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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Séries statistiques à deux variables}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{blue}{Séries statistiques à deux variables}}


\subsubsection{\textcolor{red}{Nuages de points}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On considère deux variables statistiques $x$ et $y$ observées sur une même population de $n$ individus.\\
On note $x_1$, $x_2$,\dots ,$x_n$ les valeurs relevées pour la variable $x$ et $y_1$, $y_2$,\dots ,$y_n$ relevées pour la variable $y$.\\
Les couples $\left(x_1~;~y_1\right)$, $\left(x_2~;~y_2\right)$, \dots, $\left(x_n~;~y_n\right)$ forment une série statistique à deux variables.\\
On appelle nuage de points les points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $1\leqslant i\leqslant n$.
\end{bclogo}

Dans ce chapitre, on va s’intéresser au lien qui peut exister entre ces deux variables.

Exemple : \\
Le tableau ci-dessous indique les pourcentages d'accès au niveau baccalauréat d'une génération d'élèves.
 
{ \begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}| *8{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Année} $x_{i}$ 	&1980 & 1982	& 1984	& 1986	& 1988	& 1990		& 1992	& 1994\\ \hline 
Rang $i$&0&2&4&6&8&10&12&14\\
\hline
\textbf{Taux d'accès au niveau 
baccalauréat $y_{i}$} 	&34 \%&37,5\,\% &35,8\,\%&39,8\,\%&46,3\,\%&56,1\,\%&62,5\,\%&70,7\,\%\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize Source : d'après un document du Ministère de l'éducation nationale}\\
\end{tabularx}
\end{center}}

Représentons le nuage de points correspondants.

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.05,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-10)(15,110)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-10)(15,110)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0]()()
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,34)(3,37.5)(4,35.8)(6,39.8)(8,46.3)(10,56,1)(12,62.5)(14,70.7)
\psdots[dotstyle=*,dotscale=1](7.25,47.8375)
\uput[u](7.25,47.8375){$G$}
\multido{\n=0+10}{11}{\psline(0,\n)(15,\n)}
\multido{\n=0+1}{16}{\psline(\n,0)(\n,100)}
\end{pspicture}

\end{center}
\bigskip

On constate que ces points sont \textbf{\textcolor{red}{à peu près}} alignés. \\
On va essayer de trouver une droite qui passe \textbf{\textcolor{blue}{au plus près}} de ces points.


\newpage


\subsubsection{\textcolor{red}{Point moyen}}

\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient $x$ et $y$ deux séries statistiques prenant chacune $n$ valeurs.\\
On considère le nuage de points $M_1\left(x_1~;~y_1\right)$, \dots $M_n\left(x_n~;~y_n\right)$.\\
On note $\overline{x}$ la moyenne des abscisses et $\overline{y}$ la moyenne des ordonnées.\\
On appelle point moyen le point $G\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

Par exemple, dans l'exemple précédent : $\boxed{\textcolor{red}{G\left(7.25~;~47,8375\right)}}$


\subsection{\textcolor{blue}{Ajustement affine}}
On a vu dans l'exemple précédent que les points sont presque alignés.\\
On va chercher une droite qui passe près de tous les points.


\subsubsection{\textcolor{red}{Notion d'ajustement affine}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Dans un nuage de points, rechercher une droite qui \og{}approche au mieux\fg{} tous les points du nuage d'appelle réaliser un \textbf{\textcolor{red}{ajustement affine}}.\\
La droite trouvée s'appelle \textbf{\textcolor{red}{droite de régression}}. 
\end{bclogo}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \og{}approcher au mieux\fg{} est très subjectif

\item Le point moyen appartient à toute droite de régression (admis).
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{red}{Droite d'ajustement obtenu par la méthode des moindres carrés}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (admise)}}
Soit un nuage de points $M_1$, $M_2$, \dots, $M_n$.\\
On considère toutes les droites $d$ qui passent par le point moyen.\\
On considère les points $P_1$, $P_2$, \dots, $P_n$ de $d$ qui ont les mêmes abscisses que les points $M_1$, $M_2$, \dots, $M_n$.\\
Il existe une unique droite $d$ qui minimise $M_1P_1^2+M_2P_2^2+\cdots+M_nP_n^2$.\\
Cette droite d'ajustement linéaire s'appelle droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
\end{bclogo}

\psset{xunit=1,yunit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(16,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(16,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(16,6)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,1)(2,3)(5,2)(7,4)(10,3)(12,5)(15,4)
\uput[d](1,1){$M_1$}
\uput[u](2,3){$M_2$}
\uput[d](5,2){$M_3$}
\uput[d](7,4){$M_4$}
\uput[d](10,3){$M_5$}
\uput[u](12,5){$M_6$}
\uput[d](15,4){$M_7$}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0}{16}{0.196*x+1.693}
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](1,1)(1,1.888)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](2,3)(2,2.083)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](5,2)(5,2.668)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](7,4)(7,3.058)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](10,3)(10,3.643)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](12,5)(12,4.033)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](15,4)(15,4.618)
\uput[u](1,1.888){$P_1$}
\uput[u](5,2.668){$P_3$}
\uput[u](10,3.643){$P_5$}
\uput[u](15,4.618){$P_7$}
\uput[d](2,2.083){$P_2$}
\uput[d](7,3.058){$P_4$}
\uput[d](12,4.033){$P_6$}

\end{pspicture}



\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition et propriété (admise)}}
On appelle covariance des variables $x$ (prenant les valeurs $x_1$, $x_2$, \dots $x_n$) et $y$ (prenant les valeurs  $y_1$, $y_2$, \dots, $y_n$) le nombre :
\[\text{cov}(x~;~y)=\dfrac{\left(x_1-\overline{x}\right)\left(y_1-\overline{y}\right)+\left(x_2-\overline{x}\right)\left(y_2-\overline{y}\right)+\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)\left(y_n-\overline{y}\right)}{n}\]
Remarque : on a aussi :
\[\text{cov(x~;~y)}=\dfrac{x_1y_1+x_2y_2+\cdots++x_ny_n}{n}-\overline{x}\overline{y}
\]
La droite $d$ de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation :\\
$y=mx+p$ avec $m=\dfrac{\text{cov}(x~;~y)}{\sigma^2(x)}$ et $p=\overline{y}-m\overline{x}$, où $\sigma(x)$ est l'écart-type de la série statistique et $\overline{x}$ et $\overline{y}$ sont les coordonnées du point moyen.
\end{bclogo}

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : ces nombres s'obtiennent facilement avec une calculatrice graphique.



\subsection{\textcolor{blue}{Coefficient de corrélation linéaire}}
Quand les points d'un nuage sont plus ou moins alignés, comment décider si un ajustement linéaire est pertinent ou pas ?


\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit une série statistique à deux variables $x$ et $y$.\\
On appelle coefficient de corrélation linéaire le nombre  $r$ défini par 
\[r=\dfrac{\text{cov}(x~;~y)}{\sigma(x)\sigma(y)}\]
où $\sigma(x)$ et $\sigma(y)$ sont les écart-types des séries $x$ et $y$.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{minipage}{8cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$r$ est un nombre compris entre -1 et 1.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Lorsque $r$ est \og{}proche\fg{} de -1 ou de 1 (c'est-à-dire $r\leqslant -0,75$ ou $r\leqslant 0,75$), on dit que la corrélation linéaire entre $x$ et $y$ est forte ; on peut alors envisager un ajustement affine.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Ne pas confondre corrélation et causalité.

\item Si $r$ est proche de 0, un ajustement affine n'est pas pertinent ; il se peut qu'un ajustement par un autre type de courbe soit possible (fonction exponentielle, parabole,  \dots)
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  