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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices sur l'intégration}}\end{center}

\subsection{}
Dans un repère orthonormé, la courbe d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~5]$ est représentée ci-dessous :
\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,6)
\psline[linewidth=2pt](0,1)(1,4)(5,0)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{\psplot{0}{1}{3*x+1}{\psline(1,0)(0,0)}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=yellow!30]{\psplot{1}{5}{5-x}{\psline(5,0)(1,0)}}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(6,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(6,6)
\end{pspicture}
\end{center}

%Calculer $\int_0^5f(x)\text{ d}x$.
On trace la droite d'équation $x=1$.\\
$\int_0^5f(x)\text{ d}x=\int_0^1f(x)\text{ d}x+\int_1^5f(x)\text{ d}x$.\\
C'est la somme de l'aire représentée en bleu et de celle en jaune.\\
L'aire bleue est l'aire d'un trapèze : elle vaut $\dfrac{(1+4)\times 1}{2}=\dfrac{5}{2}$.\\
L'aire jaune est l'aire d'un triangle rectangle : elle vaut $\dfrac{4\times 4}{2}=\dfrac{16}{2}(=8)$.\\
On en déduit : $\int_0^5f(x)\text{ d}x=\dfrac{5}{2}+\dfrac{16}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{21}{2}}}$

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-2~;~3]$ par : $f(x)=\begin{cases}x+2\text{~si }-2\leqslant x\leqslant 1\\-0,5x+3,5\text{~si }1\leqslant x\leqslant 3\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item %Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
Courbe représentative : c'est une fonction affine par morceaux.
\begin{center}

\end{center}\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(4,4)
\psplot[linewidth=2pt]{-2}{1}{x+2}
\psplot[linewidth=2pt]{1}{3}{3.5-0.5*x}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{\psplot{-2}{1}{x+2}{\psline(1,0)(-2,0)}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!30]{\psplot{1}{3}{3.5-0.5*x}{\psline(3,0)(1,0)}}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(4,4)
\uput[u](-0.5,0.5){$\mathscr{A}_1$}\uput[u](2,1){$\mathscr{A}_2$}
\end{pspicture}


\item %Calculer $\int_2^3f(x)\text{ d}x$.
$\int_2^3f(x)\text{ d}x=\mathscr{A}_1+\mathscr{A}_2=\dfrac{3\times 3}{2}+\dfrac{(3+2)\times 2}{3}=\dfrac{9}{2}+5=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{19}{2}}}$.\\

\end{enumerate}

\subsection{}
Dans un repère orthonormé, la courbe représentative d'une fonction $h$ définie sur $[-3~;~7]$ est représentée par le demi-cercle ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-1)(8,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=800]{-3}{7}{sqrt(25-(x-2)^2)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{\psplot{-3}{2}{sqrt(25-(x-2)^2)}{\psline(2,0)(-3,0)}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!30]{\psplot{2}{7}{sqrt(25-(x-2)^2)}{\psline(7,0)(2,0)}}
\uput[u](5,4){$\mathscr{C}_h$}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-1)(8,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-1)(8,6)

\end{pspicture}
\end{center}
%Calculer $\int_{-3}^7h(x)\text{ d}x$ et $\int_2^7h(x)\text{ d}x$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\int_{-3}^7h(x)\text{ d}x$ est l'aire du demi-disque de rayon 5 donc $\int_{-3}^7h(x)\text{ d}x=\dfrac{\pi\times 5^2}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{25\pi}{2}}}$.

\item $\boxed{\textcolor{red}{\int_2^7h(x)\text{ d}x=\dfrac{25\pi}{4}}}$ (moitié de l'aire précédente)
\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer les intégrales suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\int_{-8}^1\text{ d}x$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Première méthode, géométrique : $\int_{-8}^1\text{ d}x=\boxed{\textcolor{red}{9}}$ (aire du rectangle de hauteur 1, construit sur l(intervalle $[-8~;~1]$)

\item Deuxième méthode : on pose $f(x)=1$ donc $\int_{-8}^1\text{ d}x=\int_{-8}^11\text{ d}x=\int_{-8}^1f(x)\text{ d}x$.\\
Une primitive de $f$ est $F$ avec $F(x)=x$.\\
Alors : $\int_{-8}^1\text{ d}x=F(1)-F(-8)=1-(-8)=\boxed{\textcolor{red}{9}}$
\end{enumerate}

\item $\boxed{\textcolor{red}{\int_1^7\pi\text{ d}x=6\pi}}$ (aire d'un rectangle de hauteur $\pi$ construite sur l'intervalle $[1~;~7]$)

\item $\int_1^4(3x-4)\text{ d}x=\int1^4f(x)\text{ d}x$ en posant $f(x)=3x-4$.\\
Une primitive est $F(x)=\dfrac{3}{2}x^2-4x$.\\
$\int_1^4(3x-4)\text{ d}x=F(4)-F(1)=\left(24-16\right)-\left(\dfrac{3}{2}-4\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{21}{2}}}$

\item $\int_0^2\left(4x^2+1\right)\text{ d}x=\int_0^2f(x)\text{ d}x$ avec $f(x)=4x^2+1$.\\
Une primitive de $f$ est $F(x)=\dfrac{4}{3}x^3+x$.\\
$\int_0^2f(x)\text{ d}x=F(2)-F(0)=\left(\dfrac{32}{3}+2\right)-0=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{38}{3}}}$

\item $\int_0^2\left(4+2\mathrm{e}^{y}\right)\text{ d}y=\int_0^2f(y)\text{ d}y$ avec $f(y)=4+2\mathrm{e}^{y}$.\\
Une primitive de $f$ est $F(y)=4y+2\mathrm{e}^{y}$.\\
$\int_0^2\left(4+2\mathrm{e}^{y}\right)\text{ d}y=F(2)-F(0)=$
\item $\int_1^4\dfrac{1}{x}\text{ d}x=\left(8+2\mathrm{e}^{2}\right)-\left(0+2\right)=8+2\mathrm{e}^{2}-2=\boxed{\textcolor{red}{6+2\mathrm{e}^{2}}}$

\item $\int_4^9\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\text{ d}x$.

\item $\int_1^2\dfrac{-2}{x^3}\text{ d}x$

\subsection{}
Soit $f$ la fonction $f$ définie sur $[1~;~5]$ par $f(x)=\dfrac{4}{x^2}$.\\
Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[1~;~4]$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer, en unités d'aire, l'aire de la surface colorée construite ci-dessous dans une repère orthonrmé et délimitée par les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5-(x-2)^2$ et $g(x)=-x+1$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-6)(7,7)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-1}{5.2}{5-(x-2)^2}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-1}{6}{-x+1}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!30]{\psplot{0}{5}{5-(x-2)^2}{\psplot{5}{0}{-x+1}}}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-6)(7,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-6)(7,7)
\end{pspicture}
\end{center}



\label{fin}
\end{document}  