<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les probabilitÃ©s conditionnelles et sur l'indÃ©pendance}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
$A$ et $B$ sont deux Ã©vÃ¨nements d'une mÃªme expÃ©rience alÃ©atoire. Dans chacun des cas suivants, calculer $p(A)$. 

\begin{enumerate}
\item $p(A \cap B)=\dfrac{1}{3}$ et $p\left(A \cap \overline{B}\right) =\dfrac{1}{4}$.

\item $p_B(A)=\dfrac{1}{2}$, $p_{\overline{B}}(A)= \dfrac{1}{6}$ et $p(B)=\dfrac{2}{5}$

\item $p_A (B) = 0,3$ ,$p_B(A) =0,1$ et $p(B) = 0,6$. 

\end{enumerate}


\subsection{}
$A$ et $B$ sont deux Ã©vÃ©nements d'une mÃªme expÃ©rience alÃ©atoire tels que $p(A)=0,3$, $p(B)=0,7$ et $p(A \cap B)=0,2$
\begin{enumerate}
\item $A$ et $B$ sont-ils indÃ©pendants ?

\item Calculer $p_A(B)$.
\end{enumerate}


\subsection{}

On lance successivement deux dÃ©s Ã©quilibrÃ©s numÃ©rotÃ©s de 1 Ã&nbsp; 6. 

\begin{enumerate}
\item Est-ce une succession de deux Ã©preuves indÃ©pendantes ?

\item Quelle est la probabilitÃ© d'obtenir deux 6 lors des deux lancers? 

\end{enumerate}

\subsection{}
Une alarme incendie possÃ¨de les propriÃ©tÃ©s suivantes :\\
en cas de dÃ©tection de fumÃ©e, elle se dÃ©clenche avec une probabilitÃ© Ã©gale Ã&nbsp; 0,99, mais elle se dÃ©clenche Ã©galement en l'absence de fumÃ©e avec une probabilitÃ© Ã©gale Ã&nbsp; 0,02.\\
On suppose que la probabilitÃ© d'incendie est Ã©gale Ã&nbsp; 0,001. 

\begin{enumerate}
\item ReprÃ©senter cette expÃ©rience alÃ©atoire Ã&nbsp; l'aide d'un arbre pondÃ©rÃ©.

\item Calculer la probabilitÃ© de l'Ã©vÃ¨nement suivant : \og{}Un incendie se dÃ©clare et l'alarme se dÃ©clenche\fg{}. 

\end{enumerate}

\subsection{}
Une urne contient quatre boules vertes et cinq boules jaunes indiscernables au toucher.\\
On effectue deux tirages successifs d'une boule sans remise.\\ 
Soient $A$ l'Ã©vÃ¨nement \og{}La premiÃ¨re boule tirÃ©e est verte\fg{} et $B$ l'Ã©vÃ¨nement  \og{}La deuxiÃ¨me boule tirÃ©e est jaune\fg{}. 

\begin{enumerate}
\item Calculer $p(A)$ et $p_A(B)$.

\item En dÃ©duire $p(A \cap B)$. 

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2015 (extrait)}}
Un circuit Ã©lectronique est composÃ© de deux composants identiques numÃ©rotÃ©s 1 et 2.
On note $D_1$ l'Ã©vÃ¨nement \og le composant 1 est dÃ©faillant avant un an \fg{} et on note $D_2$ l'Ã©vÃ¨nement \og le composant 2 est dÃ©faillant avant un an \fg.

On suppose que les deux Ã©vÃ¨nements $D_1$ et $D_2$ sont indÃ©pendants et que 

$P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$.

Deux montages possibles sont envisagÃ©s, prÃ©sentÃ©s ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(10,3.4)
%\psgrid
\psline(0,2)(1,2)(1,2.75)(1.5,2.75)\psframe(1.5,2.25)(3,3.25)\psline(3,2.75)(3.5,2.75)(3.5,2)(4.5,2)
\psline(0,2)(1,2)(1,1.25)(1.5,1.25)\psframe(1.5,0.75)(3,1.75)\psline(3,1.25)(3.5,1.25)(3.5,2)
\rput(2.25,2.75){1} \rput(2.25,1.25){2}
\rput(2.5,0.2){Circuit en parallÃ¨le A} \rput(7.5,0.2){ Circuit en sÃ©rie B}
\psline(5,2)(6,2)\psframe(6,1.5)(7.5,2.5)\psline(7.5,2)(8.5,2)\psframe(8.5,1.5)(10,2.5)
\rput(6.75,2){1}\rput(9.25,2){2}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsque les deux composants sont montÃ©s \og en parallÃ¨le \fg, le circuit A est dÃ©faillant
uniquement si les deux composants sont dÃ©faillants en mÃªme temps. Calculer la probabilitÃ©
que le circuit A soit dÃ©faillant avant un an.
\item Lorsque les deux composants sont montÃ©s \og en sÃ©rie \fg, le circuit B est dÃ©faillant dÃ¨s que l'un
au moins des deux composants est dÃ©faillant. Calculer la probabilitÃ© que le circuit B soit
dÃ©faillant avant un an.
\end{enumerate}

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2013 (extrait)}}
Dans cet exercice, les probabilitÃ©s seront arrondies au centiÃ¨me. 

\bigskip


\medskip
 
Un grossiste achÃ¨te des boÃ®tes de thÃ© vert chez deux fournisseurs. Il achÃ¨te 80\,\% de ses boÃ®tes chez le fournisseur A et 20\,\% chez le fournisseur B.

\medskip
 
10\,\% des boÃ®tes provenant du fournisseur A prÃ©sentent des traces de pesticides et 20\,\% de celles provenant du fournisseur B prÃ©sentent aussi des traces de pesticides.
 
On prÃ©lÃ¨ve au hasard une boÃ®te du stock du grossiste et on considÃ¨re les Ã©vÃ¨nements suivants : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item Ã©vÃ¨nement A : \og la boÃ®te provient du fournisseur A \fg{} ; 
\item Ã©vÃ¨nement B : \og la boÃ®te provient du fournisseur B \fg{} ; 
\item Ã©vÃ¨nement S : \og la boÃ®te prÃ©sente des traces de pesticides \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire l'Ã©noncÃ© sous forme d'un arbre pondÃ©rÃ©. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilitÃ© de l'Ã©vÃ¨nement $B \cap \overline{S}$ ? 
		\item Justifier que la probabilitÃ© que la boÃ®te prÃ©levÃ©e ne prÃ©sente aucune trace de pesticides est Ã©gale Ã&nbsp; $0,88$.
	\end{enumerate} 
\item On constate que la boÃ®te prÃ©levÃ©e prÃ©sente des traces de pesticides. 

Quelle est la probabilitÃ© que cette boÃ®te provienne du fournisseur B ?
\end{enumerate}





\subsection{\textcolor{blue}{Liban juin 2018}}
Un jeu de hasard sur ordinateur est paramÃ©trÃ© de la faÃ§on suivante :

\medskip

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  Si le joueur gagne une partie, la probabilitÃ© qu'il gagne la partie suivante est 
$\dfrac{1}{4}$ ;
\item[$\bullet~~$] Si le joueur perd une partie, la probabilitÃ© qu'il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$ ;
\item[$\bullet~~$] La probabilitÃ© de gagner la premiÃ¨re partie est $\dfrac{1}{4}$ .
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l'Ã©vÃ¨nement \og la $n\up{e}$ partie est gagnÃ©e \fg{} et on note $p_n$ la probabilitÃ© de cet Ã©vÃ¨nement. On a donc $p_1 = \dfrac{1}{4}$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_2 = \dfrac{7}{16}$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = - \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{2}$.
\item  On obtient ainsi les premiÃ¨res valeurs de $p_n$ :


\begin{center}
\scriptsize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{&gt;{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$n$ &amp;1 &amp;2 &amp;3 &amp;4 &amp;5 &amp;6 &amp;7\\ \hline
$p_n$&amp; 1 &amp;\np{0,4375} &amp;\np{0,3906} &amp;\np{0,4023} &amp;\np{0,3994} &amp;\np{0,4001} &amp;\np{0,3999}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\normalsize
Quelle conjecture peut -on Ã©mettre ?
\item  On dÃ©finit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = p_n - \dfrac{2}{5}$.
	\begin{enumerate}
		\item DÃ©montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite gÃ©omÃ©trique dont on prÃ©cisera la raison.
		\item En dÃ©duire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n = \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{20}\left(- \dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
		\item La suite $\left(p_n\right)$ converge-t-elle ? InterprÃ©ter ce rÃ©sultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>