\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\begin{document}
%\tableofcontents
\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices \no 3}}
\end{center}




\subsection{}
Voici la courbe représentative d'une fonction.
\begin{center}
\psset{unit=0.4,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-11,-8)(11,8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-11,-8)(11,8)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-10}{-2.02}{(x+1)/((x+2)*(x-3))}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-1.992}{2.99}{(x+1)/((x+2)*(x-3))}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{3.01}{10}{(x+1)/((x+2)*(x-3))}
\begin{scriptsize}
\uput[u](-8,0){$\mathscr{C}_f$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
%Conjecturer les limites suivantes :
On conjecture



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[a)]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x<-2}}f(x)=-\infty$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x>-2}}f(x)=+\infty$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x<3}}f(x)=-\infty$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x>3}}f(x)=+\infty$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : $f(x)=\dfrac{x+1}{(x+2)(x-3)}$

\subsection{}
On considere la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \\
$f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x^2+1}$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels.\\
La courbe $\mathscr{C}_f$ est donnée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=0.5,yunit=0.8,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-8,-1)(10,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-8,-1)(10,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-8,-1)(10,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=1000]{-8}{10}{(5*x^2+x+2)/(x^2+1)}
\uput[d](3,5){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer les limites en $-\infty$ et $+\infty$ de $f(x)$.
On a une forme indéterminée.\\
$f(x)=\dfrac{\cancel{x^2}\left(a+\frac bax+\frac ca\right)}{\cancel{x^2}\left(1+\frac1{x^2}\right)}=\dfrac{a+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}}{\left(1+\frac1{x^2}\right)}
$.\\
$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(a+\frac bax+\frac ca\right)=a$ et $\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=1$.\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=a}}$.

\item %En déduire, à partir du graphique, la valeur de $a$.
D'après le graphique, on trouve que $\boxed{\textcolor{red}{a=5}}$.
\end{enumerate}


\item %Déterminer, à partir du graphique, les valeurs de  $c$ puis $b$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(0)=c$ et graphiquement, on voit que $f(0)=2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{c=2}}$.

\item On en déduit $f(x)=\dfrac{5x^2+bx+2}{x^2+1}$.\\
$f(1)=4\Leftrightarrow \dfrac{7+b}{2}=4$ d'où $6+b=8$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{b=1}}$

\item On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=\dfrac{5x^2+x+2}{x^2+1}}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection{}
Voici la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ :
\begin{center}
\psset{xunit=0.7,yunit=0.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-3)(9,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-3)(9,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-3)(9,5)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-4}{6}{0.05*x^3+.01*x^2-1.08*x-0.05}
\rput(6,2){)}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](6,2)(8,3)
\uput[d](4,-1){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
%Cette fonction est-elle continue ?
Cette fonction n'est pas continue ; il y a un saut en 6.



\subsection{}
%Même question avec la fonction suivante :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-5)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-5)(5,5)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-3.5}{4.2}{0.33*x^3-0.38*x^2-3.44*x + 1.67}
\uput[d](2,-4){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
Cette fonction est continue.

\subsection{}
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \\
$f(x)=\begin{cases}2x-1\text{ si }x\leqslant 1\\x^2\text{ si }>1\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item %Représenter graphiquement cette fonction.
Représentation graphique :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(5,9)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(5,9)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(5,9)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-3}{1}{x^2}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{1}{5}{2*x-1}
\end{pspicture}

\end{center}

\item %$f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ? Justifier par un calcul.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est continue sur $]-\infty~;~1[$ (fonction usuelle)

\item $f$ est continue sur $]1~;~+\infty[$ (fonction usuelle)

\item Étude en 1 : $f(1)=1^1=1$.\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x>1}}f(x)=\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x>1}}(2x-1)=1=f(1)$ donc $f$ est continue en 1.
\end{enumerate}
Donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \\
$f(x)=\begin{cases}\mathrm{e}^{x}\text{ si }x\leqslant 0\\x+2\text{ si }>0\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item %Représenter graphiquement cette fonction.
Représention graphique : 
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-1)(5,8)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-1)(5,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-1)(5,8)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-5}{0}{EXP(x)}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0}{5}{x+2}
\rput(0,2){\textcolor{red}{)}}
\end{pspicture}

\end{center}

\item %$f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ? Justifier par un calcul.
Cette fonction n'est pas continue en 0.\\
En effet : $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}f(x)=2$ ; or $f(0)=\mathrm{e}^{0}=1$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \\
$f(x)=\begin{cases}x^2-2x+3\text{ si }x\leqslant 3\\m\text{ si }>3\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item %Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ la fonction $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ?
Il est clair que le problème de continuité se pose en $x=3$.\\
Pour que $f$ soit continue en 3, il faut que $\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x>3}}f(x)=m$ ; or $\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x>3}}f(x)=6$.\\
On doit avoir $\boxed{\textcolor{red}{m=6}}$

\item %Représenter alors graphiquement  la courbe représentative de $f$ pour la ou les valeur(s) de $m$ trouvée(s) précédemment.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-1)(5,12)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-1)(5,12)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-1)(5,12)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-2}{3}{x^2-2*x+3}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{3}{5}{6}
\rput(0,2){\textcolor{red}{)}}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{enumerate}







\label{fin}
\end{document}  