\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{maths complémentaires : correction de la feuille \no 2\\ (probabilités conditionnelles)}}\end{center}

\subsection{}
$A$ et $B$ sont deux évènements d'une même expérience aléatoire. Dans chacun des cas suivants, calculer $p(A)$. 

\begin{enumerate}
\item% $p(A \cap B)=\dfrac{1}{3}$ et $p\left(A \cap \overline{B}\right) =\dfrac{1}{4}$.
$p(A)=p(A \cap B)+p\left(A \cap \overline{B}\right)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{12}}}$

\item %$p_B(A)=\dfrac{1}{2}$, $p_{\overline{B}}(A)= \dfrac{1}{6}$ et $p(B)=\dfrac{2}{5}$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A \cap B)=p_B(A)\times p(B)=\dfrac{1}{\cancel{2}}\times \dfrac{\cancel{2}}{5}=\dfrac{1}{5}$

\item $p\left(A \cap \overline{B}\right)=p_{\overline{B}}(A)\times p\left(\overline{B}\right)=\dfrac{1}{6}\left(1-\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{3}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{10}}}$

\item Alors = $p(A)=p(A \cap B)+p\left(A \cap \overline{B}\right)=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{10}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{10}}}$
\end{enumerate}

\item %$p_A (B) = 0,3$ ,$p_B(A) =0,1$ et $p(B) = 0,6$. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A \cap B)=p_B(A)\times p(B)=0,1\times 0,6=0,06$.

\item $p(A \cap B)=p_A(B)\times p(A)$ donc $p(A)=\dfrac{p(A \cap B)}{p_A(B)}=\dfrac{0,06}{0,3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}}$
\end{enumerate}


\end{enumerate}

.

\subsection{}
$A$ et $B$ sont deux événements d'une même expérience aléatoire tels que $p(A)=0,3$, $p(B)=0,7$ et $p(A \cap B)=0,2$
\begin{enumerate}
\item %$A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
$p(A)\times p(B)=0,21\neq p(A \cap B)$ donc $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.

\item %Calculer $p_A(B)$.
$p_A(B)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}=\dfrac{0,2}{0,3}=\dfrac{2}{3}$
\end{enumerate}


\subsection{}

On lance successivement deux dés équilibrés numérotés de 1 à 6. 

\begin{enumerate}
\item %Est-ce une succession de deux épreuves indépendantes ?
C'est une succession de deux épreuves indépendantes.

\item %Quelle est la probabilité d'obtenir deux 6 lors des deux lancers? 
La probabilité d'obtenir deux 6 lors des deux lancers est $\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{6}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{36}}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Une alarme incendie possède les propriétés suivantes :\\
en cas de détection de fumée, elle se déclenche avec une probabilité égale à 0,99, mais elle se déclenche également en l'absence de fumée avec une probabilité égale à 0,02.\\
On suppose que la probabilité d'incendie est égale à 0,001. 

\begin{enumerate}
\item %Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré.
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=15mm}
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=15mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$F$}\taput{}}
	  { 
		  \TR{$D$}\taput{0,99}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,01}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{F}$}\tbput{}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{0,02}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,98}}}
\end{center}

\item %Calculer la probabilité de l'évènement suivant : \og{}Un incendie se déclare et l'alarme se déclenche\fg{}. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La probabilité d'incendie est égale à 0,001 donc $p(F \cap \overline{D})=0,001\Leftrightarrow 0,01p(F)=0,001\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{p(F)=0,1}}$.

\item $p(F \cap D)=p_F(D)\times p(F)=0,99\times 0,1=\boxed{\textcolor{red}{0,099}}$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Une urne contient quatre boules vertes et cinq boules jaunes indiscernables au toucher.\\
On effectue deux tirages successifs d'une boule sans remise.\\ 
Soient $A$ l'évènement \og{}La première boule tirée est verte\fg{} et $B$ l'évènement  \og{}La deuxième boule tirée est jaune\fg{}. 

\begin{enumerate}
\item %Calculer $p(A)$ et $p_A(B)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A)=\dfrac{4}{9}$

\item $p_A(B)=\dfrac{5}{8}$
\end{enumerate}

\item %En déduire $p(A \cap B)$. 
$p(A \cap B)=p_A(B)\times p(A)=\dfrac{5}{8}\times \dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{18}$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2015 (extrait)}}
%Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2.
%On note $D_1$ l'évènement \og le composant 1 est défaillant avant un an \fg{} et on note $D_2$ l'évènement \og le composant 2 est défaillant avant un an \fg.
%
%On suppose que les deux événements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants et que 
%
%$P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$.
%
%Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous :
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(10,3.4)
%%\psgrid
%\psline(0,2)(1,2)(1,2.75)(1.5,2.75)\psframe(1.5,2.25)(3,3.25)\psline(3,2.75)(3.5,2.75)(3.5,2)(4.5,2)
%\psline(0,2)(1,2)(1,1.25)(1.5,1.25)\psframe(1.5,0.75)(3,1.75)\psline(3,1.25)(3.5,1.25)(3.5,2)
%\rput(2.25,2.75){1} \rput(2.25,1.25){2}
%\rput(2.5,0.2){Circuit en parallèle A} \rput(7.5,0.2){ Circuit en série B}
%\psline(5,2)(6,2)\psframe(6,1.5)(7.5,2.5)\psline(7.5,2)(8.5,2)\psframe(8.5,1.5)(10,2.5)
%\rput(6.75,2){1}\rput(9.25,2){2}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Lorsque les deux composants sont montés \og en parallèle \fg, le circuit A est défaillant
%uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité
%que le circuit A soit défaillant avant un an.
Les évènements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants, donc :

$P\left(\text{\og{}A défaillant\fg{}}\right)=P\left(D_1 \cap D_2 \right) = P\left(D_1\right) \times P\left(D_2 \right)  = 0,39 \times 0,39 = \boxed{\textcolor{red}{\np{0,1521}}}$.

\item %Lorsque les deux composants sont montés \og en série \fg, le circuit B est défaillant dès que l'unau moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit
%défaillant avant un an.
Ici la probabilité est égale à :

$P\left(\text{\og{}A défaillant\fg{}}\right)=P\left(D_1 \cup D_2 \right) =  P\left(D_1\right) + P\left(D_2\right) - P\left(D_1 \cap D_2 \right) = 0,39 + 0,39 - \np{0,1521} = \boxed{\textcolor{red}{\np{0,6279}}}$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2013 (extrait)}}

%\medskip
% 
%Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80\,\% de ses boîtes chez le fournisseur A et 20\,\% chez le fournisseur B.

\medskip
 
%10\,\% des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20\,\% de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
% 
%On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants : 
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item évènement A : \og la boîte provient du fournisseur A \fg{} ; 
%\item évènement B : \og la boîte provient du fournisseur B \fg{} ; 
%\item évènement S : \og la boîte présente des traces de pesticides \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Traduire l'énoncé sous forme d'un arbre pondéré.
Le grossiste a deux fournisseurs et il y a dans chaque boîte des traces de pesticides ou non. On a donc un arbre $2 \times 2$ :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=4pt]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{$0,8$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{$0,1$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{$0,9$}
 		}
	\pstree{\TR{$B$}\tbput{$0,2$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{$0,2$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{$0,8$}
 		}
}

\end{center} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité de l'évènement $B \cap \overline{S}$ ?
En suivant la troisième branche :
		
$p\left(B \cap \overline{S}\right)  = p(B) \times p_{B}\left(\overline{S} \right) = 0,2 \times 0,8 = \boxed{\textcolor{red}{0,16}}$. 
		\item %Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
On calcule de même :

$p\left(A \cap \overline{S}\right)  = p(A) \times p_{A}\left(\overline{S} \right) = 0,8 \times 0,9 = 0,72$.

$\{A~;~B\}$ étant une partition de l'univers, on a donc :

$p\left(\overline{S}\right) = p\left(A \cap \overline{S}\right)  + 	p\left(B \cap \overline{S}\right)  = 0,72 + 0,16 = \boxed{\textcolor{red}{0,88}}$.
\end{enumerate} 
\item %On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. 

%Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
Il faut donc calculer :

$p_{S}(B) = \dfrac{p(S \cap B)}{p(S)}$.

On a vu que $p\left(\overline{S}\right) = 0,88$, donc $p(S) = 1 - p\left(\overline{S}\right) = 0,12$.

Donc $p_{S}(B) =\dfrac{0,2 \times 0,2}{0,12} = \dfrac{4}{12}=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{3}}} \approx 0,33$ au centième près.
\end{enumerate}

\bigskip
 

\subsection{\textcolor{blue}{Liban juin 2018}}
Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

\medskip

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est 
$\dfrac{1}{4}$ ;
\item[$\bullet~~$] Si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$ ;
\item[$\bullet~~$] La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac{1}{4}$ .
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l'évènement \og la $n\up{e}$ partie est gagnée \fg{} et on note $p_n$ la probabilité de cet évènement. On a donc $p_1 = \dfrac{1}{4}$.


\begin{enumerate}
\item %Montrer que $p_2 = \dfrac{7}{16}$.
Illustrons la situation par un arbre :

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=7mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$G_1$}\taput{ $\dfrac14$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_2$}\taput{ $\dfrac14$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G_2}$}\tbput{ $\dfrac34$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{G_1}$}\tbput{ $\dfrac34$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_2$}\taput{ $\dfrac12$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G_2}$}\tbput{ $\dfrac12$}
}
}


\end{center}

Alors : En appliquant la formule des probabilités totales :

\noindent $p_2=p\left(G_2\right)=p_{G_1}\left(G_2\right)p\left(G_1)\right)+p_{\overline{G_1}}\left(G_2\right)p\left(G_1\right)\\
=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{7}{16}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{p_2 = \dfrac{7}{16}}}$

\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = - \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{2}$.

Arbre : 
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$G_n$}\taput{ $p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_{n+1}$}\taput{ $\dfrac14$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{ $\dfrac34$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{G_n}$}\tbput{ $1-p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_{n+1}$}\taput{ $\dfrac12$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{ $\dfrac12$}
}
}
\end{center}
\medskip

D'après la formule des probabilités totales :

$p_{n+1}=p\left(G_{n+1}\right)=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\left(1-p_n\right)=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}$

Donc : \[\boxed{\textcolor{red}{p_{n+1}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}}}\]

\item  On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ :

%\tiny
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
$p_n$& $\dfrac{1}{4}$ &\numprint{0,4375} &\numprint{0,3906} &\numprint{0,4023} &\numprint{0,3994} &\numprint{0,4001} &\numprint{0,3999}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\normalsize
%Quelle conjecture peut -on émettre ?
On peut conjecturer que la suite converge vers 0,4.

\item  On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = p_n - \dfrac{2}{5}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
		Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $n_{n+1}=p_{n+1}-\dfrac{2}{5}\\
		=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{5}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{10}=-\dfrac{1}{4}\left(p_n-\dfrac{2}{5}\right)=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{4}u_n}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=-\dfrac{1}{4}u_n}}$.
		
		La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique, de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=-\dfrac{1}{4}}}$.
		
		\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n = \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{20}\left(- \dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
		$u_1=p_1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{5}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{3}{20}}}$.
		
		Comme la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique, on a, pour tout $n$, $u_n=u_1q^{n-1}=-\dfrac{3}{20}\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
		
		On en déduit : $p_n=u_n+\dfrac{2}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}}}$.
		
		\item %La suite $\left(p_n\right)$ converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.
		$-1<-\dfrac{1}{4}<1$ donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$ d'où $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}p_n=\dfrac{2}{5}=\boxed{\textcolor{red}{0,4}}$ donc la conjecture faite à partir du tableau est validée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  