<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Mathematiques complÃ©mentaires : contrÃ´le sur la dÃ©rivation et les probabilitÃ©s }}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}


\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
$A$ et $B$ sont deux Ã©vÃ©nements~;~on sait que :\\
 $p(A)=\dfrac{3}{7}$, $p(B)=\dfrac{3}{20}$ et $p(A \cup B)=\dfrac{4}{7}$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Calculer $p(A \cap B)$.

\item $A$ et $B$ sont-ils indÃ©pendants ?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Jade se rend Ã&nbsp; son travail Ã&nbsp; pied ou en voiture. Dans sa rÃ©gion, il pleut un jour sur quatre.\\
Lorsquâ€™il pleut, Jade se rend en voiture Ã&nbsp; son travail dans 80\:\% des cas. Lorsquâ€™il ne pleut pas, elle se rend Ã&nbsp; pied Ã&nbsp; son travail dans 60\:\% des cas.\\

\begin{enumerate}[1)]

\item ReprÃ©senter la situation par un arbre pondÃ©rÃ©.

\item Calculer $p(V)$.

\item Les Ã©vÃ©nements $V$ \og{}Jade prend sa voiture\fg{} et $P$ \og{}il pleut un jour donnÃ©\fg{} sont-ils indÃ©pendants ?

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4,5 points)}}%https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/math1spe/Ctrle_devoir_21_22/08_ctrle_21_04_2022.pdf
Soit un paquet de cartes contenant un mÃªme nombre de cartes de \og{}Sciences\fg{} et dâ€™\og{}Ã‰conomie\fg{}.\\
Une question liÃ©e Ã&nbsp; un de ces deux thÃ¨mes figure sur chaque carte.\\
Les cartes sont mÃ©langÃ©es et on en tire une au hasard. Ensuite, on rÃ©pond Ã&nbsp; la question.\\
Un groupe participe Ã&nbsp; ce jeu. Connaissant leurs points forts et leurs faiblesses, on estime :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item quâ€™il a 3 chances sur 4 de donner la bonne rÃ©ponse lorsquâ€™il est interrogÃ© en sciences ;

\item quâ€™il a 1 chance sur 8 de donner la bonne rÃ©ponse lorsquâ€™il est interrogÃ© en Ã©conomie.

\end{enumerate}
.
On note $S$ \og{}La question concerne les Sciences\fg{} et $B$ \og{}La rÃ©ponse donnÃ©e est bonne\fg{}.


\columnbreak


\textbf{\textcolor{blue}{Partie A}}

\begin{enumerate}[1)]
\item ReprÃ©senter cette situation par un arbre pondÃ©rÃ©.

\item Calculer $p(B \cap S)$.

\item DÃ©terminer la probabilitÃ© que le groupe rÃ©ponde correctement Ã&nbsp; la question.

\item Les Ã©vÃ©nements $S$ et $B$ sont-ils indÃ©pendants ?

\end{enumerate}




\textbf{\textcolor{blue}{Partie B}}\\

Pour participer Ã&nbsp; ce jeu, on doit payer 5 \euro{} de droit dâ€™inscription. On recevra :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 10 \euro{} si on est interrogÃ© en sciences et que la rÃ©ponse est correcte ;

\item 30 \euro{} si on est interrogÃ© en Ã©conomie et que la rÃ©ponse est correcte ;

\item rien si la rÃ©ponse donnÃ©e est fausse.

\end{enumerate}
Soit $X$ la variable alÃ©atoire qui, Ã&nbsp; chaque partie jouÃ©e, associe son gain. On appelle gain la diffÃ©rence en euros entre ce qui est reÃ§u et les 5 \euro{} de droit dâ€™inscription.

\begin{enumerate}[1)]
\item DÃ©terminer la loi de probabilitÃ© de $X$.

\item Montrer que lâ€™espÃ©rance mathÃ©matique $E(X)$ est telle que : $E(X)= 0, 625$.\\
InterprÃ©ter cette valeur dans le contexte de lâ€™Ã©noncÃ©.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Soit la fonction $f$ dÃ©finie sur [-3~;~3] par : \[f (x)=-\dfrac{1}{4}x^4+2x^2+1.\]

\begin{enumerate}[1)]
\item On rappelle qu'une fonction $f$ est paire si, et seulement si, $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$ de son ensemble de dÃ©finition.\\
Ã‰tudier la paritÃ© de la fonction $f$.

\item Quelle est la consÃ©quence sur la courbe $\mathscr{C}_f$ reprÃ©sentative de la fonction $f$.

\item DÃ©terminer $f'(x)$ que lâ€™on factorisera.

\item RÃ©soudre l'Ã©quation $f'(x)=0$ puis Ã©tudier le signe de $f'(x)$ Ã&nbsp; lâ€™aide dâ€™un tableau de signes.

\item Dresser le tableau de variation de f sur $[-3~;~3]$.\\
On donnera les valeurs en -3 et 3 et les valeurs des extremum.

\item DÃ©terminer lâ€™Ã©quation de la tangente $T_1$ au point dâ€™abscisse 1.

\end{enumerate}

\end{multicols}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $f$ une fonction dÃ©finie et dÃ©rivable sur  $\mathbb{R}$. On note $f'$ la dÃ©rivÃ©e de la fonction $f$. 

On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ reprÃ©sentative de la fonction $f$.
 
La tangente Ã&nbsp;  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $B$ passe par le point de coordonnÃ©es $\left( 3 ; -3 \right)$. 

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(8,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.5 0 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x-1)*(x+5)*(5*x-32)/(3*(x^2-x+36))}
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)()()
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0]()()
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0](-7,-4)(8,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=2pt,ticksize=-2pt 2pt]{-&gt;}(0,0)(-7,-4)(8,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{-7}{8}{\f}
\psline[linewidth=2pt, linecolor=prune]{&lt;-&gt;}(-1.2,3.3)(3,-3)
\psline[linewidth=2pt, linecolor=prune]{&lt;-&gt;}(-2.8,3)(-1.2,3)
\psline[linewidth=2pt, linecolor=prune]{&lt;-&gt;}(2.82,-2.3)(4.42,-2.3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2,3)(1,0)(5,-1.6667)(3.6225,-2.3)
\uput[ur](-7,-2){\bleu{$\mathcal{C}_f$}}
\footnotesize{\uput[u](-2,3){\bleu{$A$}}
\uput[ur](1,0){\bleu{$B$}}
\uput[d](3.62,-2.3){\bleu{$C$}}
\uput[dr](5,-1.67){\bleu{$D$}}
}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Ã€ partir du graphique et des donnÃ©es de l'Ã©noncÃ© :
\begin{enumerate}
	\item DÃ©terminer le nombre de solutions de l'Ã©quation $f'(x)=0$.
	\item DÃ©terminer $f'(1)$.

\end{enumerate}
\item La tangente Ã&nbsp;  la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point $D$ d'abscisse 5 a pour Ã©quation $y=\dfrac{7}{8}x -\dfrac{145}{24}$. 

En dÃ©duire les valeurs de $f(5)$ et $f'(5)$.
\item La proposition  \og $f'(0)&gt; 1$ \fg{} est-elle vraie ou fausse ? \textbf{Justifier} !
	
\end{enumerate}


%\subsection{}%https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/math1spe/Ctrle_devoir_23_24/04_ctrle_29_01_2024.pdf
%Un artisan fabrique des vases. Sa capacitÃ© de production est limitÃ©e Ã&nbsp; 60 vases.\\
%Le coÃ»t de production de $x$ vases, en euros, est modÃ©lisÃ© par la fonction $C$ sur [0~;~60] par 
%\[C(x)= x^2-10x 500.\]
%Chaque vase est vendu 50 \euro{}.\\
%Les recettes sont modÃ©lisÃ©es par une fonction $R$ sur [0~;~60].
%
%\begin{enumerate}[1)]
%\item Calculer le coÃ»t et la recette rÃ©alisÃ©s lorsque lâ€™artisan produit et vend 40 vases.\\
%Quel est alors le bÃ©nÃ©fice de lâ€™artisan ?
%
%\item Le bÃ©nÃ©fice, en euros, rÃ©alisÃ© par lâ€™artisan est modÃ©lisÃ© par la fonction $B$ sur [0 ; 60] par $B(x) R(x)- C(x)$.
%
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que lâ€™on peut mettre $B(x)$ sous la forme : $B(x)=(10- x)(x- 50)$.
%
%\item DÃ©terminer le nombre de vases Ã&nbsp; produire et Ã&nbsp; vendre pour que lâ€™artisan rÃ©alise un bÃ©nÃ©fice (positif).
%
%\item DÃ©terminer $B'(x)$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur [0 ; 60] et en dÃ©duire le bÃ©nÃ©fice maximum et le nombre de vases Ã&nbsp; produire et Ã&nbsp; vendre pour le rÃ©aliser.
%
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Soit la fonction $f$ dÃ©finie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$ par \[f(x)=x-1+\dfrac{2}{2x-3}.\]

\begin{enumerate}[1)]

\item En reconnaissant une identitÃ© remarquable, factoriser $(2x-3)^2-4$.

\item DÃ©montrer pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, on a : $f'[x)=\dfrac{(2x-3)^2-4}{(2x-3)^2}$.\\
On pourra remarquer que $\dfrac{2}{2x-3}=2\times \dfrac{1}{2x-3}$.

\item Montrer alors que $f'(x)=\dfrac{ (2x- 1)(2x- 5)}{(2x- 3)^2}.$

\item Ã‰tudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathscr{D}$ . (On fera un tableau de signe, en n'oubliant pas que $\dfrac{3}{2}$ est une valeur interdite).

\item Ã‰tudier les limites de $f(x)$ en $-\infty$, $+\infty$ et $\dfrac{3}{2}$.

\item En dÃ©duire le tableau de variation de $f$.

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>