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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Maths complémentaires : correction des exercices sur les suites aithmético-géométriques}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Bac ES Amérique du Nord juin 2019}}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
	\item En février, un mois se sera écoulé, donc $n=1$. $u_1=0,9u_0+42=0,9\times 280+42=\boxed{\textcolor{red}{294}}$
	\item Pour tout entier naturel $n$,	on a $v_n=u_n-420$
	\begin{enumerate}
		\item $\forall n\in \mathbb{N}$, $v_{n+1}=u_{n+1}-420=0,9u_n+42-420=0,9u_n-378=0,9\left(u_n-\dfrac{378}{0,9}\right)=0,9(v_n-420)=\boxed{\textcolor{red}{0,9v_n}}$.
		
	La suite $\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $q=0,9$ et de premier terme\\$v_0=u_0-420=\boxed{\textcolor{red}{-140}}$
		\item $\forall n\in \mathbb{N}$, $v_n = v_0\times q^n = -140\times0,9^n$. De plus $u_n =v_n + 420$ donc $u_n =\boxed{\textcolor{red}{ -140\times 0,9^n + 420}}$.
		\end{enumerate}
	\item La raison de la suite $(v_n)$ appartient à l'intervalle $]-1;1[$, donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim\limits_{n \to +\infty}v_n=0}}$. 
	
Or $\forall n\in \mathbb{N}$, $u_n=v_n+420$. Donc $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=420$.
	
Cela signifie qu'au bout d'un certain nombre de mois, le nombre de véhicules loués va se rapprocher de 420.
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item L'algorithme de seuil complété :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|} \hline 
$N\gets 0$\\ 
$U\gets 280$\\ 
Tant que $U\leqslant 380$\\ 
\hspace{1cm} $N\gets N+1$\\ 
\hspace{1cm} $U\gets0,9\times U+42$\\ 
Fin Tant que\\ 
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
		\item À l'aide de la calculatrice, on trouve : $\boxed{\textcolor{red}{u_{11}\approx 376,1}}$ et  $\boxed{\textcolor{red}{u_{12}\approx 380,5}}$.
		
La variable $N$ contient la valeur 12 à la fin de l'exécution de l'algorithme.
		\item C'est donc en janvier 2020 (12 mois après janvier 2019) que la commune devra augmenter le nombre de voitures.
	\end{enumerate}
%	\item $ -140\times 0,9^n+420>380 \iff -140\times 0,9^n>-40 \iff 0,9^n< \dfrac{2}{7}\iff n\ln 0,9<\ln \dfrac{2}{7} \iff n> \dfrac{\ln \dfrac{2}{7}}{\ln 0,9}$
	
%et $\dfrac{\ln \dfrac{2}{7}}{\ln 0,9}\approx 11,89$ donc $n\geqslant 12$. On retrouve bien la valeur obtenue à la question 3. b. avec l'algorithme. 
C'est donc en janvier 2020 que la commune devra augmenter le nombre de voitures.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry ES avril 2014}}
%Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.
% 
%Le centre ouvre ses portes le 1\up{er} janvier 2013 avec 115 oiseaux.
% 
%Les spécialistes prévoient que 40\,\% des oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier d'une année restent présents le 1\ier{} janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.
% 
%On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier des années suivantes. 
%
%La situation peut être modélisée par une suite $\left(u_{n}\right)$ admettant pour premier terme $u_{0} = 115$, le terme $u_{n}$ donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année $2013 + n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ? 
On sait que $u_0=115$; sur ces 115 oiseaux, $40\,\%$ restent présents ce qui en fait $115\times 0,40 = 46$. De plus, 120 nouveaux oiseaux sont accueillis en 2013 donc il y en aura au 1\ier{} janvier 2014: $u_1=46+120=166$.

De même au 1\ier{} janvier de l'année 2015, il y en aura $u_2=166\times 0,4 + 120 \approx 186$.

Il faut donner les résultats à l'unité près puisqu'il s'agit d'un nombre d'oiseaux.


\item% Les spécialistes déterminent le nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\ier{} janvier de chaque année à l'aide d'un algorithme. 

	\begin{enumerate}

		\item Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l'\textbf{algorithme 3} permet d'estimer le nombre d'oiseaux présents au 1\up{er} janvier de l'année $2013 + n$.
		 
%Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu.

\medskip
\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.1cm}|X|p{0.1cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\ 
$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\ 
$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
\textbf{Début}&&\textbf{Début}&&\textbf{Début}\\ 
Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$\\
Affecter 115 à $U$&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&Affecter 115 à $U$\\ 
Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&\hspace{0.25cm}| Affecter 115 à $U$&&Pour i de 1 à N faire \\ 
\hspace{0.25cm}| Affecter $0,6 \times U + 120$ à $U$&&\hspace{0.25cm}| Affecter $0,4 \times U + 115$ à $U$&&\hspace{0.25cm}| Affecter $0,4 \times U + 120$ à $U$\\
Fin Pour&&Fin Pour&&Fin Pour\\ 
Afficher $U$&&Afficher $U$&&Afficher $U$\\ 
{\bf Fin}&&{\bf Fin}&&{\bf Fin}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 1}}&\multicolumn{1}{p{0.15cm}}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 2}}&\multicolumn{1}{p{0.15cm}}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 3}}\\
\end{tabularx}
\end{footnotesize}

\smallskip

Dans ces trois algorithmes, la variable $U$ contient le nombre d'oiseaux recueillis l'année $2013 + i$, où $i$ est un nombre entier compris entre 1 et $N$.

Dans l'algorithme 1, on multiplie le nombre d'oiseaux de l'année $2013+n$ par $0,6$ ce qui revient à en prendre $60\,\%$ alors qu'il faut en prendre $40\,\%$.

Dans l'algorithme 2, on multiplie le nombre d'oiseaux par le bon coefficient $0,4$ mais on ajoute chaque année 115 alors qu'il faut ajouter 120 oiseaux, comme le dit le texte.

De plus, dans cet algorithme, il ne faudrait pas mettre l'instruction "Affecter 115 à $U$" dans la boucle \textsc{pour}, mais avant d'y entrer. 

		\item% Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
On peut dire que, pour tout entier naturel $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=0,4\,u_{n}+120}}$ avec $u_0=115$.


	\end{enumerate} 

\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 200$. 

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,4$. Préciser $v_{0}$. 
Pour tout $n$, $v_n=u_n-200$ donc $u_n=v_n+200$.

$v_{n+1}=u_{n+1}-200$; or $u_{n+1}= 0,4\,u_n+120$, donc\\
$v_{n+1}=0,4\,u_n+120-200 = 0,4\,(v_n+200) -80 = 0,4\,v_n+80-80 = \boxed{\textcolor{red}{0,4\,v_n}}$

$v_0=u_0-200 = 115-200 = -85$

Donc la suite $(v_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=0,4}}$ et de premier terme $\boxed{\textcolor{red}{v_0=-85}}$.


		\item% Exprimer, pour tout entier naturel $n, \:v_{n}$ en fonction de $n$. 
On sait que l'expression  d'une suite géométrique $(v_n)$ de premier terme $v_0$ et de raison $q$ est: $v_n=v_0\times q^n$ pour tout entier $n$.

Donc $\boxed{\textcolor{red}{v_n=-85\times 0,4^{n}}}$ pour tout entier $n$.


		\item% En déduire que pour tout entier naturel $n, u_{n} = 200 - 85 \times 0,4^n$. 
On a vu que, pour tout entier $n$, $u_n=v_n+200$; or $v_n = -85\times 0,4^n$, donc pour tout entier naturel $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u_n=200-85\times 0,4^n}}$.		
		
		\item% La capacité d'accueil du centre est de $200$~oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse.
L'estimation du nombre d'oiseaux  l'année $2013+n$ est $\boxed{\textcolor{red}{200-85\times 0,4^n}}$.

Le nombre $0,4^n$ est positif donc le nombre $200-85\times 0,4^n$ est toujours inférieur à 200.

Une capacité d'accueil de 200 oiseaux est donc \textbf{\textcolor{red}{suffisante}} pour ce centre.

		
	\end{enumerate} 

\item% Chaque année, le centre touche une subvention de $20$~euros par oiseau présent au 1\up{er} janvier.
 
%Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1\up{er} janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. 

On cherche à calculer le nombre total d'oiseaux présents dans le centre entre le 1\ier{} janvier 2013 et le 31 décembre 2018, autrement dit pour $n$ entier entre 0 et 5 puisque $2018=2013+5$; ce nombre est $u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5$.

On connaît $u_0$, $u_1$ et $u_2$; il reste à calculer $u_3$, $u_4$ et $u_5$:

\hspace*{2cm} $u_3=0,4\times u_2+120 = 0,4\times 186 + 120 \approx \boxed{\textcolor{red}{195}}$

\hspace*{2cm} $u_4=0,4\times u_3+120 = 0,4\times 194 + 120 \approx \boxed{\textcolor{red}{198}}$

\hspace*{2cm} $u_5=0,4\times u_4+120 = 0,4\times 198 + 120 \approx \boxed{\textcolor{red}{199}}$

$u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5 \approx 115+166+186+194+198+199 = \boxed{\textcolor{red}{\numprint{1059}}}$

Entre le 1\ier{} janvier 2013 et le 31 décembre 2018, il y aura $\numprint{1058}$ oiseaux présents au centre; chacun d'eux rapportant 20\,\euro{}, le montant total de la subvention touchée sera de $\numprint{1058} \times 20 = \numprint{21160}$ euros.

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Autre méthode}} :\\
$u_0+u_1+u_2+U_3+u_5+U_5=\left(200-85\times 0,4^0\right)+\left(200-85\times 0,4^1\right)+\left(200-85\times 0,4^2\right)+\left(200-85\times 0,4^3\right)+\left(200-85\times 0,4^4\right)+\left(200-85\times 0,4^5\right)\\
=6\times 200-85\left(0,4^0+0,4^1+\cdots+0,4^5\right)\text{ (somme de termes consécutifs d'une suite géométrique)}\\
=\numprint{1300}-85\times \dfrac{1-0,4^6}{1-0,4}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{1059}}}$
\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  