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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices sur les équations différentielles}}\end{center}

%\tableofcontents



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\section*{\textcolor{red}{Équations différentielles}}

\subsection{}
Dans chacun des cas, vérifier que la fonction $f$ donnée est solution de l'équation différentielle $(E)$ donnée :
\begin{enumerate}[a)]
\item $f : x\mapsto 3x^2-2x+1$ et $(E)~:~y'=6x-2$

\item $g : x\mapsto \ln(x)+2$ et $(E)~:~y'=\dfrac{1}{x}$

\item $h : x\mapsto \mathrm{e}^{x}+x$ et $(E)~:~y'=\mathrm{e}^{x}+1$
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans chaque cas, résoudre les équations différentielles suivantes :
\begin{enumerate}[a)]
\item $y'=3x^2-5$

\item $y'=\mathrm{e}^{x}+3$

\item $y'=-3\mathrm{e}^{-3x}+7$
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans chaque cas, résoudre les équations différentielles suivantes :
\begin{enumerate}[a)]
\item $y'=x^2-5x+3$ et $y(0)=2$

\item $y'=\mathrm{e}^{x}+1$ et $y(0)=3$

\item $y'=\mathrm{e}^{3x+2}$ et $y(0)=1$
\end{enumerate}

\section*{\textcolor{red}{Primitives}}

\subsection{}
Trouver dans chaque cas, toutes les primitives de la fonction proposée sur l'intervalle donné :
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=6$ sur $\mathbb{R}$

\item $f(x)=5x+3$ sur $\mathbb{R}$

\item $h(x)=3\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$

\item $k(x)=\dfrac{1}{x}$ sur $]0~;~+\infty[$
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \\
$f(x)=4x^3-2x^2+12x-5$.\\
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$.

\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{2}{x^3}-\dfrac{5}{x^2}$.\\
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère l'équation différentielle $(E)~:~y'=\ln(x)$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par : \\
$F(x)=x\ln(x)-x$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.

\item En déduire toutes les primitives de $f : x\mapsto \ln(x)$ sur $]0~;~+\infty[$.

\item Déterminer l'unique primitive $G$ de $f$ vérifiant $G(1)=2$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans chaque cas, vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle donné :
\begin{enumerate}[a)]
\item $F(x)=x^4-2x^3+5x^2-7x+2$ et $f(x)=4x^3-6x^2+10x-7$ sur $\mathbb{R}$.

\item $F(x)=x^2+2\sqrt{x}$ et $f(x)=2x+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ sur $]0~;~+\infty[$.

\item $F(x)=\dfrac{3x-2}{5x+7}$ et $f(x)=\dfrac{31}{(5x+7)^2}$ sur $\left]-\dfrac{7}{5}~;~+\infty\right[$

\item $F(x)=\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x-5}$ et $f(x)=\mathrm{e}^{3x-5}$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{VRAI OU FAUX}}
Pour chacune des propositions suivantes, indiqué si elle est vrai ou fausse et justifier la réponse?.
\begin{enumerate}[a)]
\item La fonction carré est une primitive de la fonction $x\mapsto 2x$.

\item La fonction carré est une primitive de la fonction $x\mapsto 2x+1$.

\item La fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ admet pour primitive sur $]0~;~+\infty[$ la fonction $x : x\mapsto -\dfrac{1}{x^2}$.

\item La fonction $x\mapsto x^3-x^2-\mathrm{e}^{-x} $ est la primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x\mapsto 3x^2-éx+\mathrm{e}^{-x} $ qui vaut -1 en 0.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$  par \\
$f(x)=\sqrt{x}$.\\
Montrer que la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $F(x)=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.

\section*{\textcolor{red}{Équations différentielles $y'=ay+b$}}


\subsection{}
Résoudre les équations différentielles suivantes :
\begin{enumerate}[a)]
\item $y'-4y=0$

\item $5y'+4y=0$

\item $y'=-4y+3$

\item $y'=\dfrac{1}{3}y-1$
\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre les équations différentielles suivantes en tenant compte de la condition initiale proposée :
\begin{enumerate}[a)]
\item $y'=3y$ et $y(0)=1$

\item $y'=-2y$ et $y(0)=-1$

\item $y'-2y-1=0$ et $y(0)=1$
\end{enumerate}



\end{multicols}






\label{fin}
\end{document}  