<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur la loi binomiale}}\end{center}

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\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Bac Antilles-Guyane ES septembre 2015}}
Un supermarchÃ© dispose d'un stock de pommes. On sait que 40\,\% des pommes proviennent d'un fournisseur A et le reste d'un fournisseur B. 

Il a Ã©tÃ© constatÃ© que 85\,\% des pommes provenant du fournisseur A sont commercialisables. La proportion de pommes commercialisables est de 95\,\% pour le fournisseur B. 

Le responsable des achats prend au hasard une pomme dans le stock. On considÃ¨re les Ã©vÃ¨nements suivants : 

A : \og La pomme provient du fournisseur A \fg. 

B : \og La pomme provient du fournisseur B \fg. 

C : \og La pomme est commercialisable \fg.\index{probabilitÃ©s} 

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{PARTIE A}}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondÃ©rÃ© traduisant cette situation. \index{arbre}
\item Montrer que la probabilitÃ© que la pomme ne soit pas commercialisable est 0,09. 
\item La pomme choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il y a deux fois plus de chance qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison ? 
\end{enumerate}

Pour les parties B et C, on admet que la proportion de pommes non commercialisables est 0,09 et, quand nÃ©cessaire, on arrondira les rÃ©sultats au milliÃ¨me. 

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{PARTIE B}}

\medskip  

On prend au hasard 15 pommes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prÃ©lÃ¨vement Ã&nbsp; un tirage alÃ©atoire avec remise. \index{loi binomiale}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilitÃ© que les 15 pommes soient toutes commercialisables ? 
\item Quelle est la probabilitÃ© qu'au moins 14 pommes soient commercialisables ? 
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{\textcolor{blue}{Bac AmÃ©rique du Nord juin 2024}}
Un jeu vidÃ©o rÃ©compense par un objet tirÃ© au sort les joueurs ayant remportÃ© un dÃ©fi. L'objet tirÃ© peut Ãªtre \og commun \fg{} ou \og rare \fg. Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des Ã©pÃ©es et des boucliers.

Les concepteurs du jeu vidÃ©o ont prÃ©vu que :

\begin{itemize}
\item la probabilitÃ© de tirer un objet rare est de 7\,\% ;
\item si on tire un objet rare, la probabilitÃ© que ce soit une Ã©pÃ©e est de 80\,\% ;
\item si on tire un objet commun, la probabilitÃ© que ce soit une Ã©pÃ©e est de 40\,\%.
\end{itemize}

\emph{Les parties \textbf{\rm A} et \textbf{\rm B} sont indÃ©pendantes.}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

Un joueur vient de remporter un dÃ©fi et tire au sort un objet. On note :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $R$ l'Ã©vÃ¨nement \og le joueur tire un objet rare\fg{} ;
\item $E$ l'Ã©vÃ¨nement \og le joueur tire une Ã©pÃ©e \fg{} ;
\item $\overline{R}$ et $\overline{E}$ les Ã©vÃ¨nements contraires des Ã©vÃ¨nements $R$ et $E$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dresser un arbre pondÃ©rÃ© modÃ©lisant la situation, puis calculer $P(R \cap E)$.
\item Calculer la probabilitÃ© de tirer une Ã©pÃ©e.
\item Le joueur a tirÃ© une Ã©pÃ©e. DÃ©terminer la probabilitÃ© que ce soit un objet rare. Arrondir
le rÃ©sultat au milliÃ¨me.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

Un joueur remporte $30$ dÃ©fis.

On note $X$ la variable alÃ©atoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient aprÃ¨s avoir remportÃ© $30$ dÃ©fis. Les tirages successifs sont considÃ©rÃ©s comme indÃ©pendants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item DÃ©terminer, en justifiant, la loi de probabilitÃ© suivie par la variable alÃ©atoire $X$. PrÃ©ciser ses paramÃ¨tres, ainsi que son espÃ©rance.
\item DÃ©terminer $P(X &lt; 6)$. Arrondir le rÃ©sultat au milliÃ¨me.
\item DÃ©terminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X \geqslant k) \geqslant 0,5$. InterprÃ©ter le rÃ©sultat dans le contexte de l'exercice.
\item Les dÃ©veloppeurs du jeu vidÃ©o veulent proposer aux joueurs d'acheter un \og ticket
d'or \fg{} qui permet de tirer $N$ objets. La probabilitÃ© de tirer un objet rare reste de 7\,\%.

Les dÃ©veloppeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilitÃ© qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supÃ©rieure ou Ã©gale Ã&nbsp; $0,95$.

DÃ©terminer le nombre minimum d'objets Ã&nbsp; tirer pour atteindre cet objectif. On veillera Ã&nbsp; dÃ©tailler la dÃ©marche mise en Å“uvre.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Bac AmÃ©rique du Nord mai 2024}}
Les donnÃ©es publiÃ©es le 1\up{er } mars 2023 par le ministÃ¨re de la transition Ã©cologique sur les immatriculations de vÃ©hicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

	\begin{itemize}
		\item $22,86\,\%$ des vÃ©hicules Ã©taient des vÃ©hicules neufs ;
		\item $8,08\,\%$ des vÃ©hicules neufs Ã©taient des hybrides rechargeables;
		\item $1,27\,\%$ des vÃ©hicules d'occasion (c'est-Ã&nbsp;-dire qui ne sont pas neufs) Ã©taient des hybrides rechargeables.
	\end{itemize}

	\emph{Dans tout l'exercice, les probabilitÃ©s seront arrondies au dix-milliÃ¨me.}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

Dans cette partie, on considÃ¨re un vÃ©hicule particulier immatriculÃ© en France en 2022.

On note :

\begin{itemize}
	\item $N$ l'Ã©vÃ¨nement \og le vÃ©hicule est neuf \fg{};
	\item $R$ l'Ã©vÃ¨nement \og le vÃ©hicule est hybride rechargeable\fg{};
	\item $\overline{N}$ et $\overline{R}$ les Ã©vÃ¨nements contraires des Ã©vÃ¨nements contraires de $N$ et $R$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item ReprÃ©senter la situation par un arbre pondÃ©rÃ©.

\item Calculer la probabilitÃ© que ce vÃ©hicule soit neuf et hybride rechargeable.

\item DÃ©montrer que la valeur arrondie au dix-milliÃ¨me de la probabilitÃ© que ce vÃ©hicule soit hybride rechargeable est \np{0,0283}.

\item Calculer la probabilitÃ© que ce vÃ©hicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

Dans cette partie, on choisit $500$ vÃ©hicules particuliers hybrides rechargeables immatriculÃ©s en France en 2022.

Dans la suite, on admettra que la probabilitÃ© qu'un tel vÃ©hicule soit neuf est Ã©gale Ã&nbsp; $0,65$.

On assimile le choix de ces 500 vÃ©hicules Ã&nbsp; un tirage alÃ©atoire avec remise.

On appelle $X$ la variable alÃ©atoire reprÃ©sentant le nombre de vÃ©hicules neufs parmi les $500$ vÃ©hicules choisis.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable alÃ©atoire $X$ suit une loi binomiale. PrÃ©ciser la valeur de ses paramÃ¨tres.
\item DÃ©terminer la probabilitÃ© qu'exactement $325$ de ces vÃ©hicules soient neufs.
\item DÃ©terminer la probabilitÃ© $p(X \geq 325)$ puis interprÃ©ter le rÃ©sultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}


\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}
On choisit dÃ©sormais $n$ vÃ©hicules particuliers hybrides rechargeables immatriculÃ©s en France en 2022, oÃ¹ $n$ dÃ©signe un entier naturel strictement positif.

On rappelle que la probabilitÃ© qu'un tel vÃ©hicule soit neuf est Ã©gale Ã&nbsp; $0,65$.

On assimile le choix de ces $n$ vÃ©hicules Ã&nbsp; un tirage alÃ©atoire avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilitÃ© $p_{n}$ que tous ces vÃ©hicules soient d'occasion.

\item On note $q_{n}$ la probabilitÃ© qu'au moins un de ces vÃ©hicules soit neuf. En rÃ©solvant une inÃ©quation, dÃ©terminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_{n} \geqslant \np{0,9999}$.
\end{enumerate}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  x	</pre></body></html>