<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}.\textcolor{red}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{ Lois de probabilitÃ©s discrÃ¨tes}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{blue}{Conditionnement et indÃ©pendance}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Rappels sur les probabilitÃ©s conditionnelles}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition d'une probabilitÃ© conditionnelle}}
$p_{A}(B)$ dÃ©signe la probabilitÃ© que lâ€™Ã©vÃ©nement $B$ soit rÃ©alisÃ© sachant que $A$ est rÃ©alisÃ©.\\
On dit que câ€™est une probabilitÃ© conditionnelle.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}}

\parbox{10cm}{On donne ci-contre la rÃ©partition des spectateurs sur une journÃ©e dans une salle de cinÃ©ma selon les sÃ©ances et le tarif.\\
On choisit un de ces spectateurs au hasard et on considÃ¨re les Ã©vÃ©nements :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $M$ : \og{}La personne a assistÃ© Ã&nbsp; la sÃ©ance du matin\fg{}.

\item $D$ : \og{}La personne a payÃ© demi-tarif\fg{}.
\end{enumerate}
}\hfill
\parbox{8cm}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{&gt;{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{} 
&amp;\cellcolor{red!30}Plein tarif&amp;\cellcolor{red!30}Demi Tarif&amp;\cellcolor{red!30}Total\\
\hline
\cellcolor{red!30}SÃ©ance du matin&amp;103&amp;91&amp;194\\
\hline
\cellcolor{red!30}SÃ©ance du soir&amp;280&amp;26&amp;306\\
\hline
\cellcolor{red!30}Total&amp;383&amp;117&amp;500\\
\hline
\end{tabularx}}

La probabilitÃ© que la personne ait assistÃ© Ã&nbsp; la sÃ©ance du matin sachant quâ€™elle a payÃ© demi-tarif est :
$p_{D}(M) =\dfrac{91}{117}$ car parmi les 117 personnes ayant payÃ© demi-tarif, 91 sont venues le matin.\\
De mÃªme, $p_M(D),$ la probabilitÃ© que la personne ait payÃ© demi-tarif, sachant quâ€™elle a assistÃ© Ã&nbsp; la sÃ©ance
du matin est $\dfrac{91}{194}$.

.\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
La propriÃ©tÃ© de $B$ sachant que $A$ est rÃ©alisÃ© est $p_A(B)=\dfrac{p[A \cap B]}{p(A)}$\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on lit souvent \og{}probabilitÃ© de $B$ sachant $A$\fg{}
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
Soient $A$ et $B$ deux Ã©vÃ©nements de probabilitÃ©s non nulles.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A \cap B)=p_A(B)\times p(A)$ et $p(A \cap B)=p_B(A)\times p(B)$

\item $p_A\left(\overline{B}\right)=1-p_A(B)$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : 

On considÃ¨re un jeu dans lequel on lance dâ€™abord un dÃ© Ã&nbsp; 10 faces puis :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item si le rÃ©sultat est 10, on lance un dÃ© Ã&nbsp; 4 faces ;

\item sinon on lance un dÃ© Ã&nbsp; 6 faces.
\end{enumerate}
On gagne lorsque le rÃ©sultat du deuxiÃ¨me dÃ© est 1.\\
On considÃ¨re les Ã©vÃ©nements $A$ : \og{}Le rÃ©sultat du premier dÃ© est 10\fg{} et $B$ : \og{}le joueur gagne\fg{}.
\begin{enumerate}
\item Recopier et complÃ©ter lâ€™arbre pondÃ©rÃ© ci-dessous reprÃ©sentant la situation.
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=15mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=6pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{$\frac1{10}$}}
	  { 
		  \TR{$B$}\taput{$\frac14$}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{$\frac34$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{$\frac9{10}$}}
	  {
		  \TR{$B$}\taput{$\frac16$}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{$\frac56$}}}
\end{center}

\item %DÃ©terminer $p(A \cap B)$.
$p(A \cap B)=p_A(B)\times p(A)=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{10}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{40}}}$.

\item %DÃ©terminer la probabilitÃ© de gagner.
On veut calculer $p(B)$ ;\\
$=\left(B \cap A\right) \cup \left(B \cap \overline{A}\right)$.\\
On a rÃ©union de deux Ã©vÃ©nements incompatibles, donc la probabilitÃ© de cette rÃ©union est la somme des probabilitÃ©s.\\
$p(B)=p(B \cap A)+p\left(B \cap \overline{A}\right)=p_A(B)\times p(A)+p_{\overline{A}}(B)\times p\left(\overline{A}\right)=\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{6}\times \dfrac{9}{10}=\dfrac{1}{40}+\dfrac{\cancel{3}\times 3}{\cancel{3}\times 2\times 10}=\dfrac{1}{40}+\dfrac{3}{20}=\dfrac{7}{40}$.\\
La probabilitÃ© de gagner est $\boxed{\textcolor{red}{p(B)=\dfrac{7}{40}}}$
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{red}{Formule des probabilitÃ©s totales }}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ© (formule des robabilitÃ©s totales)}}
Soit $\Omega$ l'univers associÃ© Ã&nbsp; une expÃ©rience alÃ©atoire.\\
Soieit des Ã©vÃ©nements $A_1$, $A_2$, \dots $A_n$ des Ã©venements de $\Omega$, deux Ã&nbsp; deux disjoints (d'intersection vide) et dont la rÃ©union forme l'univers $\Omega$.\\
On dit que cesÃ©vÃ©nements forment une partition de $\Omega$.\\
Soit $B$ un Ã©vÃ©nement.\\
Alors : $p(B)=p\left(A_1 \cap B\right)+p\left(A_2 \cap B\right)+p\left(A_3 \cap B\right)+\cdots+p\left(A_n \cap B\right)$
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{red}{IndÃ©pendance de deux Ã©vÃ©nements}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
Soient deux Ã©vÃ©nements $A$ et $B$ de probabilitÃ©s non nulles.\\
On dit que $A$ et $B$ sont indÃ©pendants lorsque $p(A \cap B)=p(A)\times p(B)$.
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
$A$ et $B$ sont indÃ©pendants Ã©quivaut Ã&nbsp; $p_A(B)=p(B)$ et $p_B(A)=p(A)$.
\end{bclogo}

$A$ n'a pas d'influence sur $B$ et $B$ n'a pas d'influence sur $A$.

\subsection{\textcolor{blue}{Loi uniforme discrÃ¨te}}

\subsubsection{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
Soit $X$ une variable alÃ©atoire dÃ©finie sur un univers $\Omega$ et Ã&nbsp; valeurs dans $\{1~;~2~;~3~;~\cdots~;~n\}$.\\
On dit que $X$ suit la loi uniforme sur $\{1~;~2~;~\cdots~;~n\}$ lorsque : \\
Pour tout $k\in\{1~;~2~;~\cdots~;~n\}$, $p(X=k)=\dfrac{1}{n}$
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}}\\
Une urne contient 15 boules numÃ©rotÃ©es de 1 Ã&nbsp; 15. On tire au hasard une boule de cette urne.\\

$X$ est la variable alÃ©atoire qui prend la valeur inscrite sur la boule. Quelle est la loi suivie par $X$ ?

\bigskip

Comme on tire au hasard, une boule, chaque boule a la mÃªme probabilitÃ© d'Ãªtre tirÃ©e (situation. d'Ã©quioprobabiitÃ©).\\
Pour tout $k$ compris entre 1 et 15, $p(X=k)=\dfrac{1}{15}$.\\
$X$ suit la loi uniforme sur $\{1~;~2\cdots~;~15\}$


\subsubsection{\textcolor{red}{EspÃ©rance}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition gÃ©nÃ©rale}}
Soit $X$ une variable alÃ©atoire prenant les valeurs $x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$.\\
LespÃ©rance de $X$, notÃ©e $E(X)$ vaut :
\[E(X)=x_1\times p\left(X=x_1\right)+x_2\times p\left(X=x_2\right)+\cdots+x_n\times p\left(X=x_n\right)\]
On Ã©crit souvent : $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n$ en notant $p_i$ la probabilitÃ© $p(X=x_i)$.
\end{bclogo}

\bigskip

Exemple : On lance deux dÃ©s tÃ©traÃ©driques Ã©quilibrÃ©s numÃ©rotÃ©s de 1 Ã&nbsp; 4. On note $(a~;~b)$ l'issue \og{}le rÃ©sultat obtenu par le premier dÃ© est a et le rÃ©sultat obtenu par le second dÃ© est b\fg{}.\\
On dÃ©finit une variable alÃ©atoire $X$ par $X(a~;~b)=a+b$ (somme des rÃ©sultats obtenus).\\
On peut rÃ©sumer la situation par un tableau Ã&nbsp; double entrÃ©e :


\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
\rowcolor{red!30}\backslashbox{a}{b}&amp;1&amp;2&amp;3&amp;4\\
\hline
\cellcolor{red!30}1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5\\
\hline
\cellcolor{red!30}2&amp;3&amp;4&amp;5&amp;6\\
\hline
\cellcolor{red!30}3&amp;4&amp;5&amp;6&amp;7\\
\hline
\cellcolor{red!30}4&amp;5&amp;6&amp;7&amp;8\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Les valeurs que $X$ peut prendre sont : 2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8.\\
Notons-les $x_1$, $x_2$, \dots $x_7$ dans cet ordre.\\
Alors, par exemple, $p_3=p\left(X=3\right)=\dfrac{2}{16}$, $p(X=4)=\dfrac{3}{16}$.\\
La loi de X est alors rÃ©sumÃ©e dans le tableau suivant :
\begin{center}
$\begin{array}{|*{8}{c|}}\hline
\rowcolor{cyan!30}x_i&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5&amp;6&amp;7&amp;8\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&amp;\dfrac{1}{16}&amp;\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{8}&amp;\dfrac{3}{16}&amp;\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}4{}&amp;\dfrac{3}{16}&amp;\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{8}&amp;\dfrac{1}{16}\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

L'espÃ©rance de $X$ est alors : \\
$E(X)=\dfrac{1}{16}\times 2+\dfrac{2}{16}\times 3+\dfrac{3}{16}\times 4+\dfrac{4}{16}\times 5+\dfrac{3}{16}\times 6+\dfrac{2}{16}\times 7+\dfrac{1}{16}\times 8=\dfrac{80}{16}=\boxed{\textcolor{red}{5}}$.

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : Ainsi, sur un grand nombre de lancers de ces deux dÃ©s, \og{}la loi des grands nombres\fg{}
permet de dire quâ€™on peut sâ€™attendre Ã&nbsp; ce que la moyenne des sommes soit proche de 5.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
Soit $X$ une variable alÃ©atoire suivant une loi uniforme sur $\{1~;~2~;~\cdots~;~n\}$.\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{E(X)=\dfrac{n+1}{2}}}$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Justification}} : $E(x)=1\times \dfrac{1}{n}+2\times \dfrac{1}{n}+\cdots+n\times \dfrac{1}{n}=\dfrac{1+2+\cdots+n}{n}=\dfrac{\frac{n(n+1)}{2}}{n}=\dfrac{n+1}{2}$.

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Loi et schÃ©ma de Bernoulli}}
\subsubsection{\textcolor{red}{Loi de Bernoulli}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
On appelle Ã©preuve de Bernoulli un expÃ©rience alÃ©atoire comportant deux issues, notÃ© $S$ pour succÃ¨s et $\overline{S}$ pour Ã©chec.
\end{bclogo}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
Si $p$ est la probabilitÃ© d'un succÃ¨s, la probabilitÃ© d'un Ã©chec est $1-p$.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{red}{SchÃ©ma de Bernoulli}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
Soit $n$ un entier naturel?\\
On appelle schÃ©ma de Bernoulli la rÃ©pÃ©tition de $n$ Ã©preuves de Bernoulli consÃ©cutives, identiques, indÃ©pendantes.\\
Il est caractÃ©risÃ© par deux paramÃ¨tres, $n$ le nombre d'Ã©preuves et $p$, la probabilitÃ© d'un succÃ¨s.
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} :
Sur le trajet que fait un Ã©lÃ¨ve en vÃ©lo pour aller de chez lui au lycÃ©e, il y a trois croisements successifs avec des feux tricolores non synchronisÃ©s. Pour chacun des feux, le rouge dure 30 secondes, le l'orange deux secondes et le vert 20 secondes.\\
On suppose que la couleur d'un feu ne dÃ©pend pas de la couleur prÃ©cÃ©dente et que l'Ã©lÃ¨ve s'arrÃªte au feu orange et au feu rouge.

\begin{enumerate}[a)]
\item Quelle est la probabilitÃ© que l'Ã©lÃ¨ve ne s'arrÃªte Ã&nbsp; aucun feu ?

\item Quelle est la probabilitÃ© que l'Ã©lÃ¨ve  s'arrÃªte Ã&nbsp; un seul feu ?
\end{enumerate}

Notons $S$l'Ã©vÃ©nement \og{}arriver devant un feu vert\fg{}.\\
$p(S)=\dfrac{20}{52}=\dfrac{5}{13}$
Arbre : 
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=15mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S$}\taput{ $\frac{5}{13}$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S$}\taput{ $\frac{5}{13}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $\frac{5}{13}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $\frac{8}{13}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{S}$}\tbput{ $\frac{8}{13}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $\frac{5}{13}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $\frac{8}{13}$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{S}$}\tbput{ $\frac{8}{13}$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S$}\taput{ $\frac{5}{13}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $\frac{5}{13}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $\frac{8}{13}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{S}$}\tbput{ $\frac{8}{13}$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $\frac{5}{13}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $\frac{8}{13}$}
}
}
}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La probabilitÃ© que l'Ã©lÃ¨ve ne s'arrÃªte Ã&nbsp; aucun feu est $p(SSS)=\left(\dfrac{5}{13}\right)^3=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{125}{\numprint{2197}}}}$.

\item \og{}L'Ã©lÃ¨ve s'arrÃªte Ã&nbsp; seul feu\fg{} est constituÃ© de $SS\overline{S}$, $\overline{S}S\overline{S}$ ou $SS\overline{S}$.\\
Sa probabilitÃ© est $3\times \left(\dfrac{5}{13}\right)^2\times \dfrac{8}{13}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{600}{\numprint{2197}}}}$
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{red}{Coefficients binomiaux}}
Dans l'exemple prÃ©cÃ©dent (feux tricolores), on a vu qu'il y avait trois Ã©vÃ©nements contenant deux succÃ¨s (deux feux verts).\\
Il Ã©tait facile de compter directement le nombre d'Ã©vÃ©nements qui nous intÃ©ressaient. C'est moi facile dans le cas oÃ¹ $n$ est grand (arbre impossible Ã&nbsp; faire, car trop grand).\\
Il faut trouver un moyen de trouver le nombre de chemins comprenant $k$ succÃ¨s parmi $n$.

\newpage


\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
Soit $n$ un entier naturel et $p$ un nombre appartenant Ã&nbsp; l'intervalle $[0~;~1]$.\\
On considÃ¨re un schÃ©ma de Bernoulli, de paramÃ¨tres $n$ et $p$.\\
Le nombre de faÃ§ons d'obtenuir $k$ succÃ¨s (et donc $n-k$ Ã©checs) s'appelle coefficient binomial. Il est notÃ© $\binom{n}{p}$ et se lit \og{}$k$ parmi $n$\fg{}.
\end{bclogo}

\bigskip

Dans l'exemple prÃ©cÃ©dent sur les feux tricolores, on a : \\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\binom{3}{0}=1$ (un seul trajet avec 0 succÃ¨s)

\item $\binom{3}{1}=3$ (trois trajets avec un succÃ¨s)

\item $\binom{3}{2}=3$ (deux trajets avec deux succÃ¨s)

\item $\binom{3}{3}=1$ (un seul trajet avec trois succÃ¨s)
\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©s}}
Pour tout entier naturel $n$ et pour tout $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\binom{n}{0}=1$ (un seul chemin contenant $n$ succÃ¨s pour $n$ Ã©preuves)

\item $\binom{n}{n}=1$ (un seul chemin contenant $0$ succÃ¨s pour $n$ Ã©preuves)

\item $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ (propriÃ©tÃ© de symÃ©trie)

\item Si $k\neq 0$ : $\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}$ (propÃ©riÃ©tÃ© d'addition)
\end{enumerate}
\end{bclogo}


\newpage



En utilisant la propriÃ©tÃ© d'addition, on peut calculer les coefficients binomiaux de proche en proche en utilisant le \textbf{\textcolor{red}{triangle de Pascal}} .

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{&gt;{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\rowcolor{blue!20}\backslashbox{n}{p}&amp;0&amp;1&amp;2&amp;3&amp;4&amp;5&amp;6&amp;7&amp;8\\
\hline
\cellcolor{blue!20}0&amp;\cellcolor{red!40}1&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0\\
\hline
\cellcolor{blue!20}1&amp;1&amp;\cellcolor{red!40}1&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0\\
\hline
\cellcolor{blue!20}2&amp;1&amp;2&amp;\cellcolor{red!40}1&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0\\
\hline
\cellcolor{blue!20}3&amp;1&amp;3&amp;3&amp;\cellcolor{red!40}1&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0\\
\hline
\cellcolor{blue!20}4&amp;1&amp;\cellcolor{yellow!60}4&amp;\cellcolor{yellow!60}6&amp;4&amp;\cellcolor{red!40}1&amp;0&amp;0&amp;0&amp;0\\
\hline
\cellcolor{blue!20}5&amp;1&amp;5&amp;\cellcolor{yellow!60}10&amp;10&amp;5&amp;\cellcolor{red!40}1&amp;0&amp;0&amp;0\\
\hline
\cellcolor{blue!20}6&amp;1&amp;6&amp;15&amp;20&amp;15&amp;6&amp;\cellcolor{red!40}1&amp;0&amp;0\\
\hline
\cellcolor{blue!20}7&amp;1&amp;7&amp;21&amp;35&amp;35&amp;21&amp;7&amp;\cellcolor{red!40}1&amp;0\\
\hline
\cellcolor{blue!20}8&amp;1&amp;8&amp;28&amp;56&amp;70&amp;56&amp;28&amp;8&amp;\cellcolor{red!40}1\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} :

\begin{enumerate}[a)]


\item On donne $\binom{25}{3}=\numprint{2300}$ ; on en dÃ©duit $\binom{25}{22}=\binom{25}{25-3}=\binom{25}{22}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{2300}}}$.

\item $\boxed{\textcolor{red}{\binom{100}{0}=1}}$

\item On sait que $\binom{9}{6}=84$ et $\binom{9}{7}=36$.\\
On en dÃ©duit que $\binom{10}{7}=\binom{9}{6}+\binom{9}{7}=84+36=\boxed{\textcolor{red}{120}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Loi binomiale}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
Soit $n\in\mathbb{N}$ et soit $p\in[0~;~1]$.\\
On considÃ¨re un schÃ©ma de Bernoulli de paramÃ¨tres $n$ et $p$.\\
On note $X$ la variable alÃ©atoire qui compte le nombre de succÃ¨s lors des $n$ rÃ©pÃ©titions.\\
ON dit que $X$ suit la loi binomiale de paramÃ¨tres $n$ et $p$, notÃ©s $\mathscr{B}(n~;~p)$.
\end{bclogo}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
Si $X$ suit la loi $\mathscr{B(n~;~p)}$ :\\
$p(X=k)=\binom{n}{p}p^k(1-p)^{n-k}$.
\end{bclogo}



\subsubsection{\textcolor{red}{ReprÃ©sentation graphique}}
Loi binomiale $\mathscr{B}(20~;~0,5)$
\begin{center}
\psset{xunit=.5,yunit=20,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-0.1)(21,0.2)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=0.05]{-&gt;}(0,0)(0,0)(21,0.2)
\psline(0,0)(0,.00000009)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](1,0)(1,0.00002)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](2,0)(2,0.00018)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](3,0)(3,0.00109)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](4,0)(4,0.00462)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](5,0)(5,0.01479)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](6,0)(6,0.03696)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](7,0)(7,0.073929)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](8,0)(8,0.120134)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](9,0)(9,0.160179)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](10,0)(10,0.176197)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](11,0)(11,0.160179)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](12,0)(12,0.120134)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](13,0)(13,0.0739289)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](14,0)(14,0.0369644)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](15,0)(15,0.014785785)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](16,0)(16,0.00462056)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](17,0)(17,0.00108719)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](18,0)(18,0.000181198)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](19,0)(19,0.000019073)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](20,0)(20,0.00000095)
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=blue](10,0)(10,0.18)
\end{pspicture}
\end{center}
Le graphique admet un axe de symÃ©trie, d'Ã©quation $x=10$ car l'espÃ©rance est $\mu=np=10$


\bigskip

\noindent Loi binomiale $\mathscr{B}(100~;~0,3)$
\begin{center}
\psset{xunit=.3,yunit=40,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-0.1)(101,0.2)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=4,Dy=0.05]{-&gt;}(0,0)(0,0)(101,0.2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](17,0)(17,0.00119)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](18,0)(18,0.00236)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](19,0)(19,0.00436)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](20,0)(20,0.007576)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](21,0)(21,0.012369)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](22,0)(22,0.019034)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](23,0)(23,0.027665)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](24,0)(24,0.038039)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](25,0)(25,0.04956)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](26,0)(26,0.06127)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](27,0)(27,0.071967)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](28,0)(28,0.080412)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](29,0)(29,0.0855616)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](30,0)(30,0.0867839)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](31,0)(31,0.08398439)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](32,0)(32,0.07761057)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](33,0)(33,0.06853920)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](34,0)(34,0.05788395)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](35,0)(35,0.04677968)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](36,0)(36,0.03619856)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](37,0)(37,0.026834457)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](38,0)(38,0.0190665876)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](39,0)(39,0.01299042227)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](40,0)(40,0.0084901688)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](41,0)(41,0.0053248446)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](42,0)(42,0.0032057738)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](43,0)(43,0.0018531715)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](44,0)(44,0.0010288712)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](45,0)(45,0.0005487313)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](46,0)(46,0.0002811822)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](47,0)(47,0.00013845446)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](48,0)(48,0,0000066)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](49,0)(49,0,000003)
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=blue](30,0)(30,0.18)
\end{pspicture}
\end{center}
Le graphique admet un axe de symÃ©trie, d'Ã©quation $x=30$ car l'espÃ©rance est $\mu=np=30$

\subsubsection{\textcolor{red}{EspÃ©rance, variance et Ã©cart-type}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
Soit $X$ une variable alÃ©atoire suivant un li binomiale $\mathscr{B}(n~;~p)$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'espÃ©rance est $E(X)=np$. (Correspond Ã&nbsp; la moyenne)

\item La variance est $V(X)=np^1-p$

\item L'Ã©par-type est $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{np(1-p)}$ (l'Ã©cart-type mesure la dispersion autour de l'espÃ©rane)
\end{enumerate}

\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{blue}{Loi gÃ©omÃ©trique}}

\subsubsection{\textcolor{red}{DÃ©finition et caractÃ©ristiques}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
Soit $p$ un rÃ©el de $[0~;~1]$.\\
On rÃ©pÃ¨te une Ã©preuve de Bernoulli, dans la probabilitÃ© de succÃ¨s est $p$.\\
On rÃ©pÃ¨te l'Ã©preuve de Bernoulli de maniÃ¨re indÃ©pendante.\\
On note X la variable alÃ©atoire qui compte le nombre de rÃ©pÃ©titions nÃ©cessaires pour obtenir le premier succÃ¨s.\\
On dit que la variable alÃ©atoire  $X$ suit la loi gÃ©omÃ©trique de paramÃ¨tres $p$.\\
On Ã©crit : $X$ suit $\mathscr{G}(p)$ ou $X\hookrightarrow \mathscr{G}(p)$
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
Si $X\hookrightarrow\mathscr{G}(p)$, $\boxed{\textcolor{red}{p(X=k)=p\times (1-p)^{k-1}}}$
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{red}{ReprÃ©sentation gÃ©omÃ©trique}}

\subsubsection{\textcolor{red}{EspÃ©rance, variance, Ã©cart-type}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
On suppose que $X\hookrightarrow\mathscr{G}(p)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $E(X)=\dfrac{1}{p}$

\item $V(X)=\dfrac{1-p}{p^2}$

\item $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\dfrac{\sqrt{1-p}}{p}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}


\subsubsection{\textcolor{red}{Exemples}}
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple 1}} :
Au basket, n joueur rÃ©ussit 68\:\% de ses lancers francs.\\
Les lancers sont supposÃ©s indÃ©pendants.
On s'intÃ©resse au nombre de lancers nÃ©cessaires avant d'en rÃ©ussir un.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on peut modÃ©liser la situation par une loi gÃ©omÃ©trique dont on prÃ©cisera le paramÃ¨tre.

\item Quelle est la probabilitÃ© qu'il rÃ©ussisse son panier au bout du quatriÃ¨me essai ?

\item Il a droit Ã&nbsp; quatre essais. Quelle est la probabilitÃ© qu'il rÃ©ussisse son panier avant son quatriÃ¨me essai ?
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{RÃ©ponses}}

\begin{enumerate}
\item Chaque lancer est une Ã©preuve de Bernoulli de succÃ¨s l'Ã©vÃ¨nement \og{}marquer un panier de probabilitÃ© $p=0,68$\fg{}.\\
Comme chaque lancer est indÃ©pendant du ou des lancers prÃ©cÃ©dents, la variable alÃ©atoire X Ã©gale au nombre d'essais jusqu'Ã&nbsp; ce que le joueur marque un panier suit  la loi gÃ©omÃ©trique  $\mathscr{B}(0,68)$.

\item La probabilitÃ© qu'il rÃ©ussisse son panier au bout du quatriÃ¨me essai est $p(X=4)=(1-0,68)^3\times 0,68\approx \numprint{0,02228224}$

\item $p(X&lt;4)=p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)\\
=0,68+0,32\times 0,68+0,32^2\times 0,68=0,68\left(1+0,32+0,32^2\right)=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0.967232}}}$
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple 2}} :\\
En septembre 2019, on peut lire dans le journal anglais The Sunday Mirror : En Ã‰cosse, la famille B., aprÃ¨s la10 naissances de garÃ§ons, a eu le bonheur d'avoir une fille. Cameron.\\
On suppose que lors des naissances dans une famille, la probabilitÃ© d'avoir une fille ou un garÃ§on es la mÃªme et ne dÃ©pend pas ds naissances prÃ©cÃ©dentes.\\
Quelle Ã©tait la probabilitÃ© d'avoir une fille aprÃ¨s 10 garÃ§ons ?

\bigskip

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les naissances filles-garÃ§ons Ã©tant Ã©quiprobables et indÃ©pendantes, $X$, nombre de garÃ§ons, suit la loi gÃ©omÃ©trique $\mathscr{G}\left(\dfrac{1}{2}\right)$.

\item $p(X=11)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10\times \left(1-\dfrac{1}{2}\right)}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{11}=\numprint{0.00048828125}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{0,0005}}}$
\end{enumerate}










\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>