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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Suites : feuille d'exercices (2)\\ (suites aritmético-géométriques et limites)}}\end{center}

\subsection{}%https://www.jai20enmaths.com/terminale-option-maths-complementaires/suites-et-limites/suites-arithmetico-geometriques
Soit  $\left(u_n\right)$  la suite définie par  $u_ 0=8$  et pour tout entier naturel  $n$,  $u_{n+1}=0,85u_n+1,8$.\\
Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie  $v_n=u_ n-12$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite  $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison  0,85.\\
Préciser  $v_0$

\item Exprimer, pour tout entier naturel  $n$,  $v_n$ en fonction de  $n$. 

\item En déduire que pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u_n=(-4)\times 0,85^n+12}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Bac ES Pondichéry avril 2014}}
Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.
 
Le centre ouvre ses portes le 1\up{er} janvier 2013 avec 115 oiseaux.
 
Les spécialistes prévoient que 40\,\% des oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier d'une année restent présents le 1\up{er} janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.
 
On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier des années suivantes. 

La situation peut être modélisée par une suite $\left(u_{n}\right)$ admettant pour premier terme $u_{0} = 115$, le terme $u_{n}$ donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année $2013 + n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ? 
\item Les spécialistes déterminent le nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier de chaque année à l'aide d'un algorithme. 
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l'\textbf{algorithme 3} permet d'estimer le nombre d'oiseaux présents au 1\up{er} janvier de l'année $2013 + n$.
		 
Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu.

\medskip
\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.1cm}|X|p{0.1cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\ 
$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\ 
$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
\textbf{Début}&&\textbf{Début}&&\textbf{Début}\\ 
Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$\\
Affecter 115 à $U$&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&Affecter 115 à $U$\\ 
Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&\hspace{0.25cm}| Affecter 115 à $U$&&Pour i de 1 à N faire \\ 
\hspace{0.25cm}| Affecter $0,6 \times U + 120$ à $U$&&\hspace{0.25cm}| Affecter $0,4 \times U + 115$ à $U$&&\hspace{0.25cm}| Affecter $0,4 \times U + 120$ à $U$\\
Fin Pour&&Fin Pour&&Fin Pour\\ 
Afficher $U$&&Afficher $U$&&Afficher $U$\\ 
{\bf Fin}&&{\bf Fin}&&{\bf Fin}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 1}}&\multicolumn{1}{p{0.15cm}}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 2}}&\multicolumn{1}{p{0.15cm}}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 3}}\\
\end{tabularx}
\end{footnotesize}
\medskip
 
		\item Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 200$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,4$. Préciser $v_{0}$. 
		\item Exprimer, pour tout entier naturel $n, \:v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n, u_{n} = 200 - 85 \times 0,4^n$. 
		\item La capacité d'accueil du centre est de $200$~oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\item Chaque année, le centre touche une subvention de $20$~euros par oiseau présent au 1\up{er} janvier.
 
Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1\up{er} janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. 
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Bac ES Liban 2014}}
La médiathèque d'une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2013 et a enregistré \numprint{2500} inscriptions en 2013. 

Elle estime que, chaque année, 80\,\% des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l'année suivante et qu'il y aura 400 nouveaux adhérents. 

On modélise cette situation par une suite numérique $\left(a_n\right)$. 

On note $a_0 = \numprint{2500}$ le nombre d'inscrits à la médiathèque en 2013 et $a_n$ représente le nombre d'inscrits à la médiathèque pendant l'année $2013 + n$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a_{1}$ et $a_{2}$.
		\item  Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a la relation $a_{n+1} = 0,8 \times  a_{n} + 400$. 
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout entier naturel $n, \: v_{n} = a_{n} - \numprint{2000}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_{0} = 500$ et de raison $q = 0,8$. 
		\item En déduire que le terme général de la suite $\left(a_{n}\right)$ est $a_{n} = 500 \times 0,8^n + \numprint{2000}$. 
		\item Calculer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. 
		\item Que peut-on en déduire pour le nombre d'adhérents à la médiathèque si le schéma d'inscription reste le même au cours des années à venir ? 
	\end{enumerate}
\item On propose l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
Variables :& $N$ entier\\ 
& $A$ réel\\
Initialisation : &$N$ prend la valeur 0\\ 
&$A$ prend la valeur \numprint{2500}\\ 
Traitement :& Tant que $A - \numprint{2000} > 50$\\
&\begin{tabular}{l l} 
\hspace{0.4cm}&$A$ prend la valeur $A\times 0,8 + 400$\\ \hspace{0.4cm}&$N$ prend la valeur $N + 1$
\end{tabular}\\ 
&Fin du Tant que\\ 
Sortie :& Afficher $N$.\\\hline
\end{tabular} 
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme. 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme et interpréter la réponse dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}





\label{fin}
\end{document}  