<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices sur l'inversion d'un arbre de probabilitÃ©s }}\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Inversion d'un arbre de probabilitÃ©s}}
Une sociÃ©tÃ© effectue auprÃ¨s de \numprint{10000} personnes une Ã©tude de marchÃ© concernant un nouveau produit. Dans cet Ã©chantillon, 40\:\% sont des jeunes (moins de 20 ans) et 20\:\% de ceux-ci se dÃ©clarent intÃ©ressÃ©s par le produit.\\
En revanche, 10\:\% seulement des personnes de plus de 20 ans se dÃ©clarent intÃ©ressÃ©es par le produit.\\
On choisit une personne au hasard dans l'Ã©chantillon. On note $J$ l'Ã©vÃ©nement \og{} La personne est jeune\fg{}  et $I$ \og{} La personne est intÃ©ressÃ©e\fg.
\begin{enumerate}
\item %Reproduire et complÃ©ter l'arbre de probabilitÃ©s ci-dessous :
ComplÃ©tons l'arbre de probabilitÃ©s ci-dessous :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=8mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$J$}\taput{ $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{ $0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{I}$}\tbput{ $0,8$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{J}$}\tbput{ $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{ $0,1$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{I}$}\tbput{ $0,9$}}}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $p(I\cap J)$, $p(I\cap\overline{J})$, $p(\overline{I}\cap J)$ et $p(\overline{I}\cap \overline{J})$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(I \cap J)=p_J(I)\times p(J)=0,2\times 0,4=\boxed{\textcolor{red}{0,08}}$

\item $p\left(I \cap \overline{J}\right)=0,1\times 0,6=\boxed{\textcolor{red}{0,06}}$

\item $p\left(\overline{I} \cap J\right)=0,8\times 0,4=\boxed{\textcolor{red}{0,32}}$

\item $p\left(\overline{I} \cap \overline{J}\right)=0,9\times 0,6=\boxed{\textcolor{red}{0,54}}$
\end{enumerate}

\item %Calculer $p(I)$.
D'aprÃ¨s la formule des probabilitÃ©s totales :\\
$p(I)=p_J(I)\times p(J)+p_{\overline{J}}(I)\times p\left(\overline{J}\right)=0,08+0,06=\boxed{\textcolor{red}{0,14}}$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilitÃ© que la personne ait moins de 20 ans sachant que la personne est intÃ©ressÃ©e par le produit.
La probabilitÃ© que la personne ait moins de 20 ans sachant que la personne est intÃ©ressÃ©e par le produit est :\\
$p_I(J)=\dfrac{o(I \cap J)}{p(I)}=\dfrac{0,08}{0,14}=\dfrac{8}{14}=\dfrac{4}{7}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p_I(J)=\dfrac{4}{7}}}$

\item %ComplÃ©ter l'arbre ci-dessous.
Pour complÃ©ter l'arbre ci-dessous, on doit calculer :\\
$p_{\overline{I}}(J)=\dfrac{p\left(\overline{I} \cap J\right)}{p\left(\overline{I}\right)}=\dfrac{0,32}{0,86}=\dfrac{32}{86}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{16}{43}}}$
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=16mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$I$}\taput{ $0,14$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$J$}\taput{ $\dfrac{4}{7}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{J}$}\tbput{ $\dfrac{3}{7}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{I}$}\tbput{ $0,86$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$J$}\taput{ $\dfrac{16}{43}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{J}$}\tbput{ $\dfrac{27}{43}$}}}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>