\\
La hauteur de la casserole est égale au rayon de sa base.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  