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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur la loi binomiale (2)}}\end{center}

%\tableofcontents



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Antilles-Guyane ES septembre 2015
%Un supermarché dispose d'un stock de pommes. On sait que 40\,\% des pommes proviennent d'un fournisseur A et le reste d'un fournisseur B. 
%
%Il a été constaté que 85\,\% des pommes provenant du fournisseur A sont commercialisables. La proportion de pommes commercialisables est de 95\,\% pour le fournisseur B. 
%
%Le responsable des achats prend au hasard une pomme dans le stock. On considère les évènements suivants : 
%
%A : \og La pomme provient du fournisseur A \fg. 
%
%B : \og La pomme provient du fournisseur B \fg. 
%
%C : \og La pomme est commercialisable \fg. 
%
%%\bigskip

 \subsubsection*{\textcolor{red}{PARTIE A}}

%\medskip 

\begin{enumerate}


\item% Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. 
On construit un arbre pondéré traduisant la situation:

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nrot=:U,levelsep=4cm,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt, treesep=1cm]
{\Tr{}}
{
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\naput{$0,4$}}
	  { 
		  \TR{$C$}\naput{$0,85$}
		  \TR{$\overline C$}\nbput{\red $1-0,85=0,15$}
	  }
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\nbput{\red $1-0,4=0,6$}}
	  {
		  \TR{$C$}\naput{$0,95$}
		  \TR{$\overline{C}$}\nbput{\red $1-0,95=0,05$}
	  }
}
\end{center}

\bigskip

\item% Montrer que la probabilité que la pomme ne soit pas commercialisable est 0,09. 
L'événement \og la pomme n'est pas commercialisable\fg{} est l'événement $\overline C$.

D'après la formule des probabilités totales:

$P(\overline C)= P( \overline C\cap A) + P( \overline C\cap B) \\
= P(A)\times P_A(\overline C) + P(B)\times P_B(\overline C)\\
= 0,4\times 0,15 + 0,6\times 0,05 = 0,06+0,03 = \boxed{\textcolor{red}{0,09}}$

\item% La pomme choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il y a deux fois plus de chance qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison ? 
Il s'agit, dans cette question, de comparer
$P_{\overline C}(A)$ et $P_{\overline C}(B)$.

$P_{\overline C}(A) = \dfrac{P(A \cap \overline C)}{P(\overline C)}
= \dfrac{0,06}{0,09} = \dfrac{2}{3}$;
$P_{\overline C}(B) = \dfrac{P(B \cap \overline C)}{P(\overline C)}\\
= \dfrac{0,03}{0,09} = \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$

Donc le responsable des achats a raison quand il dit qu'une pomme non commercialisable a deux fois plus de chance de provenir du fournisseur A que du fournisseur B.

\end{enumerate}

%Pour les parties B et C, on admet que la proportion de pommes non commercialisables est 0,09 et, quand nécessaire, on arrondira les résultats au millième. 

%\bigskip

\subsubsection*{\textcolor{red}{PARTIE B}}

%\medskip  

On prend au hasard 15 pommes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. 

Donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de pommes commercialisables suit la loi binomiale de paramètres 
$n=15$ et $p=1-0,09 = 0,91$.

\begin{enumerate}

\item% Quelle est la probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables ? 
La probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables est:

$P(X=15)=\binom{15}{15} \,0,91^{15} \,0,09^{0}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,243}}$

\item% Quelle est la probabilité qu'au moins 14 pommes soient commercialisables ? 
La probabilité qu'au moins 14 pommes soient commercialisables est:

$P(X \geqslant  14) = P(X=14) + P(X=15)\\
=\binom{15}{14} \,0,91^{14} \,0,09^{1} + \binom{15}{15} \,0,91^{15} \,0,09^{0}\\
\approx \np{0,3605} + \np{0,2430} \approx \boxed{\textcolor{red}{0,604}}$
\\

\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord juin 2024}}
%Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L'objet tiré peut être \og commun \fg{} ou \og rare \fg. Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers.
%
%Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que :
%
%\begin{itemize}
%\item la probabilité de tirer un objet rare est de 7\,\% ;
%\item si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80\,\% ;
%\item si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40\,\%.
%\end{itemize}
%
%\emph{Les parties \textbf{\rm A} et \textbf{\rm B} sont indépendantes.}
%
%\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

%Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. On note :
%
%\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
%\item $R$ l'évènement \og le joueur tire un objet rare\fg{} ;
%\item $E$ l'évènement \og le joueur tire une épée \fg{} ;
%\item $\overline{R}$ et $\overline{E}$ les évènements contraires des évènements $R$ et $E$.
%\end{itemize}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R \cap E)$.
On dresse l'arbre pondéré de probabilités en utilisant les données de l'énoncé :

$p(R) = 0,07 \:; p_R(E) = 0,8$ et $p_{\overline{R}}(E) = 0,4$:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R~~$}\taput{0,07}}
	{\TR{$E$}\taput{0,8}
	\TR{$\overline{E}$}\tbput{\red 0,2}
	}
\pstree{\TR{$\overline{R}~~$}\tbput{\red 0,93}}
	{\TR{$E$}\taput{0,4}
	\TR{$\overline{E}$}\tbput{\red 0,6}
	}
}
\end{center}

On a $p(R \cap E) = p(R) \times p_{R}(E) = 0,07 \times 0,8 = 0,056$.
\item %Calculer la probabilité de tirer une épée.
D'après la loi des probabilités totales :

$p(E) = p(R \cap E) + p\left(\overline{R} \cap E\right)$.

Or $p\left(\overline{R} \cap E\right) = p\left(\overline{R}\right) \times p_{\overline{R}}(E) = 0,93 \times 0,4 = 0,372$.

Donc $p(E) =0,056 + 0,372 = 0,428$.
\item %Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.
On a $p_{E}(R) = \dfrac{p(E \cap R)}{p(E)} = \dfrac{p(R \cap E)}{p(E)} = \dfrac{0,056}{0,428} = \dfrac{56}{428} \\
= \dfrac{14}{107} \approx\boxed{\textcolor{red}{ \np{0,1308}}}$ soit 0,131 au millième près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

%Un joueur remporte $30$ défis.
%
%On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté $30$ défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
Les évènements étant indépendants et la probabilité d'obtenir un objet rare étant toujours égale à 0,07, la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,\:p)$ avec $n = 30$ et $p = 0,07$.

L'espérance mathématique est $E = n \times p = 30 \times 0,07 \\
=\boxed{\textcolor{red}{ 2,1}}$.
\item %Déterminer $P(X < 6)$. Arrondir le résultat au millième.

La calculatrice donne $P(X < 6) \approx \np{0,9838}$ soit 0,984 au millième près.
\item %Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X \geqslant k) \geqslant 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
Quel que soit $k \in \mathbb{N}$, \: $p(X \geqslant k + 1) = 1 - p(X \leqslant k)$.
D'après la calculatrice :

$p(X \geqslant 1 + 1) = 1 - p(X \leqslant 1) \approx 0,631$, et \\
$p(X \geqslant 2 + 1) = 1 - p(X \leqslant 2) \approx 0,351$, on a donc $\boxed{\textcolor{red}{k = 2}}$.

Dans le cadre du jeu ceci signifie que la probabilité d'obtenir au moins 2 objets rares est supérieure à $\dfrac12$.
\item %Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d'acheter un \og ticket
%d'or \fg{} qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7\,\%.

%Les développeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à $0,95$.
%
%Déterminer le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.
Il faut donc trouver $X$ tel que $p(X \geqslant 1) \geqslant 0,95$ ou encore $1 - p(X = 0) \geqslant 0,95 \iff p(X = 0) \leqslant 1 - 0,95\\
\iff p(X = 0) \leqslant 0,05$.

Or $p(X = 0) = \binom{N}{0} \times 0,07^0 \times (1 - 0,07)^N = 0,93^N$.

Il faut donc résoudre l'inéquation :

$0,93^N \leqslant 0,05 \Rightarrow N \ln 0,93 \leqslant \ln 0,05$ par croissance de la fonction logarithme népérien  et enfin $N \geqslant \dfrac{\ln 0,05}{\ln 0,93}$, car $\ln 0,93 < 0$ et son inverse $\dfrac{1}{\ln 0,93}$ aussi.

D'après la calculatrice $\dfrac{\ln 0,05}{\ln 0,93} \approx 41,3$.

Conclusion Il faut que $N \geqslant 42$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord juin 2024 (J2)}}


\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}
%Les données publiées le 1\up{er } mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :
%
%	\begin{itemize}
%		\item $22,86\,\%$ des véhicules étaient des véhicules neufs ;
%		\item $8,08\,\%$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables;
%		\item $1,27\,\%$ des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.
%	\end{itemize}
%
%	\emph{Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.}
%	\subsection{}% A}

\medskip

%Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.
%
%On note :
%
%\begin{itemize}
%	\item $N$ l'évènement \og le véhicule est neuf \fg{};
%	\item $R$ l'évènement \og le véhicule est hybride rechargeable\fg{};
%	\item $\overline{N}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires des évènements contraires de $N$ et $R$.
%\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item %Représenter la situation par un arbre pondéré.Arbre pondéré de probilités :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep = 3.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$N~~$}\taput{\np{0,2286}}}
	{\TR{$R$}\taput{\np{0,0808}}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{\red 0,9192}
	}
\pstree{\TR{$\overline{N}~~$}\tbput{\red\np{0,7714}}}
	{\TR{$R$}\taput{\np{0,0127}}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{\red 0,9873}
	}
}
\end{center}

\item %Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
On calcule $p(N \cap R) = p(N) \times p_N(R) = \np{0,2286} \times \np{0,0808} = \np{0,018471}$ soit \np{0,0185} à $10^{-4}$ près.
\item %Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est \np{0,0283}.
On a de même $p\left(\overline{N} \cap R\right) = p\left(N\right) \times p_{\overline{N}}(R) = \np{0,7714} \times \np{0,0127} = \np{0,009797}$ soit \np{0,0098} à $10^{-4}$ près.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(R) = p(N \cap R) + p\left(\overline{N} \cap R\right) \approx \np{0,0185} + \np{0,0098}$

$p(R) \approx \np{0,0283}$.

\item %Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.
On a $p_R(N) = \dfrac{p(R \cap N)}{p(R)} = \dfrac{p(N \cap R)}{p(R)} \approx \dfrac{\np{0,0185}}{\np{0,0283}} \approx \np{0,65371}$ soit \np{0,6537} à $10^{-4}$ près.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

%Dans cette partie, on choisit $500$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.
%
%Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.
%
%On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
%
%On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.

$X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(n = 500, \: p = 0,65)$.
\item %Déterminer la probabilité qu'exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.
On calcule $\binom{500}{325} \times 0,65^{325} \times 0,35^{175} \approx \np{0,037384}$ soit \np{0,0374} à $10^{-4}$ près. (Utiliser la fonction binomiale de la calculatrice  si les capacités de calcul de celle-ci sont dépassées).
\item %Déterminer la probabilité $p(X \geqslant 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
On a $p(X \geqslant 325) = 1 - p(X \leqslant 324)$ soit d'après la calculatrice \np{0,47944}, donc 

$p(X \geqslant 325) \approx 1 - \np{0,4794} = \np{0,5206}$ à $10^{-4}$ près.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Partie C}}

\medskip

%On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.
%
%On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.
%
%On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ que tous ces véhicules soient d'occasion.
On a $p_n = (1 - 0,65)^n = 0,35^n$.

\item On a $q_n = 1 - p_n$.

On cherche donc $n$ tel que $1 - p_n \geqslant \np{0,9999} \iff p_n \leqslant \np{0,0001}$, soit par croissance de la fonction logarithme népérien :

$n\ln 0,35 \leqslant \ln 0\np{0,0001} \iff n \geqslant \dfrac{\ln \np{0,0001}}{\ln 0,35}$ car $\dfrac{1}{\ln 0,35} < 0$.

D'après la calculatrice $\dfrac{\ln \np{0,0001}}{\ln 0,35} \approx 8,8$.

Il faut prendre au minimum $n = 9$.


%On note $q_{n}$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_{n} \geqslant \np{0,9999}$.
\end{enumerate}





\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  x	