\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[tikz]{bclogo} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset -1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} \pagestyle{empty} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \begin{document} \begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur la loi binomiale (2)}}\end{center} %\tableofcontents \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{1pt} \setlength{\columnsep}{2 cm} \subsection{}%Antilles-Guyane ES septembre 2015 %Un supermarché dispose d'un stock de pommes. On sait que 40\,\% des pommes proviennent d'un fournisseur A et le reste d'un fournisseur B. % %Il a été constaté que 85\,\% des pommes provenant du fournisseur A sont commercialisables. La proportion de pommes commercialisables est de 95\,\% pour le fournisseur B. % %Le responsable des achats prend au hasard une pomme dans le stock. On considère les évènements suivants : % %A : \og La pomme provient du fournisseur A \fg. % %B : \og La pomme provient du fournisseur B \fg. % %C : \og La pomme est commercialisable \fg. % %%\bigskip \subsubsection*{\textcolor{red}{PARTIE A}} %\medskip \begin{enumerate} \item% Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. On construit un arbre pondéré traduisant la situation: \medskip \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nrot=:U,levelsep=4cm,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt, treesep=1cm] {\Tr{}} { \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\naput{$0,4$}} { \TR{$C$}\naput{$0,85$} \TR{$\overline C$}\nbput{\red $1-0,85=0,15$} } \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\nbput{\red $1-0,4=0,6$}} { \TR{$C$}\naput{$0,95$} \TR{$\overline{C}$}\nbput{\red $1-0,95=0,05$} } } \end{center} \bigskip \item% Montrer que la probabilité que la pomme ne soit pas commercialisable est 0,09. L'événement \og la pomme n'est pas commercialisable\fg{} est l'événement $\overline C$. D'après la formule des probabilités totales: $P(\overline C)= P( \overline C\cap A) + P( \overline C\cap B) \\ = P(A)\times P_A(\overline C) + P(B)\times P_B(\overline C)\\ = 0,4\times 0,15 + 0,6\times 0,05 = 0,06+0,03 = \boxed{\textcolor{red}{0,09}}$ \item% La pomme choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il y a deux fois plus de chance qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison ? Il s'agit, dans cette question, de comparer $P_{\overline C}(A)$ et $P_{\overline C}(B)$. $P_{\overline C}(A) = \dfrac{P(A \cap \overline C)}{P(\overline C)} = \dfrac{0,06}{0,09} = \dfrac{2}{3}$; $P_{\overline C}(B) = \dfrac{P(B \cap \overline C)}{P(\overline C)}\\ = \dfrac{0,03}{0,09} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$ Donc le responsable des achats a raison quand il dit qu'une pomme non commercialisable a deux fois plus de chance de provenir du fournisseur A que du fournisseur B. \end{enumerate} %Pour les parties B et C, on admet que la proportion de pommes non commercialisables est 0,09 et, quand nécessaire, on arrondira les résultats au millième. %\bigskip \subsubsection*{\textcolor{red}{PARTIE B}} %\medskip On prend au hasard 15 pommes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. Donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de pommes commercialisables suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=1-0,09 = 0,91$. \begin{enumerate} \item% Quelle est la probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables ? La probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables est: $P(X=15)=\binom{15}{15} \,0,91^{15} \,0,09^{0}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,243}}$ \item% Quelle est la probabilité qu'au moins 14 pommes soient commercialisables ? La probabilité qu'au moins 14 pommes soient commercialisables est: $P(X \geqslant 14) = P(X=14) + P(X=15)\\ =\binom{15}{14} \,0,91^{14} \,0,09^{1} + \binom{15}{15} \,0,91^{15} \,0,09^{0}\\ \approx \np{0,3605} + \np{0,2430} \approx \boxed{\textcolor{red}{0,604}}$ \\ \end{enumerate} \columnbreak \subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord juin 2024}} %Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L'objet tiré peut être \og commun \fg{} ou \og rare \fg. Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers. % %Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que : % %\begin{itemize} %\item la probabilité de tirer un objet rare est de 7\,\% ; %\item si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80\,\% ; %\item si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40\,\%. %\end{itemize} % %\emph{Les parties \textbf{\rm A} et \textbf{\rm B} sont indépendantes.} % %\bigskip \textbf{\textcolor{red}{Partie A}} \medskip %Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. On note : % %\begin{itemize}[label=$\bullet~$] %\item $R$ l'évènement \og le joueur tire un objet rare\fg{} ; %\item $E$ l'évènement \og le joueur tire une épée \fg{} ; %\item $\overline{R}$ et $\overline{E}$ les évènements contraires des évènements $R$ et $E$. %\end{itemize} % %\medskip \begin{enumerate} \item %Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R \cap E)$. On dresse l'arbre pondéré de probabilités en utilisant les données de l'énoncé : $p(R) = 0,07 \:; p_R(E) = 0,8$ et $p_{\overline{R}}(E) = 0,4$: \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$R~~$}\taput{0,07}} {\TR{$E$}\taput{0,8} \TR{$\overline{E}$}\tbput{\red 0,2} } \pstree{\TR{$\overline{R}~~$}\tbput{\red 0,93}} {\TR{$E$}\taput{0,4} \TR{$\overline{E}$}\tbput{\red 0,6} } } \end{center} On a $p(R \cap E) = p(R) \times p_{R}(E) = 0,07 \times 0,8 = 0,056$. \item %Calculer la probabilité de tirer une épée. D'après la loi des probabilités totales : $p(E) = p(R \cap E) + p\left(\overline{R} \cap E\right)$. Or $p\left(\overline{R} \cap E\right) = p\left(\overline{R}\right) \times p_{\overline{R}}(E) = 0,93 \times 0,4 = 0,372$. Donc $p(E) =0,056 + 0,372 = 0,428$. \item %Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième. On a $p_{E}(R) = \dfrac{p(E \cap R)}{p(E)} = \dfrac{p(R \cap E)}{p(E)} = \dfrac{0,056}{0,428} = \dfrac{56}{428} \\ = \dfrac{14}{107} \approx\boxed{\textcolor{red}{ \np{0,1308}}}$ soit 0,131 au millième près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textcolor{red}{Partie B}} \medskip %Un joueur remporte $30$ défis. % %On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté $30$ défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants. \medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance. Les évènements étant indépendants et la probabilité d'obtenir un objet rare étant toujours égale à 0,07, la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,\:p)$ avec $n = 30$ et $p = 0,07$. L'espérance mathématique est $E = n \times p = 30 \times 0,07 \\ =\boxed{\textcolor{red}{ 2,1}}$. \item %Déterminer $P(X < 6)$. Arrondir le résultat au millième. La calculatrice donne $P(X < 6) \approx \np{0,9838}$ soit 0,984 au millième près. \item %Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X \geqslant k) \geqslant 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. Quel que soit $k \in \mathbb{N}$, \: $p(X \geqslant k + 1) = 1 - p(X \leqslant k)$. D'après la calculatrice : $p(X \geqslant 1 + 1) = 1 - p(X \leqslant 1) \approx 0,631$, et \\ $p(X \geqslant 2 + 1) = 1 - p(X \leqslant 2) \approx 0,351$, on a donc $\boxed{\textcolor{red}{k = 2}}$. Dans le cadre du jeu ceci signifie que la probabilité d'obtenir au moins 2 objets rares est supérieure à $\dfrac12$. \item %Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d'acheter un \og ticket %d'or \fg{} qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7\,\%. %Les développeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à $0,95$. % %Déterminer le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre. Il faut donc trouver $X$ tel que $p(X \geqslant 1) \geqslant 0,95$ ou encore $1 - p(X = 0) \geqslant 0,95 \iff p(X = 0) \leqslant 1 - 0,95\\ \iff p(X = 0) \leqslant 0,05$. Or $p(X = 0) = \binom{N}{0} \times 0,07^0 \times (1 - 0,07)^N = 0,93^N$. Il faut donc résoudre l'inéquation : $0,93^N \leqslant 0,05 \Rightarrow N \ln 0,93 \leqslant \ln 0,05$ par croissance de la fonction logarithme népérien et enfin $N \geqslant \dfrac{\ln 0,05}{\ln 0,93}$, car $\ln 0,93 < 0$ et son inverse $\dfrac{1}{\ln 0,93}$ aussi. D'après la calculatrice $\dfrac{\ln 0,05}{\ln 0,93} \approx 41,3$. Conclusion Il faut que $N \geqslant 42$. \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord juin 2024 (J2)}} \textbf{\textcolor{red}{Partie A}} %Les données publiées le 1\up{er } mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes : % % \begin{itemize} % \item $22,86\,\%$ des véhicules étaient des véhicules neufs ; % \item $8,08\,\%$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables; % \item $1,27\,\%$ des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables. % \end{itemize} % % \emph{Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.} % \subsection{}% A} \medskip %Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022. % %On note : % %\begin{itemize} % \item $N$ l'évènement \og le véhicule est neuf \fg{}; % \item $R$ l'évènement \og le véhicule est hybride rechargeable\fg{}; % \item $\overline{N}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires des évènements contraires de $N$ et $R$. %\end{itemize} \begin{enumerate} \item %Représenter la situation par un arbre pondéré.Arbre pondéré de probilités : \begin{center} \pstree[treemode=R,levelsep = 3.5cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$N~~$}\taput{\np{0,2286}}} {\TR{$R$}\taput{\np{0,0808}} \TR{$\overline{R}$}\tbput{\red 0,9192} } \pstree{\TR{$\overline{N}~~$}\tbput{\red\np{0,7714}}} {\TR{$R$}\taput{\np{0,0127}} \TR{$\overline{R}$}\tbput{\red 0,9873} } } \end{center} \item %Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable. On calcule $p(N \cap R) = p(N) \times p_N(R) = \np{0,2286} \times \np{0,0808} = \np{0,018471}$ soit \np{0,0185} à $10^{-4}$ près. \item %Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est \np{0,0283}. On a de même $p\left(\overline{N} \cap R\right) = p\left(N\right) \times p_{\overline{N}}(R) = \np{0,7714} \times \np{0,0127} = \np{0,009797}$ soit \np{0,0098} à $10^{-4}$ près. D'après la loi des probabilités totales : $p(R) = p(N \cap R) + p\left(\overline{N} \cap R\right) \approx \np{0,0185} + \np{0,0098}$ $p(R) \approx \np{0,0283}$. \item %Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable. On a $p_R(N) = \dfrac{p(R \cap N)}{p(R)} = \dfrac{p(N \cap R)}{p(R)} \approx \dfrac{\np{0,0185}}{\np{0,0283}} \approx \np{0,65371}$ soit \np{0,6537} à $10^{-4}$ près. \end{enumerate} \textbf{\textcolor{red}{Partie B}} \medskip %Dans cette partie, on choisit $500$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022. % %Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$. % %On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise. % %On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis. \medskip \begin{enumerate} \item %On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres. $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(n = 500, \: p = 0,65)$. \item %Déterminer la probabilité qu'exactement $325$ de ces véhicules soient neufs. On calcule $\binom{500}{325} \times 0,65^{325} \times 0,35^{175} \approx \np{0,037384}$ soit \np{0,0374} à $10^{-4}$ près. (Utiliser la fonction binomiale de la calculatrice si les capacités de calcul de celle-ci sont dépassées). \item %Déterminer la probabilité $p(X \geqslant 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. On a $p(X \geqslant 325) = 1 - p(X \leqslant 324)$ soit d'après la calculatrice \np{0,47944}, donc $p(X \geqslant 325) \approx 1 - \np{0,4794} = \np{0,5206}$ à $10^{-4}$ près. \end{enumerate} \textbf{\textcolor{red}{Partie C}} \medskip %On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif. % %On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$. % %On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise. \medskip \begin{enumerate} \item %Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ que tous ces véhicules soient d'occasion. On a $p_n = (1 - 0,65)^n = 0,35^n$. \item On a $q_n = 1 - p_n$. On cherche donc $n$ tel que $1 - p_n \geqslant \np{0,9999} \iff p_n \leqslant \np{0,0001}$, soit par croissance de la fonction logarithme népérien : $n\ln 0,35 \leqslant \ln 0\np{0,0001} \iff n \geqslant \dfrac{\ln \np{0,0001}}{\ln 0,35}$ car $\dfrac{1}{\ln 0,35} < 0$. D'après la calculatrice $\dfrac{\ln \np{0,0001}}{\ln 0,35} \approx 8,8$. Il faut prendre au minimum $n = 9$. %On note $q_{n}$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_{n} \geqslant \np{0,9999}$. \end{enumerate} \end{multicols} \label{fin} \end{document} x